Descarga mas libros en: http://librosdejoe.blogspot.com o busca en la web: librosdejoe Ejercicios resueltos de ÁlgebraLineal SANZ yTORRES EJERCICIOS RESUELTOSDE ÁLGEBRA LINEAL No está permitida la reproduccióntotalo parcial de este libro,ni su tratamiento informático, nila transmisión de ningunaformao por cualquier medio, yasea electrónico, mecánico, por fotocopia,por registrou otros métodos, sin elpermiso previo y por escrito de los editores y autores. ©Ana María Díaz Hernández Luis Tejero Escribano Esther GilCid Elvira Hernández García ©EDITORIAL SANZ yTORRES, S.L. Pinos Alta, 49 - 28029 Madrid Teléfs.: 902400 415 - 913148782 www.sanzytorres. com ISBN:84-96094-35-9 Depósito legal:M-3S404-2004 Portada: Masterline, S.L. CI Las Minas,l . 28250 Torrelodones (Madrid) Composición: Caslon, S.L.CI Matilde Hernández, 31 , 3.° A.28019 Madrid Impresión: Edigrafos,S.A.CI Volta,2, PoI.Ind.San Marcos.28906 Getafe (Madrid) Encuadernación: Felipe Méndez, S.A. CI DelCarbón, 6 y 8, PoI.Ind.San José de Valderas 2. 289 J 8 Leganés (Madrid) ACarlos Romera, compañero decuyo recuerdo están impregnadas estas páginas. quién va dirigido este libro? todos los estudiantes que, además de aprender, deseen entrenarse en la tarea de r pruebas tipo test. Consolidar los conceptos adquiridos previamente. Profundizar en los métodos propios de la materia. bordar de forma gradual ejercicios yproblemas máscomplicados. 440 ejerciciosresueltospasoa paso,muchosdeellosseleccionados de entre los ........... ,,"" en anteriores pruebas presenciales, agrupados por secciones dentro de ca- pítulo y en orden creciente de dificultad. utilizado? Elcontenidoestáorganizadodelamismaformaqueesteprólogo:mediante _,.uu.,"" que dirigen elproceso de razonamiento para resolver elproblema enun- hanincorporadoenmuchos ejerciciosconceptosteóricosbásicosadquiridos anterioridad a finde nodispersar la atencióndelestudiante ensubúsqueda. (El I Prólogo accesoa dichosconocimientoses inmediatoparalos poseedoresdeltexto"Álgebra Lineal Básica" en el C.D o en la Addenda que contiene). Consideramosesteprocedimiento,próximoalaenseñanzaprogramada,elmás adecuadopara el estudiante quenoestácontinuamentebajolamiradadelprofesor. 11 Madrid, agosto 2004. Ana Díaz Hemández Coordinadora Capítulo1 ESPACIOS VECTORIALES Análisisdecúandounconjuntoconuna leyde composicióninterna y aoperación de suselementos con losnúmeros reales esespacio vec- lOrial............... ........... .. ........ ....... ..... ... ... .................................. ............... ....1 Cuándounsubconjuntodeunespaciovectorialessubespaciovecto- rial................. ... ...... ... ....... ........ ... ........... ......................... ....... .....................17 Cuándo un sistema de vectores genera un espacio vectorial........ ..............27 Independencia lineal, bases y dimensión de espacios vectoriales finitos...41 Relaciónentresubespaciosdeunespaciovectorialfinito,dimensiones, , suma y suma directa.................. .... ............ ...... ...... ........ ...................53 Capítulo 2 APLICACIONESLINEALES Definición de aplicación lineal entre dos espacios vectoriales.. ................ . La matriz asociada a una aplicación lineal............................ .................... . raCIonescon matnces................... .... ... ...... .............. ........................ .... .Ope .. ubespacios núcleo e imagen de una aplicación lineal............................ .. Cambios de base y matrices asociadas...... ............ .................................... . Operaciones elementales enuna matriz ............................ ................ ........ .. 111 65 75 85 101 113 131 índice Capítulo 3 DETERMINANTE DEUNA MATRIZ CUADRADA 3-1Determinante de una matriz cuadrada..... ... ........ ....... ......... ....... ........ ..........143 3-2Cálculo de determinantes... ....... .. .......... ......... ... .. ..... ........................ ...........151 3-3Propiedades de los determinantes y su cálculo a partir de ellas... ..... ..........159 3-4Cálculo de la matriz inversa......................... .... ....... .. ... ....................... ........175 3-5Determinación delrango deuna matriz; rango de unendomorfismo y ran- go de unsistema de vectores... ...... ......... ............................. ....... ........... ..... .191 Capítulo 4 SISTEMAS DEECUACIONESLINEALES 4-1Sistemasdeecuacioneslineales:Definiciones,expresiónmatricial,rela- ción con las aplicaciones lineales,sistemas homogéneos asociados........ ...203 4-2Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales................ .............. ... .......217 4-3Cálculo de soluciones de unsistema de ecuaciones....... .... ....... ................. .237 4-4Factorización LU....... ......... ......... ............. ......... ... ............... .... ................... .251 Capítulo 5 PRODUCTO ESCALARDE VECTORES Y ESPACIOEUCLíDEO 5-1Definición, propiedades y expresión matricial del producto escalar ..... ..... .261 5-2Normas y vectoresunitarios; ángulos y vectores ortogonales ... ........ .... ... ...273 5-3Sistemas ortogonales y ortonormales de vectores. Método de ortonormali- zación de Gram-Schmidt.. ......... ....... ......... ............................ ...... ......... .. .. ...285 5-4Subespacios ortogonales, sub espacios ortogonales complementarios y ma- trices ortogonales.. ......................................................... ..... ..... .. .... .... ..........295 Capítulo 6 MATRICES SEMEJANTES 6-1Matrices semejantes,matrices equivalentes ymatrices congruentes... .......309 6-2Valores propios y vectores propios....... .......... ........ ......... .......... .... .. ...... .. ....317 6-3Diagonalización de matrices....................... ............. ......... ..... .... .................325 6-4Diagonalización de endomorfismos simétricos...................... ... .......... ........337 IV índice Capítulo 7 FORMAS BILlNEALES -1Definiciones,propiedadesyexpresiónmatricialdelasaplicacionesbili- neales y las formasbilineales.......... ......... ...... ... ......... ........ ..... ............. .. .....345 -2Definición, propiedades y expresión matricial de las formascuadráticas...357 -3Clasificación de formascuadráticas.... .............. .... ..... ...... ....... ............... .. ...367 Capítulo 8 ELPROBLEMA DELAPROGRAMACiÓN LINEAL 1Elproblema dela programación lineal:Convexodesolucionesylasres- tricciones que lo limitan.... ..... ......... ...... ... ....... .... ...... .. ....... .... ............ ..... ....377 2Resolución geométrica del problema de la programación lineal en dosva- riables............ .... ..........................................................................................387 3Expresión matricialdel problema general en nvariables ylostipos deso- luciones.......................................... ......... ....... ..... .... .... ......... ........................399 Conjuntos convexos..... ........ ... ... ....... ... ...... .... ........ ..... ....... ....... ....... ............403 5Teorema Fundamental de la Programación Lineal.......... .... ... .. ......... ...... ....413 Fundamentos del Algoritmo Simplex.... .. ... ....... .. ........... ... ..... ..... ............. ...425 v ESPACIOS VECTORIALES Ejercicios relativos a: 1.Cuando en elconjuntoV={O,1,2}seutilizanlaoperacioneshabituales de sumar y multiplicar por unnúmero real,severifica: A)(V,+)no es una es- tructura algebraica; B) (V, +) es ungrupo; C) (V, +,IR)tiene estructura de espa- cio vectorial; D)Ninguna de lasanteriores . •:.(V,*,0,• • • )es una estructura algebraica ~Ves unconjunto en el que hay definidas una o más operaciones:*,0,••• La respuesta evidente es A, ya que,la suma en este conjunto no es ley de com- posición interna:1 + 2 = 3, que no es elemento de V. Por la misma razón no son correctas las demás opciones. 2.Si en el conjunto V = {(a,b)E1R2 / a > O}se define la ley de composición interna(a,b)*(e,d)= (a e,b + d),escierto queelelementoneutrode(V,*) 1 Análisis de cuándo unconjunto conuna ley. .. verifica: A) Es (O,O);B) Existe pero no pertenece a V;C) No existe; D) Ningu- na de las anteriores . •:.Losobjetosmatemáticosque formanV sonparesdenúmerosreales,tales que,su primera coordenada es mayor que O. ¿ Es(O,O)elemento neutro? (O,O)no eselelementoneutroporque no perteneceaV~Ano escorrecta. ¿ Existe elemento neutroH(C,el)"? 2 Si existiera unelemento neutro (e,el)debería verificar (a,b)* (e, el)= (a,b) y (e,el)* (a,b) = (a,b). (a, b) * (e, d) = (a, b) ~- ~- ~Eselementoneutroporla { ac-a{C-l b+d = bd =Oderecha.. Si (1, O)es el elemento neutro, debe verificar también que (e,el)* (a, b) = (a,b), porque no sabemos si la operación es conmutativa, o no. (l, O)* (a,b) = (la, 0+ b) = (a,b) ~Es elemento neutro por la izquierda. ~Existe elemento neutroquees(1,O)ypertenece aV~Es correcta la op- ción D. 3.Sienelconjuntodenúmerosenterossedefinelaoperacióna* b= =ab - a - b + 2,se verifica: A) Hay números enteros que no tienen unelemen- to simétrico entero; B) Existe un elemento neutro "e"; C) (l'.,*)tiene estructu- ra de grupo conmutativo; D) Ninguna de las anteriores . •:.La operación definida no es una operación estándar, y hay que comprobar que el resultado de hacer la operación con dosnúmeros enteros cualesquiera es otro número entero; eS,evidente que esto es cierto, y por tanto,* es una operación ce- rrada en l'.(ointerna),ypodemos empezar acomprobar quéaxiomasverifica. Capítulo1-1 Como una de las opciones es "ser grupo conmutativo", hay que ver si cum- ple todos y cada uno de los axiomas de grupo conmutativo, sino cumple algu- no no 10es. ¿Es conmutativa? Sí es conmutativa porque a * b = b * a siendo a, b números enteros cualesquiera. Primer miembro: a * b = ab - a - b + 2. Segundo miembro:b * a = ba - b - a + 2. ¿Es asociativa? Sí es asociativa porque (a* b)* e = a * (b* e)siendo a, b,e,números enteros cualesquiera. Primer miembro:(a* b)* e = (ab - a - b + 2)* e = =(ab- a - b + 2)e - (ab - a - b + 2) - e + 2 = abe - ae - be - ab + e + a + b. Segundo miembro: a * (b* e) = a * (be - b - e + 2) = =a (be - b - e +2) - a - (be - b - e + 2) +2 = abe - ae - be - ab + e + a + b. ¿Existe elemento neutro"e"? Si existe un elemento unidad, o neutro,"e ", que es un número entero debe ve- rificar que a * e = e * a = a,siendo a cualquier número entero. a* e = ae - a - e + 2 = a=>ae - e = 2a - 2 =>e (a- 1) = 2 (a- 1)=>e = 2 si a-:;:.l. Si a = 1 no se puede simplificar, y comprobamos aparte que también se verifi- ca a * e = ae - a - e + 2 = a,porque1 * 2 = 1.2 - 1 - 2 + 2 = 1. 2esunnúmeroenteroquetambiénverifica2* a= a,yaque,2* a= = 2 a - 2 - a + 2 = a. 3 Análisis de cuándo un conjunto conuna ley. .. No hace falta comprobar que a * e = e * a,porque sabemos que es conmutativa. :::::}Existe elemento unidad y es2:::::}La opción B es cierta. d)¿Cada número entero atiene un elemento simétrico"a' '' ? Si existe, debe verificar, para a "#1 que a* a' = aa' - a - a' + 2 = 2 ",a :::::}aa-a= a:::::}a=-- a-l Esta propiedad no escierta porque,engeneral,elposiblesimétricopuede no ser un número entero. Elsimétricodea= 1nosepuedehallarpor ese procedimientoporquenose puede dividir por 0,siexiste debe verificarla' - 1 - a' + 2 = 2,expresión equi- valente a "1= 2", que es imposible. :::::}Es correcta la opción Ay(7L,*)no tiene estructura de grupo. 4.SiconsideramoselconjuntoV= {Libro},yenV consuúnicoelemento definimosla operación:Libro* Libro=Libro,ylaoperaciónexterna conlos números reales:A. (Libro)= Libro (siA es cualquier número real),se verifica: A) No es grupo conmutativo;B) Es espaciovectorial;C)(V,*)no es cerrado; D) Ninguna de las anteriores. ¿ Es V un conjunto cerrado con laoperación *? El resultado de hacer la operación con dos elementos de V es un elemento de V: Libro* Libro = Libro. es decir, la operación es interna (ó (V,*) cerrado) y la opción e es falsa. a)¿ Es asociativa laoperación * en el conjunto V? 4 Esasociativa porque(a* b)* c= a* (b* c),yaque,elúnicoelementodel conjunto es Libro y verifica:(Libro* Libro)* Libro = Libro* (Libro* Libro). Capítulo1-1 Primer miembro:(Libro* Libro)* Libro = Libro* Libro = Libro. egundo miembro:Libro* (Libro* Libro) = Libro * Libro = Libro. ¿Existe elemento neutro"e"? Existeunelementoneutro"e",queesunelementodelconjuntoyverifica a* e = e * a = a,siendo a cualquier elemento delconjunto. Se desprende de la definición de esta operación que Libro es el elemento neutro. ¿Para cada elemento"a" del conjunto hay un elemento simétrico"a/"? Si existe, debe ser del conjunto yverificar a* a/ = a/ * a = Libro. Libro es el elemento simétrico de Libro. ¿La operación definida es conmutativa? Siloes,debeser cierto que a* b = b* asiendo a,belementos delconjunto. Es evidente que Libro* Libro = Libro * Libro,yla operación es conmutativa. ~(V,*) tiene estructura de grupo conmutativo y es falsa la opción A. Análisisdelosaxiomasqueseverificanrespectoala operación externa: ¿Distributiva de los escalares respecto a los vectores:A. (x * Y)= (A • X)* (A. Y) ? Debe verificarse:A. (Libro* Libro) = (A . Libro)* (A . Libro). Primer miembro:A • (Libro* Libro) = A • Libro = Libro. Segundo miembro: (A • Libro)* (A • Libro) = Libro * Libro = Libro. ~Sí verifica esta propiedad. ¿Distributiva de los vectores respecto a los escalares: (A+ /-l)• X = (A .X)* (¡.l. X)? Eneste casodebeverificarseque(A+ /-l)•Libro= (A•Libro)* (/-l•Libro). 5 Análisis de cuándo un conjunto conuna ley. .. Primer miembro:(A,+ J1)• Libro = Libro. Segundo miembro: (A,• Libro)* (J1. Libro) = Libro* Libro = Libro. =>Sí verifica esta propiedad. C)¿ Es verdad que (A,J1)• :x = A,•(J1. X)? Analicemosambosmiembrosdela expresión(A,J1)•Libro= A,•(J1•Libro). Primer miembro:(A,J1)• Libro = Libro. Segundo miembro: A,•(J1• Libro) = A,•(Libro)= Libro. =>Sí verifica esta propiedad. D)¿ Verificael escalar unidad"1" que1 .:x =:x? 6 1 • Libro = Libro, es cierto con la definición dada. =>Podemos afirmar que (V,*,•IR)esunespacio vectorial y es correcta la op- ción B . •:.Elconjuntodadoesespaciovectorial,elúnicovectordelespacioesLibro. 5.Sabiendoque(1R 2 ,+)esungrupoconmutativo,cuandodefinimoslasi- guiente operación de suselementos conlosescalares:A,•(Xl.X2)= (Ax"O)no se verifican lassiguientes propiedades: A)Distributiva de losescalares respec- toalosvectores;B)Distributivadelosvectoresrespectoalosescalares; C) Asociativa; D) Existencia de un escalar unidad . •:.Losobjetos matemáticoscon que estamos trabajandoson loselementos de 1R 2 ,ylosescalares "A,"con que hacemosla operación que hemosdefinidoson números reales. Vamosa estudiar laspropiedades que tiene esta operación demultiplicar esca- lar por vector. Capítulo1-1 ¿Distributiva de los escalares respecto a los vectores:A· (x + Y)= (A. X)+ (A. Y) ? :=}Sí verifica esta propiedad. ¿Distributiva de los vectores respecto a los escalares: (A + J.1)• x = (A • X)+ (A. X) ? :=}Sí verifica esta propiedad. I¿Asociativa (AJ.1)• x = A. (J.1. X) ? Primer miembro:(AJ.1). (x"x 2 )=(AJ.1) x"O)=(Aj.1X, .O). Segundo miembro:A. (J.1. (x" x 2 )) = A. (j.1X"O)= (Aj.1X"O) . :=}Sí verifica esta propiedad. ¿ El escalar unidad cumple que1 • x = x? Los dos miembros son distintos:=} No verifica esta propiedad y es cierta la op- ción D . •:.Podemos afirmar que no esunespacio vectorial puesto que nocumple una de las condiciones necesarias. 7 Análisis de cuándo un conjunto conuna ley. .. 6.Elconjunto delosnúmerosrealespositivos(distintosdeO)conla opera- ción demultiplicar estándar verifica que:A)No tiene elemento neutro;B) Hay elementos cuyo simétrico no esunnúmero realpositivo; C) La operación noes asociativa;D)La operaciónnoes conmutativa . •:.El resultado de hacer la operación de multiplicar dos números reales positi- vosdistintos de O es un número realpositivo,es decir,la multiplicación esley de composición interna para los números reales positivos. Análisis de los axiomas de grupo que verifica, o no, la operación de multiplicar dos números reales positivos distintos de O: a)¿Es asociativa? Sí porque (ab)e = a (be). b)¿ Existe unelemento neutro? Sí, porque "1" es un número real positivo y verifica al = la = a,siendo a cual- quier número real positivo. e)¿Paracada númeroreal positivo"a" delconjunto hayunnúmeroreal positivo simétrico"a'''? Si existe, debe verificar aa' = a'a = 1 ~a' = l/a; (a' es real y positivo). d)¿La operación definida es conmutativa? 8 Sí, porque ab = basiendo a,b números reales positivos. ~No es cierta ninguna de las opciones dadas. 7.Sienelconjuntodelosnúmerosrealespositivos(distintosdeO)"IR+" conlaoperacióndemultiplicar estándar, definimoslasiguienteoperaciónex- terna con losnúmeros reales:A • x = x\se verifican lassiguientes propiedades: A) A. (xy) = (A. x) (A. y); B) (A + f.l)• x = (A. x)(J.l. x); C) (Af.l)• x = A. (J.l. x); D)Existe un escalar unidad. ••(xy) = (A. X)(A. y)? Primer miembro:A. (xy) = (xy)" = x'y'. egundo miembro:(A • x)(A . y) = x"/. ~Sí verifica esta propiedad ~Es cierta la opción A. ¡(A. + Ji)• x = (A. x)(J1. x)? Primer miembro:(A + Ji)• x = x"+!1 = x" Y!'. Segundo miembro:(A. x)(J1. x) = x" Y!'. ~Sí verifica esta propiedad ~Es cierta la opción B. ¡A.jL) . x = A. (J1.x) ? Primer miembro:(AJi)• x = xAll. Segundo miembro: A. (J1. x) = A • (Y!') = (Y!')" = xIl" = xAll. ~Sí verifica esta propiedad ~Es cierta la opción C. ¿El número real" 1" verifica1 • x = x? Capítulo1-1 1 • x = Xl= X~Sí verifica esta propiedad ~Es cierta la opción D. 8.Sien elconjunto de losnúmeros realesposItivos(distintos de O)se define la operación de multiplicar yla siguiente la operación externa conlos números reales:A •x = x\severifica:A)Elconjuntodelosnúmerosrealespositivos con la operación de multiplicar no es grupo conmutativo; B) Elconjunto de los números reales positivos conlaoperación de multiplicar es grupo no conmuta- tivo;C) Elconjunto delosnúmerosrealespositivos conambas operaciones es espacio vectorial; D)Ninguna de las anteriores. Como consecuenciadelaspropiedadesanalizadasen elejercicio6podemos decir que (IR+,.)tiene estructura de grupo conmutativo. 9 Análisis de cuándo un conjunto con una ley. .. Utilizandoelestudio hechoenelejercicio 7 junto alresultadoanterior,pode- mos decir que (IR+, .,-IR)tiene estructura de espacio vectorial. ~Es correcta la opción C. 9.El conjunto V= {(Xl, X2)/X¡EIR+, X2 EIR}con la operación (x¡ , X2) * (y¡, Y2) = = (x¡Y¡,X2 + Y2)verifica: A)Tiene elemento neutro;B) Todoelemento tieneun simétrico en V;C) Esasociativo; D) Es conmutativo . •:.Los objetos matemáticos delconjuntoVsonparesdenúmeros reales,tales que, el primer elemento del par es positivo distinto de O. •:.Elresultadodehacer la operación propuesta esotropar de lasmismasca- racterísticas, es decir, la operación es cerrada en V. .:.Laspropiedades de lasdiferentesopcionesson losaxiomasdegrupo,vea- mos los que verifica esta operación: a)¿Es asociativa? Primer miembro: Segundo miembro: (X¡,X 2 ) * (Y¡'Y2) * (z¡ ,Z2») = (x¡,x 2 ) * (y¡z¡ 'Y 2 + Z2) = (x¡y¡z¡,x 2 + Y 2 + Z2) · b)¿Es conmutativa? 10 Sí, porque (x¡,X2)* (y¡, Y2)= (y¡, Y2)* (x¡, X2). Primer miembro:(x¡,X2)* (y¡, Y2)= (x¡y¡, X2+ Y2). Segundo miembro:(y¡, Y2)* (x¡, X2)= (y¡x¡, Y2+ X2). Capítulo1-1 ¡ Existe elemento neutro? Sí, porque existe el par (el, e2),que verifica:(XI, X2)* (el, e2) = (e¡,e2) * (XI, X2)= = (XI, X2),siendo (XI, X2)cualquier par de V. { x,e, = x,{e,= 1 (x"x 2 )*(e"e 2 )=(x,e"x 2 +e 2 ):.:::::> x 2 + e 2 = x 2 e 2 = O Elpar(1,O)es el elemento neutro. Es suficiente comprobar que (XI, X2)* (el,e2)= (XI, X2)porque la operación es conmutativa. ¡ Para cada par (XI, X2)del conjunto hay un par simétrico (XI, xi)?, Si existe (XI, xi), debe ser cierto que (x¡,X2)* (XI, xi) = (1, O). .""= 1 Sedebe x 2 +xz = O :,=> e, ,-x,) es elpa"imétrico de (x"x,j, que existe para cual- x 2 --x 2 cualquier valor de (XI, xz)y pertenece aV. Son ciertas las cuatro opciones dadas y (V,*) es un grupo conmutativo. 10.SienelconjuntoV = {(x" X2)/XIEIR+,X2EIR}conlaoperación* del ejercicio anterior se define tambiénla siguiente operación de los elementos de V conlosnúmerosreales:ít . (x"Xz)= ítx z ), ít E IR, se verifica:A)Distri- butiva delosescalaresrespectoalosvectores;B)Distributiva delosvectores respecto a los escalares; C)(ítf.1) . (x"x z ) = ít . (f.1 . (x"x z »);D) Existe un esca- lar unidad . .:.Los elementos de V son pares de números reales, el primero de los cuales es mayor que O. 11 Análisis de cuándo un conjunto conuna ley. .. · A)¿Distributiva de los escalares respecto a los vectores: íl. (xpx 2 ) * (YPYJ) = (íl. (X"X 2 )) * (íl. (Y P Y 2 ))? Segundo miembro:(íl. (X"X 2 )) * (íl. (YPY2)) =ílx 2 ) *ílY2) = = ,ílx 2 + ílY2) . =>Sí verifica esta propiedad porque ambos miembros son iguales => A es cierta. B)¿Distributiva de los vectores respecto a los escalares:(íl + Ji). (XI ,x 2 ) = = (íl.(XpX 2 ))*(Ji·(x"x 2 ))? Primer miembro:(íl + Ji). (x px 2 ) =,(íl + Ji)x 2 ). Segundo miembro:(íl. (XI ,x 2 )) * (Ji. (XI' x 2 )) =ílx 2 ) * (xi ,J1X2) = =,ílx 2 + J1X2). =>Sí verifica esta propiedad porque ambos miembros son iguales => B es cierta. C)¿(ílJi). (xpxJ = íl. (Ji. (x"x 2 ))? 12 Primer miembro:(ílJi) . (x px 2 ) = ,ílJ1X2). =>Sí verifica esta propiedad =>C es cierta. =>Sí verifica esta propiedad =>Des cierta. •:.Comoconsecuenciadelejercicioanteriorydeéstepodemosafirmarque (V,*,es un espacio vectorial. Capítulo1- 1 11.Sabiendo que (1R 2 ,+) esungrupo conmutativo, definimosla siguiente ope- ración producto de los escalarespor loselementos de 1R2: A - (XI,X2) = (MI, X2), entonces (1R 2 ,+,-IR)verifica:A)Es espacio vectorial;B)Elproducto de esca- larespor la suma de elementos de 1R2 noes distributivo;C) Elproducto de ele- mentos de 1R2 por la suma de escalares noes distributivo; O) No hayunescalar que sea elemento unidad enlaoperación externa definida. ¿Distributiva delos escalares respecto a lasuma deelementos de1R2: i +y)=AX+Ay? Primer miembro: A- (X + y) = A- (XI+ Y"x 2 + Y2) = (A(X I + YI),X 2 + Y2) = (MI + Ay"X2 + yJ. Segundo miembro: A- (x"xJ + A - (Y"Y2) = (M" X 2 ) + (AY"Y2) = (MI + Ay"x2 + Y2)· Sí verifica esta propiedad ~Es falsa la opción B. ¿Distributiva delasuma deescalares respecto a los elementos de1R2: JI) - x = (A - x) + (/1 - x) ? Primer miembro:(A + /1) - (x"x 2 ) = ((A + /1)(x"x 2 ») = (MI + /1X"x2)· Segundo miembro:A- (x"x 2 ) + /1- (x"xJ = (M"X 2 ) + (/1X"x 2 ) = = (MI + /1X,,2xJ. No verifica esta propiedad ~Es cierta la opción C. ¿ El escalar unidad verifica que1- x = x ? Segundo miembro:(Xl.X2). Sí verifica esta propiedad ~Es falsa la opción D . •:.Para que sea espacio vectorialdebe verificar todoslosaxiomas,como con- secuencia, también es falsa la opción A. 13 Análisis de cuándo un conjunto con una ley. .. 12.Sien el conjunto de números enteros se define la operación x * y =xy + 1,la operación dadatienelapropiedad:A) Asociativa;B)Existeelementoneutro; C) Es conmutativa; D) Ninguna de las anteriores. a)¿Asociativa? Para que verifique la propiedad asociativa debe cumplirse (x * y) * z =x * (y * z) . Primer miembro: (x * y)* z = (xy +1)* z = (xy +1)z +1 = xyz + Z +1. Segundo miembro: x* (y* z) = x* (yz +1) = x (yz +1) +1 = xyz + x +1. La opción A es falsa porque lasdosexpresiones noson iguales. b)¿ Existe elemento neutro? S ·.1dbrifix-l 1 eXiste e emento neutroee vecare * x = x * e = x ~ex + 1 = x ~e = -- x que, en general,noserá unnúmero entero(para x= O noexiste)~La opción B es falsa. c)¿Es conmutativa? La opción e es cierta por la conmutatividad de (lL,.). 13.SedefinelaoperaciónÁe(xI'X 2 )=().?XI'A.x 2 )siendoÁEIRy x = (xl'x 2 )E1R2.Deentrelassiguientesopciones,elíjaselacorrecta: A)(Á+,u)ex=Áex+,uex;B)Áe(x+y)=íLex+íLy;C)leX;éx;D)Nin- guna de las anteriores. ¿Es cierta laopción A? Primer miembro: 14 Capítulo1-1 egundo miembro: ~No es cierta porque el primero y elsegundo miembro no son iguales. cierta la opción B ? Primer miembro: A. (XI'X 2 ) + (YI'Y2)) = A. (XI+ YI'X 2 + Y2)= (A 2 (XI+ YI),A(X2 + Y2))' Segundo miembro: A. (xl'x 2 ) + A. (YI' Y 2 ) = (A 2 Xl' Ax 2 )+ (A 2 yl' AY2) = (A 2 XI+ A 2 yI' Ax 2 + Ay 2 )· ~Sí es cierta porque elprimero y elsegundo miembro son iguales. cierta laopción C? El escalar unidad,1,verifica1. x = x : le (Xl'xJ = (1 2 x l ,1x 2 )= (XI'X 2 )· ~Noesciertaporque elprimeroyelsegundomiembrosísoniguales,yla pregunta es "¿son distintos1. x yx?". cierta laopción D? No es cierta la opción D ya que se verifica una de las anteriores. 15 Capítulo1-2 Ejercicios relativos a: Elconjunto5desolucionesdelaecuaciónXI+ - 3X3= O verifica: ) Es un subespaciovectorialde (IR 3 ,+,IR);B)La suma dedossoluciones de a ecuación no essolución de la ecuación; C) El producto de un escalar por una olución puede noser solución; D) Ninguna de las anteriores. Para ver sies espacio vectorial, o no,podemos: a)Comprobar que verifica todos los axiomas. b)Utilizar la caracterización, ya que la ecuación dada siempre tiene soluciones de la forma (SI,S2,S3) EIR 3 ,y por tanto 5 es un subconjunto no vaCÍo de IR 3 . Optaremos por la segunda vía, que es mucho más corta. + Los elementos de 5sonsoluciones de la ecuación dada,es decir,(SI.S2, S3) de IR 3 que verifican SI+ 2s 2 - 3s 3 = O. a"5" lasuma de dos elementos de"5"? Si tomamos dos soluciones de la ecuación: (SI,S2, S3) Y (tI.t2, t3),se debe verifi- car que (SI.S2, S3) + (tI.t2, t3) = (SI+ ti, S2 + t2, S3 + t3) E5. Comprobemos que es así: sumando miembro a miembro lasdos ecuaciones yreagrupando los sumandos obtenemos: 17 Cuándo un subconjunto de un espaciovectorial... (s,+2S2 3s 3 ) +(t,+2t2 - 3t3) = (s,+ tI)+2 (S2 +t2) - 3 (S3 + t3) = O,que de- muestra que (s"S2, S3) + (t"t2, t3) essolución de la ecuación dada, es decir,ve- rifica (s"S2,S3) + (t"t2, t3)ES. La suma de dos soluciones de la ecuación es solución de la ecuación B es falsa. ¿ Pertenece a S el producto deun escalar por un elemento de S? EsciertoqueA(S"S2,S3)ES,Yesevidentequeesasí,porque A (s,+ 2S2 - 3s 3 ) = AO= O. El producto de un escalar por una solución es solución La opción C es falsa. Severificaquelasumadedossolucionesdelaecuaciónessolucióndela ecuación y elproducto deunescalar por una solución essolución Sí essu- bespacio vectorial y es correcta la opción A. 2.ElsubconjuntoV = {(x" X2)/X2= 1}de1R2verifica:A)(V,+)no esgrupo conmutativo;B)(V,+)noessubgrupode(1R 2 ,+);C)(V, +,IR)essubespacio vectorial de (1R 2 ,+,IR);D) Ninguna de lasanteriores . •:.Los elementos de V son pares de números reales cuya segunda coordenada es1. ¿Pertenece aVlasuma de doselementos deV? 18 La suma de doselementos deV no está enU. (x"1) + (y"1) = (x,+ y"2)que no pertenece a V porque la segunda coordena- da del par no es1. Vnoesgrupo,noessubgruponiessubespaciovectorialde(1R 2 ,+,IR) Son correctas las opciones A y B,Y es falsa la C. (x,+ x 2 ,2) __________-4____ (x 2 ,1) Capítulo1-2 En este caso es evidente que (U, +)no es grupo,ya que el elemento neutro O O) no es de U (no es1 susegunda coordenada). .El subconjuntoU = {(XI,X2)/XI = X2}de1R2 verifica:A)(U, +) no es grupo onmutativo;B)(U,+)noessubgrupo de(1R 2 ,+);C) (U,+,IR)essubespacio torial de (1R 2 ,+,IR);D) Ninguna de las anteriores. Los elementos deU son pares realesque tienen lasdoscoordenadas iguales . ....rDtece aU la suma de dos elementos deU? í. porque (XI , XI)+(yl ' YI)= (XI+ YI , XI+ YI),que pertenece aU.(La segunda coordenada del par es igual que la primera). _w""p,'p aU el producto deun escalar por un elemento deU? El producto de un número por un elemento de U pertenece a U: A(Xl.XI) =(MI, MI)' u un subespacio vectorial de(1R 2 ,+, IR) ? Sí, porque verifica las dos condiciones anteriores=>Es correcta la opción e y 00 falsas Ay B porque (U, +,IR)es espacio vectorial. 4.El subconjunto U = {(XI, X2)/ XIX2 = O}de 1R2 verifica: A) La suma de dos ele- mentos de U pertenece a U; B) (U, +) es subgrupo de (1R 2 ,+); C) (U,+, IR)es es- pacio vectorial de (1R 2 ,+,IR);D)Ninguna de lasanteriores . •:.Los elementos deU son pares reales, tales que, el producto de sus dos coor- denadas es O. rtenece aU lasuma de dos elementos deU? No,la suma de dos elementos deU puede no estar en U. (XI , X2) +(yl , Y2) = (XI+ YI,X2 + Y2),sabemos que XIX2 = °YYIY2 = 0, pero no es suficiente para asegurar que(XI + YI)(X2+ Y2)= 0,ya que(XI+ YI)(X2 + Y2) = =XI X 2 + XIY2 + YI X 2 + YIY2 = XIY2+ YI X 2· 19 = Cuándo un subconjunto de un espaciovectorial... Así ocurre en el ejemplo siguiente: Sean (Xl.Xz)= (1,O);(yI. YZ)= (O,2)~(XI+ YI.Xz+ Y2) = (1,2); los pares dados son deV,pero no lo essusuma porque (XI+ YI)(X2+ Y2)= 1.2::f:. O ~(V, +,IR) no esgrupo nisubgrupo niespaciovectorial~Lasopciones A,B,Cson fal- sas; es correcta la D . •:.Observemosquenoessuficientequeelelementoneutro,ounidad, perte- nezcaalsubconjuntoparaasegurarqueessubespaciovectorial,aunquesí es condición necesaria . •:.LarepresentacióngráficadeVenIR z eselconjuntoformadoporlosdos ejes de coordenadas, y por tanto, no es un subespacio vectorial. .:.Los únicossubespacios propios deIR z son cada una de lasnietas que pasan por el origen, pero no la unión de dos o más. 5.El subconjunto V = {(XI,X2,X3)/X21+ x\ + x\ ~l}de 1R 3 verifica: A) La su- ma de doselementos deVpertenece aV;B)(V, +)no essubgrupo de(1R 2 ,+); C) (V, +,IR)essubespacio vectorial de(1R 2 ,+,IR);D)Ninguna de las anteriores. ¿Pertenece aVlasuma de doselementos deV? 20 No, la suma de dos elementos deV puede no estar en U. Ejemplo: (1,1,1) es un elemento deV,ya que 1 z + 1 z + 1 2 = 3 ~1. (-1, -1, -1) es un elemento de V,ya que (_1)z + (_1)z + (-1)z = 3 ~1. (1 ,1,1) + (-1, -1, -1) = (O,O,O)no es un elemento de V, ya que OZ+ OZ+ OZ= O < 1. ~Las opciones A,C,D son falsas,es correcta la B. 6.SonsubespaciosvectorialesdecualquierespaciovectorialrealV: A)El conjunto vacío;B)Elnúmero real1;C)El elemento neutro dela opera- ción interna deV;D) Ninguna delasanteriores. Capítulo1-2 De la definición de subespacio se desprende que la opción A es incorrecta. La opciónBtambiénesincorrecta:Sielúnicoelementodelconjuntoesel número reall, en general,noes el elemento neutro de la leydecomposición interna yel conjunto nopuedeser subespacio sinocontiene dichoelemento neutro. La opción C escorrecta, y,la D incorrecta. 7.Enelespaciovectorial(1R 3 ,+,IR)sonsubespacios:A)Cualquierrecta; B) Cualquier plano; C){(O,0, O)};D)(1R 3 ,+,IR). Del espacio vectorialIR 3 quedan excluidos como subespacios todos los conjun- tosquenocontengan(0,0,O)~Lasopciones AyBsonfalsasporquehay rectasy planos que no pasan por el origen. Las opciones C y D son ciertas, el neutro de la ley de composición interna y el espacio vectorial son subespacios impropios del espacio dado. 8.El conjuntodepolinomiosrealesdegradocuatroconlasoperacioneses- tándar de sumar y multiplicar por escalares verifica: A)La suma de dosdesus elementospertenecealconjunto;B)Elproduct{)deunpolinomioporunnú- merorealpertenecealconjunto;C)Esespaciovectorial;D)Essubespacio vectorial del espacio de polinomios reales . .:.Los polinomios de grado cuatro tienen la forma ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e con a ;t O. suma de dos polinomios de grado cuatro es un polinomio de grado 4? La opción Aesfalsaporquesilosdospolinomiostienenelcoeficientedex 4 con el mismovalor absolutoy signodiferente,el coeficiente de x 4 en el poli- nomio suma es O. Ejemplo: (_5x 4 + 3x 3 + 4X2 -x + 7) + (5x 4 +-2X2 + x) = 3x 3 + 6X2 + 7,que no es de grado 4. ~No es espacio vectorial y son falsaslas opciones C y D. 21 Cuándo un subconjunto de un espaciovectorial... ¿ El productodeunescalar por un polinomiodegradocuatroesun polinomiode grado cuatro? A.(ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e)es un polinomio de grado cuatro siA. *- o. Si A.= O se obtiene el polinomio Ox 4 + Ox 3 + OX2 + Ox + O,que no es del conjun- to, es de grado O => Es falsa la opción B. 9.Elconjuntodepolinomiosrealesdegradomenor oigualque cuatrocon lasoperacionesestándar desumar ymultiplicar por escalaresverifica:A)La suma de dos de sus elementos pertenece alconjunto;B) El producto de un es- calar por un elemento del conjunto pertenece al conjunto; C) Es espacio vecto- rial; D) Es subespacio vectorial del espacio de polinomios reales . •:.Lospolinomiosrealesdegradomenoroigualquecuatrotienenlaforma ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e,con a,b, e,d números reales. ¿ La suma dedos polinomios degrado menor oigual quecuatroes un polinomio de grado menor o igual que cuatro? Sí,porque(ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx+ e)+(a'x 4 + b'x 3 + c'x 2 + d'x+e')= =(a+ a') x 4 + (b + b') x 3 + (e + e') X2+ (d + d') x + (e+ e'), que es un polinomio de grado menor oigual que cuatro. => La opción Aes cierta. ¿ El producto deunescalar por polinomio degrado menor oigual quecuatroesun polinomio de grado menor o igual que cuatro? 22 A.(ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e)esunpolinomiodelmismogradoque ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e si A. *- O, Y el polinomio Ox 4 + Ox 3 + OX2 + Ox + O,si A. = O. => Es cierta la opción B. => Es cierta la opción e por ser ciertas Ay B. Capítulo1-2 Dando por sabido que el conjunto de polinomios reales es un espacio vecto- rial, podemos asegurar que también es cierta la opción D. 10.El subconjuntoSOformado por todas las n-uplas de números reales, tales que los elementos de cada una de ellas forman una progresión aritmética verifi- a que: A) La suma de dos progresiones aritméticas es una progresión aritméti- ca; B) El producto de una progresión aritmética por un número real esuna pro- gresiónaritmética;C)Notieneelementoneutroparalasuma;D)Es ubespacio vectorial de Los elementos def.Json de la forma (a¡,a¡+ d,a¡+ 2d,...,a¡+ (n- 1) d), donde a¡representa el primer elemento, dla razón y n el número de elementos de la progresión. suma de dos progresiones aritméticas es una progresión aritmética? La respuesta es sí,porque (al' a¡+d,a¡ +2d, ...,a¡+(n +2d', .. . +(n -1)d') = = (a ++ + (d + d'),(a + + 2(d + d'), .. . ,(a + + (n -1)(d +d')), es decir,la suma de dosprogresiones aritméticasesuna progresión aritmética cuyoprimer término es la suma delprimer término de cada una de lasprogre- iones dadas,y, cuya razón esla suma de las razones. =>La opción A es cierta. producto de un escalar por una progresión aritmética es una progresión aritmética? A(al'a¡ +d,a¡ +2d, ... ,a¡+(n-l)d)=(MI'M¡ +M, M¡+2M, .. . ,M¡ +(n-l)M), que es una progresión aritmética de primer término M¡y razón M. =>La opción Bes cierta. una progresión aritmética que sea elemento neutro de la suma? Sí, es la progresión cuyo primer elemento es O y cuya razón es O. 23 Cuándo un subconjunto de un espaciovectorial... (al,a l +d,a, +2d, ... ,a, +(n -l)d)+ (0,0,0 ... ,0) = =(a"a l +d,a¡ +2d, ... ,a, +(n-1)d). ~La opción C es falsa. El conjuntofpformado por todas las progresiones aritméticas de n términos es unsubespacio vectorial de IR"~La opción Des cierta. 11.SiU,Vsonsubespaciosvectorialesde(IR",+,IR),UnVverifica: A)La suma de doselementos deUn Vpertenece aUn V;B) El producto de unnúmero realpor unelemento deUn Vestá enUnV;C) Puede ser vacía; D) (U n V,+ IR)es subespacio vectorial de (IR",+,IR). ¿Está enU n V lasuma dedos elementos deU n V? Los elementos de la intersección pertenecen a ambos conjuntos, por tanto: S · - - UnV{XEU,XEV lX,y E~ yEU,yEV .{X+y EU__ por ser U,V subespaclOs~__~x + y EU nV~Es correcta A. X+YEV ¿ Está enU n V el producto deun número real por un elemento deU n V? 24 Si A esun número real cualquiera, y x EUnV,se verifica que { X E U ~ X X E U ~XXEunv ~Es correcta B. X E V ~ X X E V ~La C es falsa porque Un V,almenos, contiene el elemento neutro. ~Es correcta Dpor serlo Ay B. Capítulo1-2 L .SiU,Vsonsubespaciosvectorialesde(IR",+,IR),UUVverifica: ) La suma de dos elementos de U UV siempre pertenece a U UV;B) Elpro- todeunnúmerorealporunelementodeUUVsiempreestáen UV;C) (U UV,+IR)essubespacio vectorial de(IR",+,IR);D) Ninguna de anteriores. Para ver que una afirmación noescierta es suficiente encontrar un ejemplo en que dicha afirmación no sea cierta. ParaverquelasumadedoselementosdeUUV puedenoestar enUUV, contruyamos elsiguiente ejemplo: iconsideramos el subespacioU de1R2formadopor los vectores de la recta XI = 0,yelsubespacioVde1R2 formadoporlosvectoresdelarectaXI= X2, ...{(0,5) EU => (0,5) EUUV bISectrIzdelpnmercuadrante,ocurreque,U' pero (3,3) EV=> (3,3) EUV elvectorsuma(3,8)~UUV,yaquenotienelaprimeracoordenada0, ni ambas coordenadas iguales. En general, U UV no es sub espacio vectorial de (1R 2 ,+,IR) aunque lo sean U y V. => Las opciones A y e son falsas. oPara demostrar queunaafirmaciónescorrecta hayque demostrarla,noes uficiente que sea cierta en unejemplo concreto. La opción Bes correcta. Demostración: Los vectores deUUV pertenecen aU o pertenecen a V,esdecir, { Si x EU =>ílXEU S . - 1==> A.XEU UV,porqueestáenUoestáenV,queeslo l XEV=>;u,EV, que quenamos demostrar. 25 Cuándo un subconjunto deun espaciovectorial... Enelejemploanterior,loselementosdeVUVsonpares(x),X2)talesque XI= O Ó X,= X2. Si x = (x"X2)EV=>A.X EVporque A.(O,X2)= (O,Ax2),quetienesuprimera coordenada O. Si x= (x"X2)EV=>A.X EVporque A.(x), X2) = (Ax"Ax2), que tiene sus dos co- ordenadas iguales si x,= X2. 13.ElsubconjuntoV = {f:IR~IR/ f(x)= asenx + bcosx}delasfunciones reales, siendo a, b EIRY unángulo fijo x,verifica: A) La suma de dos elemen- tosdeVperteneceaV; B)(V,+)noessubgrupodelgrupoqueformanlas funcionesreales conla operación de sumar;C)(V, +,IR)essubespacio vecto- rialde(IR 2 ,+,IR);D) Ninguna de las anteriores . •:.Los elementos de V son de la formaj(x) =asenx + bcosx. ¿La suma de doselementos deVestá enV? Si tomamos dos elementos cualesquiera:f,(x) = a,senx + b,cosx y !z(x) = a2senx + b 2 cosx,yhacemos su suma: f., (x) + f 2 (x) = alsenx + blcosx + a 2 senx + b 2 cosx = =(al+ a 2 )senx + (b l + b 2 )COSXEV =>La opción Aes cierta, (V, +) es subgrupo delgrupo que formanlas funcio- nes reales con la operación de sumar, y la opción Bes falsa. ¿La multiplicación deun elemento deV por unescalar está enV? 26 Sí, porque sia EIRa(asenx + bcosx) = aasenx + abcosx EVporqueaa yab son números reales. =>La opción e correcta. Capítulo1-3 Ejercicios relativos a: 1.Elvector(1,O,O)generaelsiguientesubespacio de1R 3 :A)EjedelasX I; B){ (x¡,X2,X3 )/X2 = X3 = O};C){(XI,XZ,X3)/XI'Í'O,X2= X3 = O};D)Ninguno de lasanteriores. Las combinaciones lineales posibles son: a[ ~H~J p ~ acumquier ar ~ L Cualquiera de estos vectores pertenece aleje de las X¡,independientemente del valor dea,que puede ser O ~Son correctas las opciones A y B,es falsala C. •Las únicas combinaciones lineales que se pueden formar con unvector úni- co son multiplicaciones de un vector por un escalar. + Losvectoresobtenidossoncombinacioneslinealesdelvector(1,O,O),y, gráficamente están representados por el vector dado, más grande o más peque- ño, cambiado de sentido o no. 27 Cuándo un sistema de vectores genera un espacio ... lB x, (1 , O,O) (2,O, O) " X,' (-3, O, O) x, (2, O, O) =2 (1, O, O) (- 112,O, O) =- 112 (1 , O ,O) (-3, O,O) = - 3 (1, O, O) 2.EnIR'lossubespaciosquegeneraunvectordadoson:A)Lasrectasque pasanporelorigenycontienenadichovector;B)Elpropiovector; C) Nogenera ningún subespacio; D)Ninguna de lasanteriores. Es correcta la opción A. Una recta que pasa por elorigen ycontiene el vector (x, ax) tiene por ecuación y = ax, siendo aun número real dado. Los vectores que están en ella son de la formaA{x,ax),y verifican Si U = {x}, (U, +)no es grupo porque x +x = 2x ~U ~La opción B es falsa. ~Las opciones e y D son fal sas. Capítulo1-3 { Vu, V E U:::::} U * V EU U es subespacio vectorial deV Y Vu EU, Víl EIR:::::}AAEU bconjunto no vacío de un espacio vectorialV. siendo Uun 3.Los vectoresobtenidos como combinación lineal de (1,O,O)Y (O,1,O)per- necena:A)Planoquedetenninanlosejes XIyX2;B){(Xl.X2,X3)/X3= O};C) (Xl.X2,X3)/XI= X2 };D) Pueden ser cualquiera de 1R 3 . Todas las combinaciones lineales que se pueden formar con los vectores dados son: a, p,O)sonvectoresde1R 3 dondecadaunadelasdosprimerascoordenadas puede tomar cualquier valor (no es necesario quesean iguales),y la tercera ha er necesariamente O, esdecir,sólo son correctas las opciones Ay B. Los vectores del plano que detenninan los ejes XIy X2sólo tienen que cum- plir X3= O. Esposibleescribirelvector(2,3,O)comocombinaciónlinealde: (0,0, 1) y(0,1,O);B)(1,0, O)Y (O,1, O);C) (1,0, O)Y(0,0,1);D)Noes ible escribirlo como combinación lineal de ninguno de los pares anteriores. Jlántasformas es posible escribir (2,3, O)como combinación lineal de(1, 0, O) • O)? Sólo es posible la combinaciónm~2m + {IJ~Es correcta la opción B. Todas las demás son falsas: Cuándo un sistema devectores genera un espacio ... ¿ De cuántas formas es posible escribir (a,{3,O)como combinación lineal de(1 , 0, O) Y (0,1, O) ? Laúnicadescomposiciónposiblede(a,{3,O)comocombinaciónlinealde (1,0, O)Y (0,1, O)es: ¿ Es posible escribir (2,3, O)como combinación lineal de(0, 0,1) Y (0,1,O)? La opción A no es posible porque no existen a, {3,números reales, que verifiquen ( 2J(OJ(OJ{2 = Oa+O/3 3=a° +{31,ya que,el sistema3=Oa+{3 °1°O=a+O{3 notienesolución;no existen a, {3,que hagan 2 = Oa + 0{3 = O. ¿Es posible escribir (2,3, O)como combinación lineal de(1, 0,O)Y (0, 0, 1)? 30 La opción e no es posible porque no existen a, {3,números reales, que verifiquen =+ya que el sistema 001O=Oa+{3 notienesolución;no existena, {3,que hagan 3 =Oa + 0{3 =O. •:.Para expresar que cualquier vector delsubespacio que formanlosvectores del plano que contiene los ejes XIy X2 dees una combinación lineal de (l, 0, O) Y (O,1, O),es decir, que dicho subespacio está generado por {(l, 0, O),(0,1, O)}, se utiliza la notación «1, 0, O),(O,1,O». . Capítulo1-3 .Loscoeficientesdela combinaciónlinealqueexpresaelvector(2,3,O) en funciónde(1,1,O)Y (O,-1/2, O)son:A)2,2;B)1,4;C)2,-2;D)Ningu- no de los anteriores. Es correcta la opción C y falsas las otras, es muy fácilcomprobar que pueden encontrar directamente los coeficientes en la combinación lineal re- h iendo el sistema de ecuaciones obtenido al igualar coordenada a coordena- en la siguiente expresión: J [J 2=a 21O2=a 3=a1 +/3[-1/2J =>3=a- ~=> {3=2- /3=> /3= -2. OOOO=Oa+O/32 En los ejerciciosanteriores hemos generado el vector (2, 3, O)como combi- ión lineal de vectores de{(1, O,O),(O,1,O)}y como combinación lineal de vectores de {(1,1, O),(O,-1/2, O)}de 1R 3 •Cualquier vector de la forma (a, /3,O), decir,que esdelsubespacio X3= O se puede generar demásdeuna manera. Un sistema de generadores de un subespacio no es único. 6.Sonciertaslas . siguientesrelacionesentresubespacios: ) «(1,O,O),(O,1, O»= «(1,O,O),(O,1,O),(O,O,1»; B) «(1,1,O),(O,-l/2, O»= = «(1,O,O),(O,1, O»;C) (0, O,O),(O,1, O»= (0, 1, O»;D) Ninguna de las an- teriores. subespacio genera{( 1, O,O),(O,1, O) } ? «(1,O,O),(O,1,O»={(Xl.X2,X3 )E1R 3 / ( XI.X2,X3)=a(1 ,O,O)+ /3(0,1,O)}, iendoa, /3 números reales cualesquiera. 9' Cuándo un sistema devectores genera un espacio ... La única condición que deben cumplir lascoordenadasde (0, 0, O),(0,1, O) es: X3 = 0, es decir, la ecuación cartesiana de (0, 0, O), (O,1, O)es:X3= O. La ecuación X3 = °es equivalente (define el mismo conjunto de vectores) a { X=a X:= f3, que son las ecuaciones paramétricas de (0, 0, O),(0,1, O). x 3 =0 ¿ Qué subespacio genera{(1, O,O),(O,1, O),(O,O,l)}? ((1,0, O), (O, 1, O), (O, O, 1)) = {(X p X 2' X 3 )E~ 3/(x p X2' X 3 )= a(1,O,O) + f3(0, 1,0) + r(O,O, l)} [ XlJ[lJ[OJ[OJ{Xl= a : := a~+ f3~+ r~: : :~Las coordenadas de «1, O,O),(O,1,O),(O,O,1)son independientes y definen todo~ 3 ,es decir, no hay ecuaciones cartesianas. ¿ Qué subespacio genera{(1,1, O),(O,-112, O)} ? 32 «(1,1, O),(O,-112, O)= {(x], X2,X3)E~ 3/(X],X2,X3)= a(1,1, O)+ (3(0, -112, O)} siendoa,f3E~ . Capítulo1-3 Laúnicacondiciónquedebencumplirlascoordenadasde«(1 ,1,O), O,-1/2, O)esX3 = O, que essu ecuación cartesiana. subespacio genera{(l, 1, O)}? ( 11, O)={(XI, X2, X3) EX2,X3) =a(l, 1,O)} ( XIJ(1){XI = a{ x 2 = a1x 2 = a :1:, quesonlasecuacionescartesianasde XOX- O3- «1, 1, O). 33- Tienenlasmismasecuacionescartesianas«(1,O,O),(O,1,O)Y «1,1, O), (O -1/2, O)Sólo es correcta la opción B. .Elvector(2,3,2)escombinaciónlinealdelossiguientesvectores: (1,1,1), (2,O,2)Y (3,4,3); B)(1,1,1) Y (3,4,3); C)(2,O,2)Y (3,4,3); D) oe puede escribir como combinación lineal de los conjuntos de vectores dados. e trata de encontrar números realesa, [3,y,que verifiquen ( 2J(lJ(2J(3J{2 = la + 2[3 + 3y 3= a1+ [3O+ Y4,es decir,de resolver el sistema3 = la + 0[3+ 4y. 21232 = la + 2 [3 + 3y Las ecuaciones primera y tercera son iguales y se puede prescindir de una de las dl ·1f2 = la + 2[3 + 3y.hl· os, eSIstema a resover es:, que tIene mucassoUClOnes. 3 = la+0[3+4y Aunquealgunassoluciones,como(a,[3,n = (-1,O,1),sevendeforma inmediata,haymuchasmásquesepuedenobteneralresolverelsistema: { 2 = la+2[3+3y{2-a = 2[3+3y ,quedaráunasoluciónparacadavalordea. 3 = la+0,B+4y3-a = 4y Cuándo un sistema de vectores genera un espacio ... Sia = -1se obtiene (a,/3, !?=(-1, 0,1),Y podemos afIrmar queson ciertas las opciones A y B. Para comprobar si es cierta la opción C,repetimos elproceso con losvectores que fIguran en ella: J1(!] J1=¡;A=--} 2232=2A+3J1J1 (2,3,2) = -!(2,0,2También es cierta la opción C. 84 .:.Las conclusiones que podemos sacar son: a)Losvectores(1,1,1),(2,0,2)Y (3,4,3)sonlinealmentedependientes. b)Sepuedegenerarelmismovectorcondistintosvectoresdeunsistema cuando dicho sistema es linealmente dependiente. c)Se puede interpretar geométricamente como que el vector (2,3, 2)está en el mismo plano que los vectores (1,1,1), (2, 0,2)Y (3, 4,3). 8.Sabiendo que X, y;Z son vectores de 1R 3 linealmente dependientes, es cierto que:A)Almenosunosepuede escribircomocombinaciónlinealdelosotros (con ambos coefIcientes distintos de O);B) Cualquiera de los tres es combinación lineal de los otros dos(con ambos coefIcientes distintos de O);C) Elsubespacio deIR) que generan X,y;Z sólose puedegenerar con dosvectores;D)Ninguna de las anteriores. La opción A es falsa, el vector elegido puede depender sólo de uno de los otros dos. Ejemplo:Elsistema{(1,0,O),(0,1, O),(2,0,O)}es linealmente dependiente. (2,0, O)= 2 (1, 0, O)+ 0(0, 1, O)es la única forma posible de escribir la depen- dencia lineal de (2, 0,O)de los otros dos vectores. 1 (1, 0,0);::: °(0,1,0) + -(2,0,0) 2 Capítulo1-3 (0,1, O)no se puede poner como combinación lineal de los otros dos. La opción B es falsa: (O,1,O)nosepuedeescribir comocombinación linealdelosotrosdos(con ambos coeficientes distintos de O). La opción e también es falsa. Ejemplo:El sistema {O, 0, O),(3,0, O),(2,0, O)}es linealmente dependiente y todos sus elementos dependen de uno: ~Es cierta la opción D. 9.U = {(x), X2,XJ)E1R 3 /x)+ X2 + XJ::: O}es unsubespacio vectorial de IR)que puedesergeneradopor:A){O,0,-1)};B){(l,0,-1),(0,1,-l)}; C) {(O,1, O)};D) Ninguno de los conjuntos anteriores. LosvectoresdeUsepuedenescribir: ~x{ ~ J+x{ ~ Jpor tanto, el sub espacio U está generado por S ~{( 1, 0, -1), (0,1, -1) }, esdecir,U;::: + f3x = OX2+ Ox + O;igualando los coeficientes de x 2 , x y el término independiente en ambos miembros, se obtiene a =O, 13 = O =>La opción B es cierta. t.base def.J 2? La opción e no puede ser cierta porque{x 2 ,X2 + x } no esgenerador def.J 2. 7.Sif.J2eselespacio vectorialrealde los polinomios de grado menor que 3 y una variable, S = {x 2 ,X2+ x,2x,3}es: A) Un sistema generador def.J 2; B) Un istema libre;C) Una base dedichoespacio; D) Ninguna de lasopcionesante- riores. e.un sistema generador def.J 2? SiS = {x 2 ,X2 + x,2x,3}esgenerador,severificaráqueax 2 + bx+ ese puedeescribircomocombinaciónlinealdeloselementosdeS,esdecir, ax 2 + bx + e = ro 2 + f3(x2 + x) + 8(2x) + y3 = (a+ f3>x2 + (13+20) x + 3y. Al igualar los coeficientes de las variables que tienen el mismo grado en ambos miembros se obtiene: { a+ f3 =a 13 + 28 = b ,quemuestraclaramentequesepuedenobtenerlosvaloresde 3y=c a,b, e a partir de los valores dea, 13, 8,y=>La opción A es correcta. 45 Independencia lineal, basesy dimensión de espacios ... ¿ S es un sistema un sistema libre? Si S esunsistema libre,cualquier combinación linealque genere elneutro de f,h tiene que tener coeficientes nulos. Siax 2 +/3= O=>La opción Besfalsaporque r 3=0r a, 13,8,rno tienen que ser todos O necesariamente. ¿ S es base de f.h? La opción C no puede ser cierta porque S no es libre. 8.Si S = {P(x), P'(x), P"(x), P'''(x)},esuna base del espacio vectorial de po- linomiosrealesdegradomenoroigualque3yunavariable,siendo P(x) = x 3 + X2+ X +1,se verifica que las coordenadas de Q(x) = x 3 + 4f + 9x +10 respecto a la base S son: A)(1, O,1, O);B) (1,1, 1,1); C) Cualquiera de las dos anteriores; D) Ninguna de las anteriores . •:.Como S es base delespacio vectorial dado, cualquier vector de dicho espa- cioesunacombinaciónlinealdesuselementos,yloscoeficientesendicha combinación son sus coordenadas . •:.S = {P(x),P'(x),P"(x),PIII(x)} = {x 3 + X2 + X + 1,3x 2 + 2x + 1,6x + 2,6}, porqueP(x) = x 3 + X2+ X + 1 Y P'(x) = 3X2 +2x+ 1,P"(x) = 6x +2,P III (x) = 6 son las derivadas sucesivas de P(x). ¿ Cuáles son las coordenadas deQ(x) respecto a S? 46 x 3 +4x 2 +9x+1O=a(x 3 +x 2 +x+l)+f3(3x 2 +2x+l)+8(6x+2)+6r= = ax 3 +x 2 (a + 313) +x(a+2,B +68) + (a +,B +28 +6y). Capítulo1-4 Al igualar los coeficientes de las variables que tienen el mismo grado en ambos miembros se obtiene: a=l a+3{3=4 a+2{3+68=9 a+{3+28+6y= 10 D falsas. a=l {3=1L.,Bl ·A ~8 = 1 ~a opclones correcta, yas opciOnesy y=l La opción C es falsaporque las coordenadas de unvector respectoauna base on únicas. 9.Cuando el vector (0, 6, 9) sustituye en B = {(l, 2,1,), (-1,0,2), (0,2,3)} a alguno de los vectores siguientes, elconjunto resultante es base de 1R 3 si el sus- tituido es: A)0, 2,1); B)(-1, 0,2); C) (0,2,3); D)No es posible obtener una base a partir de losvectores dados. s vectores independientes hay en B? Entre los vectores dadossevemuy claro que hay dos independientes,y el ter- cero depende de ellos: Para que formen base de1R 3 hay que añadir un vector que nosea combinación lineal de los dos elegidos como independientes. (0, 6,9) es una combinación lineal de los tres vectores de B: Independencia lineal, basesy dimensión de espacios ... 48 Cada vector de B es combinación lineal de los otros dos vectores de B ~(0, 6, 9) escombinación lineal de doscualesquiera de los vectores de B. Ejemplo: ~Sólo es correcta la opción D. 10.SiABCDEF eselhexágonoregulardecentro0(0,O)YS = {OA,OB} esunabasedelespaciovectorial1H 2 ;lascoordenadasdeOC,OD,OE,OF respectoa Sson:A)Oe(1,l);OD(l,O);OE(O,-l);OF(1,-l);B)OC(-l,l); - - - - --- OD(-l,O);OE(O,-l);OF(1,-l); C)OC(1,-l);OD(-l,O);OE(O,l);OF(1,l); D) Ninguna de las anteriores . •:.Para ver siescierta cada una de las opciones dadas tenemos dos posibilida- des,una escomprobar sison correctas,o no,lascoordenadasdadas,y otra es calculardichascoordenadasycomparar conlasdadasenlasdistintasopcio- nes.Éste es elprocedimiento másconveniente cuando hayqueanalizar varias opciones. Escribamoscadaunodelosvectoresdadoscomocombinaciónlinealdelos elementos de S: OA = lOA +OOB {::::}OA = (1,0) E Capítulo1-4 OB = OOA + 10B OB = (0,1) EB oc = -OA+ 10B OC = (-1,1) EB OD = -OA +OOB OD = (-1,0) EB OE = OOA -10B OE = (0,-1) EB OF = lOA -10B OF = (1,-1) E Al comparar con las distintas opciones, podemos concluir que sólo es válida la B. 49 Independencia lineal, basesy dimensión de espacios ... 11.SiS = {(2,1,3), (-1, 2,3), (5,5,12),(0,5, 9)}, es cierto que: A) S es ba- sede1R 3 ;B) Existeunabasede1R 3 quecontienealmenosdosvectoresdeS; C) S contiene una base de 1R 3 ;D) Ninguna de lasanteriores. ¿Puede haber más detresvectores independientes en 1R 3 ? En 1R 3 sólo puede haber 3 vectoreslinealmente independientes=>S nopuede ser base porque tiene cuatro =>La opción A es falsa. ¿Los vectores (2,1,3), (-1, 2, 3) son independientes ? [ OJ[2J[-lJ{O = 2a - {3 Si° =a1+{32=>0=a+2{3=>a={3=O °330=3a+3{3 => La opción B es correcta. ¿Los vectores (5, 5,12), (0, 5, 9), son independientes delos otros dos ? 50 Deloscuatrovectoressólohaydosindependientes,yaque,losotrosdosse pueden escribir como combinación lineal de los primeros: =>La opción e es falsa porque en Sno hay tres vectores linealmente indepen- dientes . •:.En capítulos posteriores dispondremos de herramientas más eficientes para calcular el número vectores independientes en unsistema dado. 12.Respectoa la base canónica elvector V"es(2,2,2), BI = {(2, 0,O),(O,2,O), (0,0, 2)}Y B 2 = {(1 ,1,O),(0,1,1), Ca,b, c)}sonbases de 1R 3 tales que V"tiene lasmismascoordenadasrespectoaambascuando(a,b,e)es:A)(-1,0,-1); B) (1, 0,1); C) (1,1,1); D)Ninguno de losvectores anteriores. Capítulo1-4 de v respecto a B I ? Illlfon!!S de (a,b,c) para que las coordenadas de v sean (1, 1,1)respecto a B 2 ? Para que en la base B 2 tenga coordenadas (1 ,1,1), ha de cumplirse que igualar componente a componente se obtiene el sistema: { 2 = l+a 2 = 1 + 1 + b::::::>(a,b,c) ==(1,0,1) ==>Es cierta la opción B. 2 =1+c 13.Sia,b,csontresnúmerosrealescualesquiera,esciertoque B={(1,a,b),(O,l,c),(O,O,1)}esbasede1R 3 :A)Siempre;B)Sólosia= 1, b =1,e =1; C) Nunca; D) Ninguna de las anteriores. La condición para que sea base de 1R 3 es que tenga tres vectores linealmente independientes. IOlIáIltdoson independientes los vectores de B? ( 0](1](0](0]{o=a{o=a Si° =aa+f31+r ° ==>O=aa+f3==>0=f3. °be1O=ab+f3c+rO=r LostresvectoressonsiemprelinealmenteindependientesEsciertalaop- ción A y falsaslas demás. 51 Capítulo1-5 Ejercicios relativos a: 1.Si F= {(x"X2,x, )E1R 3 /x,+ X2= X, },severifica:A)Fesunsubespacio vectorialdeIR' ; B){(l, 0, O),(0,1,O),(1,1,2)}es una base deF;C)F notie- ne base porque no es espacio vectorial; D) Ninguna de las anteriores. Los elementos de F son ternas de números reales (x"X2,X3)E1R 3 ,que veri- fican x, + X2= X3,es decir, la tercera coordenada es la suma de su primera ysu segunda coordenada. Aplicación del teorema que caracteriza los subespacios vectoriales: roducto deun elemento deF por un número real es deF? => La opción Aes correcta La opcióI!.. e es falsa, por ser espacio vectorial (es subespacio de 1R 3 )finitodis- tinto de {O}tiene base. 53 Relación entre subespacios de un espaciovectorial.. . ¿ {(1, 0,O),(0,1, O),(1,1,2)}es una base de F? La opción B es falsa porque {(1, 0, O),(0,1, O),(1,1,2)} contiene vectores que no son de F. (1,0, O)Y (0,1,O)no son de Fporque no verifican que la tercera coordenada es suma de la primera y la segunda. 2.El espacio vectorial F = {(x¡X2,X3)E1R 3 /x¡+ X2 = X3}del ejercicio anterior verifica: A) El elemento neutro dela suma estándar de vectores no pertenece a F;B) F esunsubespacio vectorial de 1R 3 de dimensión dos;C) F no es espacio vectorialporque nopuede haber ninguna base contenida en él;D) Ninguna de las anteriores. ¿El elemento neutro delasuma estándar devectores no pertenece a F? Es evidente que (0,0,O)pertenece a F porque el elemento neutro siempre per- tenece al espacio vectorial, pero además es muy fácil ver que °+ °= O. La opción Aes falsa. ¿ Se puede encontrar alguna base deF? 54 Los elementos &F son de la fonna(:: JJ+ { : J·a y p reales cualesquiera, es decir,{(1, 0,1), (0,1,1)}genera F. Como además (1 , 0,1)Y (0,1,1)son dos vectores linealmente independiente {(1,0,1), (O,1,1)}es una base de F. La opción B es cierta y la opción C es falsa. 3.Sabiendo queV ={(XI.X2,X) )/X2 =x) } essubespacio de 1R 3 ,es correcto de- cir: A) Todas sus bases están formadaspor dosvectores; B) Hayuna base de Capítulo1-5 repecto ala cuallascoordenadas de unvectordeV son(2,3);C)La dimen- ión deVes dos;D) Ninguna de lasanteriores. LosvectoresdeVsondelaforma(A,Ji,Ji),siendoA,Jidosnúmeros realescualesquiera,ysepuedenexpresarmediantelacombinaciónlineal ( ~)~;.m + {: ) => {(1, O, O} (0,1, l)}es un sistema de generadores de V, Losvectores(1 ,0,O) ,(0,1,1)sonlinealmenteindependientes~{(1,0,O), (0,1, 1)}es base deV ~Son correctas las opciones Ay C. Decir que las coordenadas de un vector (X I,X2,X3)de~ 3son (2,3) respecto a la base((1,O,O),(O,1,1»)deV,indica quel:J{~)+ 3(:), por tanto,la opción Bes correcta. La D es falsa por ser cierta alguna de las otras. 4.Sabiendo que es subespacio vectorial de ~ "elsubconjuntog;Jformado por todaslasn-uplasdenúmerosreales,talesqueloselementosdecadaunade ellasformanunaprogresiónaritmética,severificaquesonbasedef.Jlossi- guientes conjuntos: A) Bl= {(1 ,1,1,... ,1), (0,1,2, ... , n -1)}; B) B 2 ={primer término,razón};C)La dimensióndef.Jesn;D)Ningunodelosanteriores. + Los elementos deg;Json de la forma (a" al+ d, al+ 2d,.. . , al + (n- 1) d) , donde al representa el primer elemento, n el número de elementos y d la razón de la progresión. puede generar cualquier elemento deg;Jcon B I ? 55 Relación entre subespacios de un espaciovectorial... 1o 11 La respuesta es sí, porque:=a l 1+d2 al +(n-l)d1n-l ¿ Sonindependientes los vectores de B I ? o1OO=a O11O=a+f3 SiO=a1 + 2 =>O=a+2f3=> a= f3= O,esdecir,sonvec- O1n-l O = a + (n -1)f3 tores linealmente independientes. ¿Es BIbase def.J? Sí porque es sistema de generadores linealmente independiente => La opción A es cierta. ¿ Es B 2 base def.J ? fj(j Es evidente que es falsa la opción Bporque los elementos de B 2 son elementos de ~ ,no n-uplas. La dimensión def.Jes dos,que es el número de elementos de una cualquiera de sus bases. La opción e es falsa porque todas las bases def.Jtienen el mismo número de elementos,esdecir dos,yelnúmerodeelementosdef.Jesinfinito.Esta op- ción sólo sería cierta en ~ 2 . Capítulo1-5 5.SabiendoqueU I esunsubespaciode1R 4 ,severifica:A)Hayunsub- espaciosuplementarioúnico,U 2 ,deU I en1R4;B)Haymásdeunsubespacio suplementario deU I en1R4;C)La interseccióndeU I y susuplementarioU 2 es (O,0,0,O);D) La suma deU I y susuplementario U 2 essuma directa. Son correctas las opciones A, C y D . •:.Recordemosla definición de suma directadelossubespaciosU I yU 2 ,deV: Cada vector dela suma directaU I ESU 2 dedossubespaciosU I yU 2 se puede descomponer de forma única como suma de un vector de U I y otro de U 2 • UI$U 2 = {u =UI+ U2/UIEU h U2EU 2 },talque,la descomposiciónde cada vector u es única. ~La opción A es cierta y la opción B es falsa. De la definición anterior se puede deducir la siguiente: - - u =UI+ U2=°~UI =U2=0, 'l/u EUIEi)U2, que se puede expresar diciendo que cualquier u EU 1 n U 2 es U=6. ~La opción C es cierta. .;.La suma deU I yU 2 esdirecta siverificaU I + U 2 = V Y U I nU 2 = 0, dicha condición la cumplen los espacios suplementarios. ~La opción D es cierta. 6.SiS={(XI,X2,X3,X4)jX,=-X4}esunsubespaciode1R 4 ,severifica: A) B = {(1, 0, 0, O),(0,1,0, O),(0,0,1, -1)} es una base de S;B) B'= {(O,0, 0, 1)} es una base de susuplementario; C)Una base de S yuna base desusuplemen- tario formanuna base de 1R4;D) La dimensión de S yla dimensión de susuple- mentario suman cuatro. + Los elementos de S son de la forma (XI,X2,X3,-X3) ' 57 Relación entre subespacios de un espaciovectorial... ¿ Los vectores de B generan S? XI1OO x 2 O1O Sí, porque=x l O +x 2 O +x 3 1x 3 -x 3 OO-1 ¿ Sonlinealmente independientes ? O1OO OO1O =>XI= x 2 = x 3 = O.Sí, porque si O =x l O +x 2 O +x 3 1 OOO-1 =>La opción Aes correcta. La opción e es cierta siempre. {(1, O, O, O), (O,1, O, O), (O,O, 1, -1), (O,O, O, 1)}es base de 1R4porque está for- mada por cuatrovectoreslinealmente independientes=>B Isí esuna base del suplementario =>Es correcta la opción B. ¿Severifica Dim (U I + U 2 )+ Dim (U I n U 2 )= Dim U I + Dim U 2 ? 58 Dimensión de S = 3. Dimensión del suplementario = 1. Dimensión de 1R4= 4. Dimensión de (U I n U 2 )= Dimensión de{(O,O, O, O)}= O => Es cierta la opción D. 7.Sabiendo que U = {(XI ,X2,X3)/XI= X3}yw = {(x" X1,X3)/x1= O, X2 = O}son subespaciosde1R 3 ,esciertoque:A)Nosepuedeformarunabasede1R 3 con vectores de una base deU yuna base deW;B) Dos vectores cualesquiera deU yunocualquiera deWformanunabase de1R 3 ;C) La suma deU yWes suma directa; D)UUWes subespacio de1R 3 . Capítulo1-5 Es muy fácilver que B= {(1,0,1),(0,1,O)}es base deU;B' = {(O,0,1)}es base de W y{(1, 0,1), (0,1, O),(O,0,1)}es base de 1R 3 ~Aes falsa. La opción B no es correcta, porque si se eligen en U dos vectores linealmente de- pendientes, sólo uno de ellos podría estar en la base de 1R 3 ,y como W sólo puede aportar un vector linealmente independiente, no se puede formar una base de 1R 3 • Ejemplo: ElijamoslosvectoresdeU:(1,1,1)= 1(1,0, 1) + 1(0,1, O)y(3,3,3) = = 3(1, 0,1) + 3(0,1, O) Ambos son dependientes:(3,3,3) = 3(1,1,1),sólo uno de losdos puede for- mar parte de una base de 1R 3 ,tomemos el(1,1,1). Elijamos cualquier vector de W,por ejemplo (0, 0,1). Para la base de 1R 3 sólo contaríamos con losvectores(1,1,1)Y (0, 0,1) de los tres que son necesarios. directalasuma U + W? un W= {(O,0, O)}~e es cierta. U UWsub espacio vectorial de1R 3 ? UUWestá formado por losvectores que pertenecen aU óW,oa ambos, y no verifica que, la suma de dos vectores deUUW pertenece aUUW. Ejemplo: (2,1,2) EU;(0,0,5) EW;(2,1,2) + (0, 0, 5) = (2,1,7)~UUW,ya que no verifica XI= X3ni XI= X2= O. ~Des falsa. 8.Si LIes elsub espacio de 1R 3 generado por{(1, 0,O),(O,0,1)},y~elge- neradopor{(l,1,1)},severifica:A)LIn~noesunespaciovectorial; B)LasecuacionesparamétricasdeLIn~son(XI,X2,X3)=a(1,1,1); gg Relación entre subespacios de un espaciovectorial... C)Hayvariasposibilidades dedescomponer elvector (2,5,9) como sumade un vector deL 1 y uno d e ~ ;D) L 1 + ~essuma directa. ¿Es LIn Lz espacio vectorial? LIn Lz sí es espacio vectorial (ver ejercicio 11de capítulo 1-2) ~La opción A es falsa. ¿ Cómo son los vectores de LI ? ( XIJ(1J(OJ{XI= A. Los vectores de LI son de la forma:x 2 = A.° + J1° ~x 2 :°. X 3°1x3- J1 ¿Cómo son los vectores de Lz? ( XIJ(1J{XI= a Los vectores de Lzson de la forma:x 2 ==a1~x 2 :a . x 3 1x 3 - a ¿Cómo son los vectores de LIn Lz? Los vectoresde LIn Lzpertenecen a LIy a Lz,por tanto, debenverificar am- bos sistemas de ecuaciones ~XI= X2= X3= a = O. LI n Lzestá formado sólo por el vector (0, 0, O)~La opción Bes falsa. La opción Aes cierta porque {(O, 0, O)}es siempre un subespacio de ~ 3con las operaciones estándar. ¿Es LI + Lzsuma directa? 60 Cualquier vector de ~ 3se puede descomponer como suma de un vector de L 1 y unodeLzpor existirunabasede~ 3formadapor unabasedeLIyunabase deL¿. Capítulo1-5 Además, por ser L,nL¿= {(O,O,O)}la suma de L,y L¿essuma directa. L,+ L¿=L,$L¿~La opción D es cierta. Por ser L,+ L¿= L,$L¿suma directa cualquier vector de [R3 se puede descom- poner como suma de un vector de L,yuno de L¿de forma única =>La opción e es falsa. La descomposición posible del vector (2, 5, 9) es la que proporciona la solución del sistema de ecuaciones que se obtiene al igualar coordenada a coordenada en ( 2)(A)(a)f2 = A+ a laexpresiónsiguiente:5=O+a=>5 = a=>A = -3;J1 = 4;a = 5, 9J1a9=J1+a que es la solución única del sistema. 9.SiL,eselsubespaciode[R4generadopor{(l,O,1,1),(1,O,O,O), (O,O,1,l)}, y L¿elgenerado por {(l, O,O,O),(O,1, O,O),(O,O,1,O)},se veri- fica:A)Dim LI =DimL¿=3;B)LIn L¿={(O,O,O,O)};C)LI+ L¿=[R4; D) LI+ L¿es suma directa. ¿Dimensión deL,? La dimensión de L,es2,porque { ( 1,0,1,1) = (1,0,0,0) + (0,0,1, 1)Y {(1,0,0,0),(0,0,1,1) } es libre. ¿Dimensión de L¿? La dimensión de L¿es 3,porque{(1,O,O,O),(O,1,O,O),(O,O,1,O)}esbase deL¿. => La opción A es falsa. Relación entre subespacios de un espaciovectorial... ¿ Ecuaciones de LI ? XI1 ° XI=a x 2 °° X 2 =0 Los vectores de LI son de la forma=a +=> =>La prime- x 3 ° 1 x 3 = f3 x 4 ° 1 x 4 = f3 ra coordenada puede tomar cualquier valor,la segunda debe ser 0,y,la tercera y la cuarta iguales =>Sus ecuaciones cartesianas son{X 2 = ° x 3 = x 4 ' ¿Ecuaciones de Lz? XI1 °° x 2 ° =a + x 3 ° ¿Ecuaciones de LIn Lz? 62 Los vectores de la intersección deben verificar las ecuaciones de los dossubes- { X-O pacios, esdecir,son las soluciones del sistemaX:: x 4 • x 4 =0 Essolucióndelsistema cualquier cuaterna quetengalastresúltimascoorde- nadas0,ycualquiervalorenlaprimera~Lassolucionessondelaforma (XI,0, 0, O)=> La opción B es falsa. Una base de LIn Lz es{(1, 0,0, O)}=>Su dimensión es1. También es falsa la opción D, porque LIn Lz "*{(O,0, 0, O)}. Capítulo1-5 Al aplicar la fórmula de Grassman: Dim LI + Dim = Dim (L I ++ Dim (L I n2 + 3 = Dim (L I ++ 1 (L I El único subespacio decon dimensión 4 es Es cierta la opción C. 10.Si L 1 Y son lossubespacios dedel ejercicio anterior,se verifica que suplementariodeL 1 es:A) B)Noexiste;C)Eselgeneradopor {(O,1,0, O),(0,0,0, 1)}; D) La base delsuplementario es única. -Es L I n = (0, 0, 0, O)? LIn(XI,0, 0, 0)"* (0, 0,0, O)no es suplementario de LI La op- ción A es falsa. ¡ Base deL 1 ? Una base de L 1 está formada por dos vectoressuyoslinealmente independien- tes, por ejemplo:{(1, 0, 0,O),(0,0,1,1)}. -Base del suplementario de L I ? Cualquier base del suplementario de L 1 añadida a una base de L 1 debe ser base de Una base deestá formada por cuatro vectores linealmente independientes Hay que buscar dos vectores de independientes entre sí e independientes de los de la base elegida en LI. {(O,1,0, O),(0,0, 0,1)}verifica las condiciones pedidas C es cierta. Es evidente que la opción Bes falsa. Enunabasesepuedesustituirunvectorporotroquecumpladetenninadas condiciones sin que varíe el espacio generado La opción Des falsa. 63 Relación entre subespacios de un espaciovectorial... 64 11.Si A = «(1,2,1,1),(-1, O,1,O),(2,2, O,1)Y B ={(XI ,X2, Xl, X4)/2.x1- 2X2 + 2x, - X4= O}sonsubespaciosde[R4verifican:A)Ladimensiónde Aes3; B) La dimensión de B es3;C) La suma de Ay B esdirecta;O) Ninguna delas anteriores. Elsistema{(1,2,1,1),(-1,O,1,O),(2,2,O,l)}noeslibre,yaque: (1,2, 1,1) - (-1, O,1, O)= (2,2, O,1). Al quitar el vector dependiente queda el sistema {( 1, 2,1,1), (-1, O,1, O) }, que eslibre yformauna base delsubespacio A, cuya dimensiónesdos=>La op- ción A es falsa.. El subespacio B de [R4 cuyas ecuaciones cartesianas son:2x 1 - 2x 2 + 2x3 - X4 = O tiene por ecuaciones paramétricas: XI=aXI 1OO X- f3x 2 O1O 2 - ~=a ++ losvectores(1 ,O,O,2), x 3 =8X)OO 1' X 4 =2a-2f3+28x 4 2-22 (O,1, O,-2),(O,O,1,2) formanunsistema libre, por tanto una base de B, y la dimensión de este subespacio es tres=> La opción B es correcta. A+ Bnopuede ser directa porque AyBsonsubespacios de[R4,y,silasuma fueradirecta,la dimensión de An B sería O,y como A + B también es unsu- bespaciode[R4,elmayorvalor quepuedetener sudimensiónescuatro,yno podría cumplirse la igualdad:Dim (A+ B) + Dim (An B) = Dim A + Dim B. =>La opción e es falsa. También es falsa la Opor ser cierta la B. APLICACIONES LINEALES Ejercicios relativos a: 1.Si fIRIR'esunaaplicacióntalque,J (x)= (x,1,-x),esciertoque: A)fconserva la suma; B)ftransfonna el neutro de (IR,+) en elneutro de (IR"+); C) f conserva elproducto por unescalar;D) f es una aplicación lineal. Conservafla suma? xf(x) = (x,l,-x) yf(y) = (y,l,-y) x+y I(x+ y)noes igualaf(x) + I(y)porque tienenla segunda coordenada distinta La opción A es falsa. ICM)igual aA/(x)? 65 Definición de aplicación lineal entre dos espacios ... x hf(h) = (h,I,-h) porque tienen la segunda coordenada distinta. A (x,1, -x) = (h, A,-h):#; (h, 1, -h) =>La opción e es falsa. ¿Esf(O) = O? No,f(O) = (0,1,O):#;(0, 0, O)=>La opción B es falsa. ¿Esfuna aplicación lineal? No,para justificarlo essuficiente comprobar que nocumple cualquiera delas tres condiciones anteriores. 2.Si f:IRIR'esunaaplicacióntalque, f(x)= (x,0,-x),esciertoque: A)fconserva la suma; B)ftransforma elneutro de (IR,+) en el neutro de (IR' , +); C) f conserva elproducto por unescalar; D) f esuna aplicaciónlineal. ¿Conservafla suma? x yf(y) = (y,O,-y) x+y(x+y,O,-x-y) f(x+ y) = f(x)+ f( y) porque (x p O,-x¡)+(x 2 ,0,-X 2 )= (x¡+x 2 ,o,-x¡ - x 2 ). =>La opción A es cierta. ¿ Conserva fel producto por escalares ? x hf(h) = (h,O,-h) f(h) = A/(x) => La opción B es cierta. 66 Capítulo 2-1 Esj(O)= O? Sí,j (O)= (O,O,O)=>La opción C es cierta. juna aplicación lineal? Sí, por conservar la suma y el producto por escalares. 3.f:1R2 ~1R2 / f(Xl,X2)= (Xl+ 2,X2)verifica:A)Esunaaplicaciónlineal; B)Noesaplicaciónlineal;C)EncualquieraplicaciónlinealdeIR"~IR"la imagen de (O,O)puede noser (O,O);D)Ninguna deellas . •:.Para ver que escierta la opción A debemos comprobar que cumple las con- diciones dadas en la definición de aplicación lineal. .:.Para ver que la opción Ano escierta essuficiente comprobar que notiene alguna de las propiedades que tienen todas las aplicaciones lineales. Una de esas propiedades es:"Para cualquier aplicación linealf: V ~W,se ve- rifica quef(O) = O". Una forma de demostrar dicha propiedad para aplicaciones f:1R2 ~1R2 es: (O,O)= O (1 , O)+ O (O,1), Y sij: 1R2 ~1R2 esuna aplicación lineal, se verifica: j(O, O)= Of(l, O)+ Of(O,1)= (O,O)para cualquier valor dej(1, O)y j(O,1) ~Es falsa la opción C. Comprobemos que la aplicación dada notiene esta propiedad: j(O, O)= (2, O)=>Es cierta la opción B,y son falsas A y D. 4.Cuando se define la aplicaciónf(a + bx + CX2) = (a + bx + CX2)+ (e + bx + ai) del espaciovectorialdepolinollÚosdegradomenor o igualquedosensí llÚsmo, es cierto que: A) fconserva lasuma;B) jconserva elproductodepolinollÚos; C) f conserva el producto por unescalar;D) f es una aplicación lineal. 67 Definición de aplicación lineal entre dos espacios ... ¿Conservafla suma? p¡=a¡ +b¡x+c¡x 2 =(a¡+b¡x+c¡x 2 )+(c¡ +b¡x+a¡x 2 )= =(a¡ +c¡)+2b¡x+(c¡+aJx2. P 2 = a 2 +b 2 x +C 2 X 2 = (a 2 + b 2 x +C 2 X 2 )+ (c 2 + b 2 x +a 2 x 2 )= =(a 2 +c 2 )+2b 2 x+(C 2 +a 2 )x 2 • P¡+ P 2 = (a¡+a 2 )+(b¡+b 2 )x+(c¡ +C 2 )X 2 + P 2 )= = (a¡+a 2 +C¡+c 2 ) +2(b¡+bJx+(c¡+C 2 +a¡ +a 2 )x 2 . f(P¡+ P 2 )= f(p¡)+ f(P 2 )La opción Aes cierta. ¿f conserva el producto de polinomios? Elproducto de dospolinomios de grado menor oigualque dos,puedeno ser unpolinomiodegradomenor oigualquedos,ynoestar definidasuimagen mediante la aplicación dada. E ·1224 Jemp o:xx= x. La opción Bes falsa. ¿ Conserva fel producto por escalares? P =a +bx+cx 2 = (a+bx+cx 2 )+(c+bx+ax 2 )= = (a +c) +2bx+(c+a)x 2 • ÁP = f(M +Abx + Acx2) = = (M+Ac)+2Abx+(M+Ac)x 2 • f (AP)= Al (P)La opción e es cierta. ¿ Es funa aplicación lineal ? 68 Sí, ya que son ciertas las opciones Ay e La opción Des cierta. •:.Paraverque fesaplicaciónlinealessuficientecomprobarporelmismo procedimiento que se verificaf(P¡ + aP 2 ) = f(Pi) + a!(P2). / Capítulo 2-1 5.Dada la aplicación!:IR---?IR,talque,f (x) = cos x,es cierta laafirmación: A)Alasuma deoriginalescorrespondelasuma deimágenes(conservalasu- ma);B) Alproductodeunescalar porunvector corresponde elescalar poral imagendelvector(conservaelproductoporescalares);C)Esunaaplicación lineal; O) Ninguna de las anteriores. La gráficadela función! (x)= cosxponedemanifiestodeformainmediata que no es una aplicación lineal, ya que la suma de dos vectores, que están en la gráfica,no está en dicha gráfica: - 21t-1t Vamosa comprobarlo analíticamente: erva lasuma? x ,~!(x,) = COSX, x 2 ~!(x 2 ) = cosx 2 x, +x 2 ~!(x, +x 2 ) = cos(x, +x 2 ) 2 -1 -2 { !(x, +X2) = cos(x, + x 2 ) = COSX, cosX 2 - senx,senx 2 !(x,)+ !(x 2 ) = cosx, +cosx 2 No conserva la suma ~La opción A es falsa. 1t21t 69 Definición de aplicación lineal entre dos espacios ... ¿ Conserva el producto por escalares ? 70 xf(x) = cosx hf(h) = cos(h) { Af(X) = ACOSX.. ;SIXes tal que cos xvale1,y A> 1 A cos x>1, ffilentras f(h) = cos(h) que cos (h) 1 No conserva el producto por escalares, la opción B es falsa. Esobvio que la aplicaciónf:IRIR/ f (x)= cos xno esuna aplicación lineal La opción C es falsa. La opción D es cierta porque nolo esninguna de las anteriores. 6.Sif:1R2IR'esunaaplicaciónlineal,talque,f(1,O)= 0,2,O)Y feO,1)= (0,3,1), severifica:A)f(5, 7)= (5,31,7);B)f(l, 1)= (1,0,1); C)Lasimágenesdetodoslosvectoresde1R2 estánenelplanodeecuación 2x 1 - X2 + 3x, = O;D)Ninguna de lasanteriores. Por ser f:1R2 1R 3 una aplicación lineal: )+{:H Es cierta la opción A fe) = H Es frusa la opción B. Capítulo 2- 1 Cualquier vector de [R2 es de la forma (a,b). La imagen de (a,b) mediante la aplicación linealf es un vector (Xl.X2,X3)de [R3 queverifica::a+3b=>La ima- x 3 x 3 x 3 b gendecualquiervectorde[R2verifica2x 1 - X2 +3X3=O,yaque 2a - (2a + 3b) + 3b = O =>Es correcta la opción C. 7.Sif :[R2-7[R2esunaaplicaciónlineal,talque,f (1,1)= (1,4)Y f(2,-1)= (-2,3),laimagende(3,-1)es:A)i); B)(-3 7 , 13 6 ); ( -812) C)3' 3; D)Ninguna de lasanteriores. ¿B = {(1,1), (2, -1)} es una base de[R2? Sí, es fácilcomprobar que sus vectores son linealmente independientes. ¿Se puede escribir (3, -1) como combinación lineal delos vectores de B? Sí,cualquier vector de[R2 sepuedeescribir en funcióndelosvectoresdeuna de sus bases. 71 Definición de aplicación lineal entre dos espacios ... 72 ( 3J= a(l) + J 2 ){3 = a+ 2f3f3~la = ~~(!, i) son las coordenadas -11I-'l-1-1=a- f3=i33 3 en base B del vector que en la base canónica es (3, -1). Porser1 aplicaciónlineal,severifica:1(3) =1(!(1) + i(2)) = -13 13-1 correcta la opción B. 8.Si 1: 1R2 --71R 3 esunaaplicaciónlineal enla queseconocen lasimágenes deloselementos deunabasede1R 2 ,severifica:A)Esposibleobtener laima- gendecualquier vector de1R2; B)CualquiervectordeIR'tieneunoriginalen 1R2; C) La imagen de 1R2 esIR' ; D)Ninguna delasanteriores. B = {O, O),(0,1)} es una base de 1R2~Cualquier vector de 1R2 se puede escri- b ·b·· '.(XI J(1)(0)lf como commaClOnlineal de sus vectores:x 2 = XI° + x 2 1. Por serf aplicación lineal{::)= fH ~)+ x,( ~ ))~x,{ ~)+ x,{ ~)=>La opción A es correcta y la opción D es falsa . •:.La conclusiónobtenida esválidapara cualquier basede1R2. La demostra- ción a realizar es similar a la anterior. Paraver quelasopcionesByCson falsasessuficiente elsiguiente ejemplo: Capítulo 2-1 Supongamoslaaplicaciónlinealf:[R2 ~[R3,talque,J (x"X2)= (O,O:O),el único elemento de [R3 que tiene unoriginal es(O,O,O). 9.Sif esuna aplicaciónlinealdeunespacio vectorialVenV,severifica: A) Esfalsoquef(O)= Oyf(-X)= -f (X),siendox cualquiervectordeV; B)Es falsoquesi f(X)= f(Y)~f(x - Y)= O;C)Si S essubespaciodeV,en- toncesf(S) esunsubespacio def(V); D)Ninguna de lasanteriores. { feO) = f(Ox) = Of(x) = O Si feslinealescierto(falsoqueesfalso)que fe-x) = f(-1x) =- f(x) ~La opción A es falsa. Si feslinealescierto(falsoqueesfalso)que f(x - Y)=f(X)- f(Y)= O si f (X)=f (Y)~La opción B es falsa. Sif es lineal es cierto que la imagen de un subespacio es un subespacio, además, como S está contenido enV,lasimágenesdeloselementos de S sonimágenes de los elementos de V,y por tanto, están enf (V)~La opción e es cierta. 73 Definición de aplicación lineal entre dos espacios.... 74 10.Si f:[R3[R2eslaaplicaciónlineal f(XI,X2,X3)= (XI,X2),severifica: A) Si X,Yson linealmente independientes, entonces,f (X),f (Ji)sonlinealmente independientes;B)Si f(X), f(Ji)sonlinealmente dependientes,entonces,X,y son linealmente dependientes; C) Sif(X),f(Ji)son linealmente independientes, entonces,X,y sonlinealmenteindependientes;D)Ningunadelasanteriore. [R3 (xl'x2'x 3 ) X = (0, 1, O)f(x) = (0, 1) Y = (0, 1,1)f(y) = (0, 1) => L .,A{(0,1,0),(0,1,1) son linealmente independientes a opclOnes 1él.lSa,porque (0,1), (0, 1) son linealmente dependientes =>La opción B también es falsa,para verlo basta tomar losvectores del ejem- plo anterior. Queremos ver si X,y son linealmente independientes cuando lo son f (X), f 00, para ello hay que demostrar que "A,x + IlY = O=>A.= 11= O". Enefecto: { Axl+ IlYI= °_- 1..Af(x) + Ilf(y) = 0,pero por ser f(x), f(Y)linealmentein- /\..t 2+ IlY2 = ° dependientes debe ser A.= 11= °=>x,y son linealmente independientes=>La opción e es cierta. Capítulo 2-2 Ejercicios relativos a: S't¡J matriZ asocfada a una aPl1cación 1.Sif:[R'[R2esunaaplicaciónlineal,talque,f(1,O,O)= O,1); feo,1, O)= O,l);f(O, O,1) = (1, O),se verifica: A) La matriz asociada aftiene dos filasytrescolumnas;B)La matrizasociadaa ftienetresfilasydoscolumnas; C) La imagen de cualquier vector de [R3se puede expresar en funciónde los vec- tores de cualquier base de [R2;D) Ninguna de las anteriores. atriz asociada a f? .:.Matriz asociada afes la matriz cuyas columnas son las imágenes (en [R2)de la base elegicla en [R3. Cualquier base de [R3 tiene tresvectores ysuimagen es unvector de[R2 (tiene dos coordenadas), por tanto, la matriz asociada tiene tres columnas y dos filas. Es correcta la opción A,e incorrecta la opción B. La matriz asociada af esA = (11 1) . 11O Expresión matricial dela aplicación? uaciones cartesianas dela aplicación? .:.La aplicación dada transforma (x" X2, X3) en (y" Y2),las fórmulas que permi- tenobtener la imagen(y" Y2)de cualquier original(x"X2,X3)sonlasecuacio- nes de la aplicación. Jg Lamatriz asociada a una aplicación lineal Las ecuaciones cartesianas de f obtenidas de su expresión matricial son { YI: XI +x2+X3• Y 2- XI +x 2 Losvectores de la imagen de f están encomo consecuencia se pueden ex- presar en funciónde cualquiera de sus bases, una forma de hacerlo es (:: :::H (x, + x, (:) +x{Es correcta la opción C. La opción D es incorrecta. 2.Sif:esunaaplicaciónlineal,talque,f(1,O,O)= (1,1); f(O,1,O)=(1,1);1 (O,O,1)=(1O),laimagendelsubespaciodefinidopor XI+ X2 + X,= O verifica:A)Eselsubespacio XI= O deB) Tiene dimensión 2; C) Está generado por 0 , 1);O) Ninguna de las anteriores.(Tomando lasba- ses canónicas de y ¿Matriz asociada af? A ( 1 1 1). .. =, como en el ejercICIOantenor. 11O ¿Imagen del subespacio XI+ X2 + X3 = O? Unas ecuaciones paramétricas del subespacio XI+ X2 + X3 = O son: { XI= A(XI J( 1 J( OJ :2= j.1=>X 2 = AO+ j.11 X 3 --A-j.1x 3 -1-1 :: => f(xl + X2+ X3 = O)está generado por (O,1). 76 Capítulo 2-2 Unas ecuaciones paramétricas def( x, + x, + x, O)son: (:J ,{ J La coordenada X2 puedetenercualquiervalor,mientrasque XIdebeser ° Las ecuaciones cartesianas son: XI= °Es correcta la opción A. (.Para calcular la imagen de un subespacio es suficiente conocer la imagen de un sistema generador. •:.{(1,0, -1), (0,1, -1)} es una base de XI+ X2+ X3= 0, por tanto({(l, 0, -1), f(O,1, -1)} es un sistema de generadores def(xl + X2+ X3= O) . •:.Las aplicaciones lineales pueden no conservar la independencia lineal ni la dimensión de los subespacios. ¡ Dimensión de la imagen del subespacio XI+ X2+ X3= O? {(O,1)}es base de XI= 0, como está formada por un solo vector =>Dimensión (XI= O)= 1 Es incorrecta la opción B. ¡ Es (l, 1) generador de XI= O? (l,1)genera=x 2 'peronopuede X 2 1x 2 - A generar elsubespacio XI= 0, porque de entre sus infinitos vectoressólo se po- dría obtener el (0, O)Es incorrecta la opción C. 3.Sif:1R 3 1R2 esunaaplicaciónlineal ,talque,f(1,0,O)= (1,1); f(O,1,O)= (1,1);f (0,0,1)= (1,O),severifica:A)Laimagendelaaplica- ción es 1R2; B) La dimensión de imagen defes 1;C) Hayvectores de 1R2 queno tienenunoriginalen1R 3 ;D)Ningunadelasanteriores.(Conlasbasescanó- nicas). 77 La matriz asociada a una aplicación lineal ¿Matriz asociada af? A = (11 1) 11° ¿Expresión matricial dela aplicación? ¿Ecuaciones dela aplicación? ¿ Imagende f? Está formada por todos los vectores (yl ' Y2) de [R2. Para cualquier (yl, Y2) hay un elemento (XI>X2 ,X3 )de [R3 que satisface el sistema anterior =>Cualquier vector de [R2 tiene un original en [R3 =>La imagen de la aplicación es [R2. ¿ Dimensión deimagen de f ? 78 Dimensión de imagen de f = Dimensión de [R2 = 2. Sólo es correcta la opción A. 4.Sif:[R'-7MMesunaaplicaciónlineal,talque,f(1,O,O)= G~ ) : ( 1 -1)(2-2) f(O, 1,0) =-55Yf(O,O, I)=-14,esciertoque:A)Lamatriz asociada aftiene tres filasy tres columnas;B) La matriz asociada aftiene tre filasy cuatro columnas; C) La matrizasociada aftiene dosfilasy dos colum- nas; D) Ninguna de las anteriores. Capítulo 2-2 .:.Se asocia afIa matriz cuyas columnas son las imágenes (en M 2 dde la ba- se de 1R 3 elegida.(Comonose especifica otra cosa,utilizaremosla base canó- nicadeM 2 d. Coordenadasde :) respectoa f (1,O,O)=G Son (3,1,2,4). Coordenadas deesrespecto a{(). ( ).(). ( m? ! (O,I,O)=es Son (1 , -1, -5, 5) Coordenadasde(:1-:) respecto a Son (2, -2, -1,4). atriz asociada a f ? 312 1-1-2 :::::}La matriz asociada tiene tres columnas y cuatro filas. 2-5-1 454 :::::}Es correcta la opción D. 79 Lamatriz asociada a una aplicación lineal 5.Si fesunaaplicaciónlinealdelespaciovectorialdepolinomiosdegrado máximo dosensí mismo,talque,f (1) = 3 + 2x + i;J (x)= 2 Yf (x 2 )= 2x 2 ,es cierto que:A)Notenemosdatossuficientes para escribir lamatriz de f;B)No sepueden escribir lasecuaciones de f;C) Nohaydatossuficientespara encon- trarlaimagen delpolinomio x+ 3;D)Lascoordenadasdex+ 3 respectoa la base canónica son (11,6,3) . •:.{1, x, x 2 }esla base canónica del espacio vectorial dado . •:.Cuandoescribimoslascoordenadasdeunvectorrespectoaunabasehay queconservar elordendelascoordenadasrespectoalosvectoresdelabase. ¿ Se puede escribir la matriz de f? Sí,porqueconocemoslasimágenesdelosvectoresdeunabasedelespacio vectorial dado. ¿ Se pueden escribir las ecuaciones de f? Sí,laimagendecualquiervectordecoordenadas(x),X2,X3)eselvectorde coordenadas(yl'Y2,Y3)obtenidoapartirdelaexpresiónmatricialdef. ¿ Se puede encontrar laimagen del polinomio x + 3? Sí, sustituyendo en cualquiera de las expresiones anteriores (XI,X2,X3)por (3,1, O): 80 Capítulo 2-2 .:.La imagendelpolinomio x+3sepuedeencontrartambiénsinutilizarla matriz asociada: (3,1,0) = 3.1 + lx+Ox2 =>f(3,1,0) =f(3.1 + lx+Ox2) = 3f(l) + lf(x) = = 3(3 + 2x + X2) + 2 = 11 + 6x + 3X2. Sólo es cierta la opción D. 6.Dado el espacio vectorial real de funcionesF = {j (x)= a sen x + b cos x}, la matrizasociadaalendomorfismodeFdefinidoporelcálculodeladeri- vadaprimera,conlabase{senx,cosx}es:A)[ ~~ l ) ;B)[ ~~); C)[ ~~ l ) ;D)Ninguna de lasanteriores . •:.Un endomorfismo es tina aplicación lineal de un espacio vectorial en sí mismo . •:.Este endomorfismo esuna aplicación lineal que transforma una funciónre- al de la formaf (x)= asen x + b cos x en suderivada!, (x)= a cos x - b sen x. Coordenadas delos vectores dela base ? { cosx=Osenx+lcos x=(O,1) Las coordenadas de los vectores de la base son: senx=lsenx+Ocosx=(1,O) 81 La matriz asociada a una aplicación lineal ¿ Coordenadas de las imágenes de los vectores de la base? { 1 sen x + °cos x °sen x + 1 cos x derivada derivada )°sen x + 1 cos x = (0, 1) )lsen x + °cos x = (-1, O) ¿Matriz del endomOlfismo? ( O-01). La matriz pedida es1 Sólo es correcta la opción A. 7.Si f:IR'~IR'/ f(XI,X2,X3)= (XI,XI- X2,X2 - XI)esuna aplicaciónlineal referidaalabasecanónicaB,esciertoquelamatrizasociadaes:A)Simé- [ 1 ° 0][1° 1] trica;B)1-1° ;C)I1° ;D)Ninguna de las anteriores. -11°° 1° ¿Matriz asociada ala aplicación en base B? 82 f:(xl' X 2 'x 3 )--7(xl' XI- x2' x 2 - XI) (1,0,0)--7(1,1, -1) (0,1, O) --7(0, -1, 1) (0,0,1) --7(0, 0, O) La matriz asociada a la aplicación e5'A =(i1~ l~J=>Es cierta la opción B. Capítulo 2-2 , Expresión matricial dela aplicación? Uexpresión mamcilli de la aplicación ~ aes:[ ~ }[ il~ ImJ Las opciones A,C yD son falsas . 8.Sien el espacio vectorialf¡J 3depolinomios degrado menor que cuatro se definelaaplicaciónlineal,talque,acadapolinomioleasignasu ° ° °100° ° °° 100 derivada,lamatrizasociadaes:A)B) °° ° 1° ° ° ° ° ° ° ° 1 ° ° ° C)D)Ningunadelasanteriores. ° 2 ° ° ° ° 3 ° (1, X,X2,x 3 }) ¿Coordenadas delasimágenes delos vectores dela base? 1 = (1,0,0,0)----70 = (0,0,0,0) x = (0,1,0, O) ----71 = (1,0,0, O) X 2= (0,0,1,0)----72x = (0,2,0,0) x 3 = (0,0,0,1)----73x 2 = (0,0,3,0) (Conlabasecanónica 9J Lamatriz asociada a una aplicación lineal ¿Matriz asociada a laaplicación? O1OO OO2O OOO3 OOOO ~Sólo es correcta la opción D. 84 Capítulo 2-3 Ejercicios relativos a: 1.Si fA:1R2~1R2esunaaplicaciónlineal,talque,fA(XI,Xl)= (X¡,2X2) ,y fB:1R2-7 1R2esunaaplicaciónlineal,talque,fB(XI,X2)= (XI- X2,- XI+ X2),se [ 3 -2) verifica:A)Lamatrizasociadaa fA+ 2fBes;B)Lamatrizaso- -24 [ 2 -1) ciadaa2fBes;C)LamatrizasociadaafAofBes -21 [ 1 -2) . -12' [ 1 -1) O)La matriz asociada afB o fAes. -22 .:.Utilizaremos{(1,O),(0,1)}como base en1R2 porque nose especifica otra. genes delos vectores delabase mediante fA? 1 R 2 ~ 1 R 2 .fA(XI,X2)= (XI,2x 2 ) (1, O)~(1, 2.0) = (1,O) (O,1)~(0, 2.1) = (0, 2) ' genes delos vectores delabase mediantefB? 1 R 2 ~ 1 R 2 fB(XI,X2)= (XI- X2,-XI + X2) (1, O)-7 (1- 0, O - 1) = (1, -1) (O,1) -7 (O- 1,1 - O)= (-1, 1) 85 Operaciones con matrices ¿Imágenes delos vectores delabase mediante 218?' 2 / . ) (1, O)-7 2 (1, -1) = (2, -2) (0,1) -7 2 (-1, 1) = (-2, 2) ¿Matriz asociada a 218?' 2( 1 -1) = ( 2-2) -11-22 La opción B es falsa. ¿Matriz asociada alA + 218?' AplicaciónMatriz asociada 2/.) 2B=( 2 -2 ) A+2B=( 3 -2 La opción A es correcta. 86 Imagen de (x" X2) (x,)(x,)(2X,-2x, ) 21B= hB= x 2 x 2 -2x, + 2x 2 (1, + 2ft) (1,+¡,tJ= (x,)(3X,-2x, ) = I A+2 B= x 2 -2x, +4x 2 CIlIO ....... ¿ Matriz asociada a fBo fA? Aplicación (x" x 2 )-7 (x" 2x 2 ) (x"x 2 )-7(X¡-x 2 ,-x¡ +X 2 ) 1R2 (x" 2x 2 )-7 (x¡- 2x 2 , -XI + 2x 2 ) - - La opción D es incorrecta. Matriz asociada (1 B= -1 BA=( 1 -1 Imagen de (XI.X2)mediante transformaciones sucesivas °t) (x,J 2 x 2 - 2x 2 J J 1 2x 2 - -Xl +2x 2 (fB ofA)(x¡,x2 )= (x, J - -Xl +2x 2 "tJ -, 2' () ¿Matriz asociada afA o fB? AplicaciónMatriz asociada B=( 1 -1) +X 2 ) -11 A=G (Xl+X 2 ) (XI'2x 2 ) 1R2 AB=G (XI'X 2 ) (XI- x 2 ,-2x l +2x 2 ) =>La opción e es incorrecta. Imagen de (Xl.X2)al aplicar transformaciones sucesivas -t) (x,-x, ) 1 x 2 - -XI +x 2 ( (x,))(x, -x,) f Af B=f A= x 2 -XI +x 2 =G 0Xx, -x, ) (x,-x,) 2 -XI +x 2 =-2x l +2x 2 ' (fA ofB )( XI' x2) =( -t)= 2 x 2 (x,-x,) - -2x, +2x 2 el) Ql (') ..... O := (') O := 3 Q) .... ::::3. Capítulo 2-3 2.SiA,Bsonelementosdelconjuntodematricesreales,severifica: A) AB = BA;B) AB = O =>A = O o B = O;C) AB = Be (con B :t:O)=>A= e; D) No es cierta ninguna de las anteriores . •:.Para ver que no es cierta la opción Autilizaremos el siguiente ejemplo: .(1O)(OOO)(OOO) SIA =Y B ==>AB =. 00012000 BAno se puede realizar porque B tiene 3 columnas mientras que A tiene 2 filas => La opción A es falsa. El mismo ejemplo vale para comprobar que la opción Bes falsa: El producto AB = O pero A :t:O Y B :t:O. Aunque hay razones de tipo teórico, es suficiente utilizar el ejemplo anterior con ( 1 2 -IJ e =OOO,que verifica AB = Be (con B :t:O)siendo A :t:e =>Tampoco OOO. es cierta la opción C. Es correcta la opción D . •:.HaymatricesparalasqueseverificanlasopcionesA,B,C,sinqueello quiera decir que el conjunto tenga dichas propiedades. Esunbuen ejerciciobuscar matricespara lasquese cumple,yotraspara las que no se cumple. 3.La composición de aplicaciones verifica: A) Es conmutativa; B) La compo- siciónde dosaplicaciones nonulaspuede ser nula;C)Cualquier aplicaciónse puede componer conotra queladejeinvariante;D)Ningunadelasanteriores. 89 Operaciones conmatrices 90 Fijadas unas bases cada matriz está asociada a una aplicación lineal, el produc- to de matrices esla matriz asociada a la composición deaplicaciones, y,como dichoproductonoesconmutativo,lacomposición deaplicacionesnoescon- mutativa. La opción A es falsa . •:.El hecho de que el número de filas de la primera matriz debe ser igual al nú- merodecolumnasdelasegundaparaquesepueda realizarsuproducto,es equivalente a que el espacio [mal en la primera aplicación debe ser el inicial en la segunda para que se pueda hacer su composición . •:.Es muy fácilcomprobarlo con un ejemplo. Ejemplo: A =esuna matriz asociada a la aplicación linealf A:1R2 1R2fijadas ( 0 ° 0) unas basesy, B =° 12a f B:1R31R2. f A: 1R2 1R2f B: 1R3 1R2 No esposible hacerf B of A = f B(JA(xi' x 2 ))porque losoriginales de !s son d 1R 3 ,mientras que los elementos deJA(XI,X2)son de 1R2. Capítulo 2-3 fB: 1R3 fA: 1R2 (x, Sí esposible hacerf A ofB= fA (fB (XI'x 2 ' x 3 ) ) = f A(0,x 2 + 2x 3 ) = (0, O). Con este ejemplo vemos que la composición de dos aplicaciones no nulas pue- de ser nula. La matriz asociada afAof Bes )()= ( ). La opción B escierta. ¿Cualquier aplicación se puede componer con otra que la dejeinvariante? Si,conla aplicaciónidentidad,asociada a la matrizLaopción Ces cierta. 4.Paraqueunamatriz,A= (aij ) ,realycuadradadeordendosconmute conesnecesarioque:A) all= a22 ;B)aI2= a2J;C)Nopuedencon- mutar nunca;D)Conmutan siempre. 91 Operaciones con matrices / = ( ~~ )es el elemento unidad de M2X2.~Cualquier matriz, A,de M2X2.verifi- ( a ll caA2/= 2/A= 2/A,esdecir, a 2 l valores cualesquiera de los elementos de A. ~Es correcta la opción D . •:.Se podía haber llegado al mismo resultado haciendo directamente las multi- plicaciones. 5. .la x ElconjuntodematricesM(x) =~ o0J 1x, siendoa'#O unnúmero O1 realdado y x un número real cualquiera, con la operación de multiplicar verifi- ca:A)Tiene elemento neutro;B) Cada elementosuyotiene inverso;C)No e conmutativo; D) No es cierta ninguna de las anteriores. ¿ Es conmutativo el producto? 92 Para que el producto sea conmutativo se debe cumplir que M(x)M(y) = M(y)M(x) para valores cualesquiera de x, y. Veamos si se cumple: Capítulo 2-3 Primer miembro:Segundo miembro: [a.O T' O ~ ) = [a'O o)[a.O O] O1xO1O1Y01x= OO1OOOO1OO1 [a'" O X7 Y ] [a'" O y:x] =O1 =O 1 OOOO Ambos miembros son iguales, por tanto, el producto es conmutativo. ~Es falsa la opción C. . Existe elemento neutro? Si existe elemento neutro debe pertenecer al conjunto M(x), es decir, hay algún valor real "e" , tal que M(e) cumple M(e)M(x) = M(x). r ae M(e)M(x) =M(x) ~ Primer miembro:Segundo miembro: l ~ O ;H O O)l a ~ ' O e:x) la' OO)11x=O1 O1x OO1OO OO1 93 Operaciones conmatrices Para que ambos miembros sean iguales debe ser e + x =x=>e =o. =>Lamatriz M(O)= [ ~~~ J= ( ~~~ Jeselelementoneutroouni- OO1OO1 . dad (por la izquierda) del conjunto M(x) para la multiplicación. Por ser conmutativa no esnecesarioprobar quetambiénlo espor la derecha. => La opción Aes cierta. ¿ Existe elemento inverso para cada elemento del conjunto? 94 Si existe matriz inversa M(y) para cada matriz M(x) debe cumplir M(x) M(y) =M(O). Primer miembro:Segundo miembro: [ ~ ~~ I ~ o1O Para que ambos miembros sean iguales debe ser x + y = O => Y = -x. La matriz M(-x) es la simétrica de M(x)para la multiplicación. => La opción B es cierta. 6.Sabiendo que AEMMY BEM 3x4 son tales que aij= i + 2j Y bij= 2i - j, las matricesA+ 2BY -2A + Bson:A)Inversas;B)Diagonales;C)Simétricasy opuestas; D)Ninguna de las anteriores. Capítulo 2-3 El elemento de A + 2B que ocupa el lugar (i, j) es de la forma (i + 2])+ 2(2i - J) = =5i => Sólo depende de la fila que ocupe, no de la columna. ( 5555J A+2B=10101010. 15151515 Elelementode-2A + Bqueocupa ellugar(i,j) esdela forma-2(i + 2j)+ + (2i - j) = -5j =>Sólo depende de la columna que ocupe, no de la fila. ( -5-10-15-20J -2A+B=-5-10-15-20. -5-10-15-20 Es evidente que no son cuadradas =>No son inversas ni diagonales. Para que fueran opuestas ysimétricas debería cumplirse cij= -Cj i' La condición anterior no es cierta. Ejemplo:Cl 4no se puede comparar con C4 lporque C4 lno existe. => La opción correcta es D. 7.Si 1 esla matriz unidad de orden 2,y Aesuna matriz cuadrada deorden 2, talque,all=O,paraqueseverifiquequeA 2 =-1debeocurrir: A)all = O,a 22= O Y aI2a2l=1;B) all = O Y al2a2l=-1; C) a22= O Y al Za 2l=-1 ; D) Una relación entre los elementos de Adistinta a lasanteriores. =>Es correcta la opción C. 95 Operaciones conmatrices 8.Sabiendo que Aesuna matriz regular que verifica A 2 - 3A+ 1 = O,escier- toque K 1 vale: A)3/- A;B) 1 - A;C) A- 3/;D)Ninguno delosvaloresante- riores . •:.UnaformadehacerloesdeducirelvalordeA- 1 desdelaexpresión A2_3A +1=0. A 2 - 3A + / = O A -1 (AA - 3A + /) = A -lOA - 31 + A - 1 = O A -1= 3/ - A. => Es correcta la opción A. .:.Segundo procedimiento: A la misma conclusión se llegaría al comprobar en cada una de las opciones A, B, C si Apor el valor propuesto para A - 1 es 1,o no, sabiendo que /= 3A - A 2 • A(3/ - A) = 3A - A 2 = /Y (31 - A)A = 3A - A 2 = /=> Es correcta la opción A. A(l- A) = A - A 2 * / =>Es falsa la opción B. A(A - 3/) = A 2 - 3A = -/ * 1 =>Es falsa la opción C. 01(a ll al/rB)AI/=n C)N=(a" na li - I O J;D)Ninguna de las anteriores. a" ¿ Es posible eliminar alguna opción con operaciones sencillas? 96 Capítulo 2-3 ValorValorValor Valorobtenido conobtenido conobtenido con Valor de acorrectola opción Ala opción Bla opción C Cualquiera A=(: ~ ) A=(: ~ ) A=(: ~ ) A=(: ~ ) Valen las opciones A, B, C, no podemos decir que es falsa ninguna. 2(ao)(a0)(a 2 °) Para n =2 : A== 1a 1a2aa 2 ValorValorValor Valorobtenido conobtenido conobtenido con Valor de acorrectola opción Ala opción Bla opción C a=3 A 2 =(: ~ ) A 2 =(: ~ ) A 2 = ( ~ ~ ) A 2 =(: ~ ) ~Son falsaslas opciones A y B. La opción C es cierta para n = 2, para los valores que hemos comprobado hasta ahora,pero eso no permite asegurar que lo sea para cualquier valor de n supe- rior a 2. Para n = 3 A 3 =(:~ X ~ : ~ 3)~LaopciónCvaleparaalgunosvalores bajos de n. 97 Operaciones con matrices 98 Podemos seguir comprobando si la opción C sigue siendo válida al aumentar n, pero seguiríamos sin tener la certeza de si vale, o no, para algún valor en el que no lo hayamos comprobado . •:.El método de inducción soluciona esa incertidumbre suponiendo que la ex- presión es cierta para n - 1,y,comprobando que entonces es cierta para n: Supongamos que la expresión es cierta para n - 1 A n - 1 a ( n-l ::::}=(n _1)a n - 2 Comprobemos que, entonces es cierta para n: ( a0)(a n - I O)(a n A n =1a(n _ 1)a n - 2 a n - I =nan-I o ), esdecir,la fórmula dada en la a n opción C es cierta para cualquier valor de n. -2421 421-2 ,severifica:A)A 2 = 25/;B)A- 1 = 25A10.SiA= 21-24 1-242 C) A+ A- 1 = 26A- 1 ;D) Ninguna de las anteriores. 25OOO1OOO Una vezcomprobado queAA = O25OOO1OO =25=251. OO25OOO1O OOO25OOO1 para dar la respuesta correcta es suficiente observar que: A.A =251. AA = 25/ (::::>AA = / (::::>( ~ ) A= / (::::>A - 1= ~(::::>A = 25A - 1(::::> 252525 (::::>A+A- 1 = 26A- 1 • ::::}Son opciones correctas AyC. Capítulo 2-3 11.SiA,BsonmatricesregularesqueverificanM= A.B,esciertoque: A)B- l = AriA; B) K l = M""IJTI;C) M"" 1 = A-IJTI;D)Ninguna de lasopciones anteriores. Cómo se calcula M""l ? M - I = (AB)-I MM- I = (AB)M - I = 1 A -IABM- I = A - 1BM- I = A -1 B-IBM- I = B-JA- J M - I = B-IA- I . ~La opción e es falsa porque el producto de matrices no es conmutativo. Al sustituir M""l por B- IA -1en la opción A se verifica:. JTI= M""l AB- l = B- IA -lAB- l = B- l ,que es cierto siempre. ~La opción A es correcta. Al sustituir M""lpor B- IA -1en la opción B se verifica: ~La opción B no es correcta porque el producto de matrices no es conmutativo. 12.SiAeslamatrizreal[ ~~~ ] ,esciertoque:A)A 2 esunamatriz eOO escalar;B) A 3 esunamatriz escalar;C) AI/esuna matriz escalar para cualquier número natural n; D) Hay unvalor de n a partir del cual AI/ es una matriz escalar. Essuficiente hacer las potencias de la matriz dada para comprobar que: [ OO A 2 =bcO Oac ab] ~~Las opciones A y e son falsas. 99 Operaciones con matrices 100 ( abe A 3 =O O o abe O ~I=>La opción B escierta. abeJ Se puede comprobar que A nnoesescalar cuandon noesmúltiplo de3 =>La opción D es falsa. Capítulo 2-4 Ejercicios relativos a: 1.Sif: IR} -7 1R2 / f(l, 0, O)= (1 ,1);f(0,1,O)= (1,1);f(0, 0,1)= (1 ,O) esunaaplicaciónlineal ,severifica:A)Elnúcleodelaaplicaciónes {(XI ,X2,x,) / XI= -Xl,X, = O};B)La dimensión de núcleo es O; C) Elnúcleo es elsubespacio XI+ X2+ X,= O;D)Ninguna delas anteriores.(Conlasbases ca- nónicas de IR'y 1R2) En el ejercicio 1 de cap. 2-2 se encontraron: a)Matriz de la aplicaciónf: A = (11 1). 11° ...,(y)(11 1)(XIJ{y=x+x+x b)EcuaclOnes de la aplicaclon f :I=x 2 ~I_I23 . Y211°Y2-XI+X2 x 3 El núcleo de la aplicación está fonnado por los vectores cuya imagen es (0,O), esdecir, las soluciones delsistema: ..{O = XI+ x2+ x3 Sus ecuaclOnes cartesIanas son. O=XI +X2 { X=a Unas ecuaciones paramétricas del núcleo sonX:= -a. x 3 = ° 101 Subespacios núcleo e imagen de una aplicación lineal Todoslos vectoresdel núcleo son de la fonna:[:J~aL}" {(l, - L O))es una base. Cualquier base del núcleo tiene un solo elemento => Dimensión del núcleo = 1. =>Sólo es correcta la opción A. 2.SiM 2x2 eselespaciovectorialdematricescuadradasrealesde orden2, f: M 2x2 ~M 2x2 laaplicaciónlinealdefinidapor f(A)= AM - MA YM= ( ~~ ) ,severificaqueesbasedelnúcleodelaaplicación: D) Ninguno de losconjuntos anteriores. ¿Ecuaciones dela aplicación? 2X X ¡X 2 )= 3x 3 x 4 2)(-2O)(O +x 3 +x 4 O-22O ¿Ecuaciones del núcleo? 102 Capítulo 2-4 Las matrices de núcleo se pueden expresar como: ¿Base del núcleo? La base está formada por dos matrices linealmente independientes de M 2x2 que verifiquen las ecuaciones del núcleo. {(~~).(~:)} reúneesascaracterísticas, se ha obtenido cuando tomamos XI=1, X2= °para la primera matriz y XI= 0, X2=1 para la segunda. => Sólo es correcta la opción B. 3.Sif:M2x2--?[R2 esunaaplicaciónlineal,talque,f(;~ )==(a + eL.O), es cierto que: A) Elnúcleo es de dimensión tres; B) La imagen es de dimensión cuatro;C) Elnúcleo es{(O,O)};D)La imagen es[R2. ( aedb).:.La aplicación f asigna a cada matriz realde M 2x2 elpar (a+ d,O) ¿Núcleo def? Son las matrices de M 2x2 cuya imagen es (0, O): ( ab).. fed= (0, O)=> a + d = °=> a = -d.Paraeybnoesnecesanarunguna condición, es decir, pueden tener cualquier valor. 103 Subespacios núcleo e imagen de una aplicación lineal Núcleo def~{(::a)} siendo a,b,enúmerosreales. =>Es falsa la opción C. ¿ Base del núcleo de f? Cualquier elemento del núcleo de f es la combinación lineal siguiente: {( lO) (O1) (OO)}esunabasedelnúcleoporquelasmatrices O-1'OO '1O ( ~~ 1 ) {~~ } (~~ )son sistema generador y linealmente independientes. ¿ Dimensión del núcleo de f? La dimensión es tres. =>Es cierta la opción A. ¿ Dimensión deimagen de f? f debe verificar: dimensión núcleode f + dimensión imagen de f = dimensión espaciooriginal, 3 + dimensión imagen de f = 4 =>Dimensión imagen de f = 1. =>Son falsaslas opciones B y D. 104 Capítulo 2-4 La opción B esdesechable a simple vista porque imagen de f es un subconjun- tode Dimensión imagen de f::;2. 4.En elejercicio 4 de cap.2-1sedefine la aplicación lineal f(a+ bx + cx 2 )= =(a+ bx + cx 2 ) + (e + bx + ax 2 )delespaciovectorialdepolinomios degrado menoroigualquedosensímismo,cuyonúcleoverifica:A)Eselvector -1 + X2;B) Es elvector O + Ox+ OX2;C) Estal que losvectores de lasopciones A y B pertenecen a él; D) Ninguna delas anteriores. { 1, x,es la base canónica, las imágenes de los vectores de la base canónica son: ¿Matriz asociada a la aplicación? ¿Núcleof?· Está formado por los vectores a + bx + cx 2 , que expresaremos mediante sus co- ordenadas (a,b,e),tales quef(a + bx + cx 2 ) = O + Ox + OX2 = (O,O,O),esdecir, que verifican: Es evidente que esta condición la cumplen -1 + X2 y O + Ox + OX2 La opción e es cierta. 105 Subespacios núcleo e imagen de una aplicación lineal La opción Aesfalsa,ya que O + Ox+ OX2 está siempre en el núcleo por ser el vector nulo del conjunto. La opción B también es falsa, porque -1 + X2 está en el núcleo, como se ha visto. La D no es cierta porque lo es la C. .:.En este caso, que es muy sencillo, se podía haber hecho directamente: Núcleof= {(a + bx + cx 2 ) /(a + bx + cx 2 ) + (e + bx + ax 2 ) = O + Ox + Ox 2 },es decir, a + e + 2bx + (a + e) X2 = O + Ox + OX2. ~b = O, a + e = o. 5.Unas ecuaciones paramétricas de la base del núcleo de la aplicación lineal f:[R4.-..,[R2,talque,f (XI,X2, X3, X4)=(XI+ X2 - X3, XI+ X3 - X4)puedenser. A)X=-a + {3.X=2a - {3.X=a·X={3.B)X=a·X={3. X=a+ p. I, 2, ) ,4,1, 2 , ) X4 = 2a + {3;C)Otras diferentes a las dadas en opcionesanteriores;D)Laspa- ramétricas de unespacio vectorialson únicas. ¿Matriz asociada af? Imágenes de los elementos de la base de 1R4: f(1 , O,O,O)= (1,1) feO,1, O,O)=(1, O) feO,0,1, O)= (-1,1) feo, O,O,1) = (O, -1) ¿ Ecuaciones de f? 106 1-1 O1 Matriz asociada a f Capítulo 2-4 ¿Ecuaciones del núcleo de f? XI 1-1 ~ l J x 2{ x, + X,- x, =O ~. O1x 3 XI+x 3 -x 4 =0 x 4 { XI + x 2 - x 3 = O Si tomamos como parámetros X3 = a y X4= f3 en el sistema__se XI+x 3 x 4 - O XI=-a+f3 x 2 =2a- f3 obtienen las paramétricas =>La opción A es cierta. { X+X-X=O Si tomamos como parámetros XI= a y X2= f3 en el sistemaI23_se XI+x 3 - x 4 - O XI =a X-f3 2 - obtienen las paramétricas x 3 =a+ f3 x 4 =2a+ f3 =>La opción B es cierta. Si hubiéramos tomado otro par de variables como parámetros, habríamos obte- nido otras paramétricas =>La opción e es cierta. =>La opción D es falsa. 107 Subespacios núcleo e imagen de una aplicación lineal 6.Sif: IR} ~1R 3 es la aplicación linealf(xl' X2,x}) = (x" X2,O),elnúcleo def verifica:A)Es{(O,O,O)};B)Eseleje x}; C)Eselplano que contiene losejes x" X2;O) Ninguno de los conjuntos anteriores . •:.La imagen de esta aplicación sonvectores cuya tercera coordenada esO,es decir, el plano que contiene los ejes XIy X2• •:.Esevidente que, para que (XI,X2,O)= (O,O, O)debe ser XI= X2= O,mientras X3puede tener cualquier valor,es decir,el núcleo es el eje X3~Sólo es correc- ta la opción B. 7.Si f:1R4 ~IR} eslaaplicaciónlineal,talque,! (1,O,O, O)= (1,-1,2), feO,1,O,O)= (2,1,1),f(0, 0,1, O)= (4,-1, 5),f(0, O,0,1) = (-1, -5, 4),es cierto que:A)El rango de la aplicación estres;B) El rango de la aplicación es cuatro;C) Elnúmero de parámetros independientes que hay enlasecuaciones paramétricas dela imagen esuno;O)El número de ecuacionescartesianasin- dependientes que definenf esuno. ¿ Expresión analítica de imagen de f? .:.Se trata de encontrar una base del conjunto de vectores (yl' Y2,Y3)de 1R 3 ,olr tenidos a partir de cualquier vector (XI,X2,X3,X4)de 1R4. ¿ Base de imagen de f? lQ6 Capítulo 2-4 En el conjunto de los vectores{(1, -1, 2), (2,1,1), (4, -1,5), (-1, -5, 4)}, cual- quiersubconjuntodedoslinealmenteindependientesformaunabasedela imagen de f, como puede comprobarse fácilmente. Por ejemplo{(1,-1,2),(2, 1,l)}. Rango de la aplicación? Número devectores de cualquier base imagen de f = Dimensión deimagen de f = Rango de la aplicación = Rango de la matriz asociada = 2. Las opciones A,B Y e son falsas. -Ecuaciones paramétricas de imagen de f? Si elegimos{( 1,-1, 2),(2,1,1)}comobase,cualquier vector de imagen de f sepuedeexpresar como =:quesonunas x 3 21x 3 = 2.1 + J1 ecuaciones paramétricas de la imagen. " Ecuaciones cartesianas deimagen de f? Se obtienen al eliminar los parámetros A,J1de las ecuaciones paramétricas. { XI=A+2 J1 Enelcasodequetomemoslasparamétricasx 2 = - A+ J1,essuficienteob- x 3 = 2.1+ J1 servar que .1+ 2J1= (-A + J1)+ (2.1 + J1),esdecir, XI= X2 + X3· La opción D es cierta. 8.Sif es la aplicación lineal definida en el ejercicio anterior, es cierto que: A) La dimensión del núcleo esuno; B) Elnúcleo esunsubespacio vectorial de 1R4; 109 Sub espacios núcleo e imagen de una aplicación lineal C) El número de parámetros que hay en las ecuaciones paramétricas del núcleo estres; D) El núcleo es unsubespacio vectorial de 1R 3 . ¿ Es el núcleo un subespacio? Sabemos quesif: 1R4~1R 3 ,el núcleo es subespacio vectorial de 1R 4 , mientras que la imagen 10es de 1R 3 . La demostración es muy fácil: Vamos a comprobar que Nuc(f) verifica las condiciones que caracterizan un su- bespacio, paraf:V ~W b)Tambiénseverifica:'í/ A EIR, 'í/v ENuc (f) =>f(AV) = Af(v) = O=> => AV ENuc(f),por tanto, Nuc(f), es un subespacio de V. => Es cierta la opción By falsa la D. ¿ Expresión analítica de núcleo de f? ¿ Ecuaciones paramétricas del núcleo? 110 .:.Se trata de encontrar losvectores (x" X2,X3,X4)de1R4 que son solución del sistema anterior. Capítulo 2-4 En dichosistema la terceraecuación esel resultadoderestar lasegundaala primera, por tanto se puede prescindir de ella. .{O=X+2x+4x-x En el sIstema resultante__12_~4, podemos tomar como varia- 0- XI +X 2 X 3 5x 4 bIes principales XI, X2y la otras dos variables como parámetros: Al resolver por cualqUIer metodo elemental el SIstemaI2,se ..,.{X+2x=-4A+,u -XI +x 2 = A+5,u obtiene XI= -2A - 3,u, X2= -A + 211. Todas las coordenadas del vector (x¡,X2,X3,X4)se pueden escribir en función de XI=-2A-3,u XI-2-3 los parámetrosA,,u: X 2 =-A+2,uX 2 =A -12 ~+,u x 3 =Ax 3 1O x 4 =,ux 4 O1 El vector (XI, X2,X3,X4)es combinación lineal de los vectores de{(-2, -1, 1, O), (-3,2, O,1)}, que son base. La dimensión del núcleo de f es 2. ~Son incorrectas las opciones A y C. 111 Capítulo 2-5 Ejercicios relativos a: 1.SiB={e p e 1 ,e 3 }yB'={e/,e;, e;}sonbasesdeIR},relacionadaspor e/ = el+ elye; = e'1+ e 3 ,sabiendoquexesunvector,talque, x=(6,5,7)B=(2,3,4) B"severifica:A)e;=(O,O, l) B' ;B)e;=(1,O.l) B; C)e; = (0, 0, l) B; D)Ninguna de las anteriores. Sabemos que: { (l,O,O)B'{(O,l,O)B'{(0,0,1)B' e/ =; e; =;e; ==>Es correcta la opción A. (1, l,O)B(O, l ,I)B(a,f3,o)B (i) (ii) Sustituyendoe/pore¡+ e 2 ,e;pore 2 +e 3 ,y,e;porae¡+f3e2 +oe 3 en(ii) se obtiene: 2e¡'+3e; +4e; =2(e¡ +e 2 )+3(e 2 +e 3 )+4(ae¡ +f3e2 +oe 3 )= = e¡(2 +4a) +e 2 (2 +3 + 4/3) +e 3 (3 + 40)(iii) .:.(i) e (iii) son expresiones de x en base B,por tanto son iguales. =>Es correcta la opción B, y falsas e y D. 113 Cambios de basey matrices asociadas 114 2.Si en 1R 3 seconsidera la base B' = {(1, 0,1),(0,1,1),(-1,0, O)},sabiendo que(1,2,3)sonlascoordenadasdeunvector:XrespectoaB',severifica quelascoordenadasde:xrespectoalabasecanónicaBson:A)(-1,2,-3); B)(-2, 2,3); C) (2,1,3); D)Ninguna de las anteriores. Las coordenadas dadas de los vectores de B' están referidas a la base canónica B. Lascoordenadasdelosvectoresde B' enla base B' son(1 ,0, O),(0,1,O)Y (0, 0, 1): (1,0,0)8'= 1(1,0,1)8+0(0,1,1)8 +0(-1,0,0)8 (0,1,0)8'= 0(1,0,1)8 + 1(0, 1, 1)8 +0(-1,0,0)8 (0,0,1)8'= 0(1,0,1)8 +0(0,1, 1) 8 + 1(-1,0,0)8 X 8 '=(1,2,3)8' =1(1,0,1)8+2(0,1, 1)8 +3(-1,0,0)8 =(-2,2,3)8' ~Sólo es correcta la opción B. 3.Conlasbasesdadasenelejercicioanterior,esciertoque,lamatrizde cambioparapasardelascoordenadasdeunvectorcualquierarespecto aB'alascoordenadasrespectoaBes:A)[ ~° ~ 1 ] ;B)[ ~~ 1 ° 1 1 ]; 11°-1-1 [ 1 ° 0] C)° 1O; D)Ninguna delasanteriores. 001 .:.El problema planteado esencontrar la matriz Q8'Basociada a la transforma- ción identidad, que transforma cualquier vector ensí mismo,aunque suexpre- sión es distinta según la base empleada: Capítulo 2-5 (lR3 ,B). (l,O,O)B' (0,1,0)8' (0,0, 1)8' .:.La matriz Qs's se utiliza en la fónnu1a para pasar de las coordenadas respec- to a B' a las coordenadas respecto a B : is = Qs'iXs'. .atriz Qs'sdel cambio de base? [ 1 ° -lJ Q8'B=° 1O . 11° Es correcta la opción A. 4.Resuélvaseelejercicio2delcapítulo2-5utilizandolasecuacionesdel cambio de base . •:.Elvector iesindependientedelabaseutilizada,perosuexpresiónsíde- pende de la base. Si utilizamos la base B' las coordenadas de ison (1,2,3), esdecir: x B '= (x;,x;,x;) = (1,2,3) 8" Si utilizamos la base B las coordenadas de ison is = (x" X2,X3). 115 Cambios de base y matrices asociadas 116 Para calcular 'i B debemos hacer la sustitución de(x;,x; ,x;) en la expresión an- terior: 5.En lasmismas condiciones delejercicio 3 del capítulo 2-5es cierto que la matrizdecambioparapasardelascoordenadasdeunvectorcualquieraen baseBalascoordenadasenbaseB ' es:A)[ ~O~ l ] ;B)[ ~~ 1~ l ; 1O-1-11 [ 1 O 0J C)O1O; D) Ninguna de lasanteriores. OO1 .:.El problema planteado es encontrar la matriz QBB"asociada a la transforma- ción (1R 3 ,B) ~(1R 3 ,BJ, que se utiliza en la fórmula para pasar las coordenadas en base B a las coordenadas en base B' : 'i B , = QBB' 'i B • La matriz del cambio de base para pasar de B Ia B es QB'B' Para pasar de las coordenadas de un vector en base Ba las coordenadas en ba- se B Inecesitamos la matriz QBB"que es la matriz inversa de la dada. Las matrices utilizadas en los cambios están expresadas en el gráfico: Capítulo 2-5 atriz QBB' del cambio debase? ( J _ I 1O-1 QBB'= =O1O 11O .:.Hay formasrápidas de hacer la inversa de una matriz, que estudiaremos en capítulos siguientes, pero ahora vamos a encontrarla directamente. QBB' es una matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de B ex- presados en la base B '. =+ + 1] :- r=>:; => QBB'= [:::] O11OO=a+f3-1=r-1 =+ + 1] :;- r => : a=> QBB'= [- :::] O11OO=a+f3-l=r-1-1.. . =+ + 1] :;- r =>:=> QBB'= [- 111Ol=a+f3l=r-1-11 .:.Se podía haber hecho de una sola vez por el procedimiento siguiente: SiB = {el ' e 2 ,e 3 } y, los vectores de las dos bases cumplen que: -11) 1O. -11 =>Es correcta la opción B. ) 117 Cambios de base y matrices asociadas 6.f: 1R 3 ---71R 3 /f(XIX2,x)) = (Xl.XI- X2,X2 - XI)esuna aplicación lineal refe- ridaalabasecanónicaB.Cuandolaexpresióndefserefierealabase B I= {(l, 0,1),(0,1,1),(-1, 0, O)}deejerciciosanteriores,susecuacionesson: A)f(XI' X2,X3)= (XI+ X2+ X3, XI-X2,-3xI + X2);B)f(XI, X2,X3)= (-2x I ,XI-X2,O); C) f(XI,X2,X3)= (-2x 1 + 2x 2 + 2x 3 , XI- X2- X),-3x¡ + 2x 2 + 3X3);D) Ninguna de las anteriores . •:.El primer problema es encontrar la matriz A que permite pasar de unvector en base B a su imagen en la misma baseB,f: (1R 3 ,B). ¿Matriz asociada a la aplicación en base B? f:(x I ,x2' X 3 )----7(XI'X I -X2'X 2 -XI) (1,0, O) ----7(1, 1, -1) (0,1, O) ----7(0, -1,1) (0,0,1)----7(0,0,0) La matriz asociada a la aplicación es:A = [:-. -11° ¿Expresión matricial dela aplicación? Uexp=iónmamcirulaaplicación es: -;H:J ¿Matriz delaaplicación en labase B'? 118 .:.El problema es encontrar la matriz A Ique permite pasar de unvector en ba- se B' a su imagen en la misma baseB':(1R 3 ,B'). Capítulo 2-5 El gráficosiguientemuestraelconjuntodelasmatricesasociadasacada una de las aplicaciones realizadas en los ejercicios anteriores: (IR 3 ,B)(IR 3 ,B) iQB'BQBUJ., iQUB (IR 3 ,B' )(IR 3 ,B ' ) En ejercicios anteriores hemos calculado QB'By QBB', y,en éste A. Latransformación(IR 3 , B') , B')eslaaplicaciónsucesivade (IR 3 ,B ' )QB'E)(IR 3 ,B);(IR 3 ,B);(IR 3 ,B)QBB')(IR 3 ,B ' ),es decir, es la composición de las aplicaciones. Sidesignamoscadaaplicaciónporlamatrizasociada,podemosescribir: f A'= i QBB .of AoiQB'B'cuya matriz asociada es: = -11-11O11O-323 ¡ Expresión matricial dela aplicación dadarespecto a B'? [ Y;)(-22 2)[X;)[-2X; +2x; +2X;) =1-1-1 =x; -,x; IEs correcta la opción C. Y 3 -323x 3 -3x¡ +2x 2 +3x 3 .:.Aunqueparamayor claridadhemosdiferenciadolascoordenadasenbase B' utilizando(x;,x;,x;),generalmente nose hace esta diferencia yseescribe f(xl'x 2 ,x 3 )B'= (-2x¡ +2x 2 +2x 3 ,x¡ -x 2 -x 3 ,-3x¡ +2x 2 +3X 3 )B'osimple- mentef(xl'x2'x 3 ) = (-2x¡ +2x 2 +2x 3 ,x¡-X 2 -x 3 ,-3x¡ +2x 2 +3x 3 )diciendo que está referida la expresión a base B'. 119 Cambios de basey matrices asociadas 7.SiB = {el'eJesbasedeIR",U = {u p u 2 ,uJesbasedeIR',y, { f(1,2)=(1,0,1) , f:(1R 2 , B)~(IR"U)eslaaplicaciónlineal,talque,()8_ ()1.- ,es f 0,1- 2,1,0 .8U ciertoquelamamzasociadaajesA)[ ~~ lB)e~ }e)G ~~ } D) Ninguna delasanteriores. ¿ Tamaño de la matriz Aasociada a f:(1R 2 ,B) ~(1R 3 ,U)? Cualquier base de 1R2 tiene 2 vectores Atiene 2 columnas Los vectores de 1R 3 tienen 3 coordenadas Atiene 3 filas. Son falsaslas opciones B y C. ¿Matriz Aasociada af: (1R 2 ,B)~(1R 3 ,U) ? lZtJ .:.Sus columnas sonf(e l ) yf(e 2 ) expresadas en baseU(elye 2 están en base B). Capítulo 2-5 ~La opción correcta es D. 8.Si8= { e l ' e ~ }y8 ' = {e¡/,eJsonbasesde[R2cuyosvectoresestánrela- cionadospore/ = el+ e 2 ye; = el- el 'esciertoquelamatrizasociadaal cambiodelabase8 'alaBes:A) [ 11 J.B)[11 J.C)[)O J. 1-[,O-1'O-), D)Ninguna de las anteriores. Recordemos que la aplicación identidad transforma cualquier vector en sí mis- mo,aunque su expresión es distinta según la base empleada. i:([R2, B ' )~([R2,B) (1,0)~(1,1) (0,1)~(1,-1) "Matriz QB'Bdel cambio de base? Qsos= [11 J ~Es correcta la opción A. 1-1 Fórmula para pasar de las coordenadas de un vector en base B Ial vector en ba- , Fórmula aplicada a losvectores de las bases: 121 Cambios de base y matrices asociadas 9.SiU = {U p U 2 ,UJyU' = {u/,u;,u;} sonbasesde1R 3 cuyosvectoresestán relacionadosporu/ = u 1 + u" U;= u 1 - u 2 yu; = u 2 ,esciertoquelamatriz asociadaalcamhiodelahaseU'alahaseUes:AlII J BlJ:C) (1,0,0)--7(1,0,1) (0,1, O) --7(1, -1, O) (0,0,1) --7(0, 1, O) ¿Matriz Pu'u del cambio de labaseU ' a labaseU? 122 [ 1 1 0J Pu'u=° -11 1° ° =>Es correcta la opción D. 10.SiU = {UI'U 2 ,uJyU' = {u/,u; ,u;} sonbasesdeIR" cuyosvectorese- tánrelacionadosporu/ = u 1 + u 3 'u; = u 1 - u 2 yu; = u 2 'esciertoquela / Capítulo 2-5 delabaseUalaU'es:A)[l O matrizasociadaalcambio -1 B)[: O e) 1 !J; O) Ninguna de las anteriores.O-1 1-111 (1R 3 ,U') (1(!'1i)(1R 3 ,U) P uu ' PUU'esla matriz inversa de PU'U, que se puede calcular por el procedimientó si- guiente o por cualquier otro. -1 La opción B es correcta. 11.EnlascondicionesdelosejercIcIOsanterioreslamatrizasociadaa f(1R 2 ,B')-7 (1R 3 ,U'),es:A)B)C)D)Nin- 1O-3-9-32 guna de lasanteriores. Elgráficosiguientemuestra elconjuntodelasmatricesasociadasa cadauna de lasaplicaciones realizadas en los ejercicios anteriores: ) Cambios de basey matrices asociadas 124 (IR?,B) iQ B' BP UU ',!. iPu'u Al ejercicio 7 corresponde,B) Al ejercicio 8 corresponde,B') Al ejercicio 9 corresponde,U') Al ejercicio 10 corresponde,U) Q,B),B). fin l ),U). Latransformación,U')eslaaplicaciónsucesivade (1R 2 ,B')QB'B)(1R 2 ,B); (1R 3 ,U)P¡/U')(1R 3 ,U'),es decir, esla composición de las aplicaciones. Si designamos cada aplicación por la matriz asociada, podemos escribir: A'=1O-1-21G-2-6. ( OO1 )(-32)(11 ) 11-11O-3-9 =>Es correcta la opción B. 12.Si en el espacio vectorialf,h de polinomios de grado menor que cuatro se consideralabaseB'={1,x+1,(x+1)2,i}ylabasecanónica B= {1,x,X2,x'}, esciertoquelamatrizdecambiodebaseB' a labaseBe : I A)OI2 OO1 OOO ; B)[: O12 IOO H] ;C) Los espacios vectoriales de OI Capítulo 2-5 miosnoadmitenmatricesdecambiodeb ~ s e ;D)Ningunadelasante- riores. ¿Qué coordenadas tienen los elementos de B' en base B? 1 = 1 + Ox + OX2 + Ox 3 = (1,0,0,0) x+ 1 = 1 + 1x+Ox 2 +Ox 3 = (1,1,0,0) (x + 1)2 = 1 + 2x + 1x 2 + Ox 3 = (1,2,1,0) x 3 = O + Ox + OX2 + 1x 3 = (0,0,0,1) ¿Matriz del cambio delabase B ' a la base B? (P3,B')--7(P3,B) (1, O, O, O) --7( 1, O, O, O) (0,1, O, O) --7( 1,1, O, O) (O, O, 1, O)--7(1,2,1, O) (0,0,0,1)--7(0,0,0, 1) 1 O QB'B= 11O 120 OO OO 1O O1 =>Sólo la opción A es cierta. 13.Elsubconjunto S de M 3x3 formadopor matrices diagonaleses:A)Unes- paciovectorialdedimensióntres;B)Unespaciovectorialdedimensióncua- tro;C) No es espacio vectorial; D)No essubespacio de M3x3• ¿La suma dedos matrices diagonales es una matriz diagonal ? O O 125 ) Cambios de basey matrices asociadas ¿ El producto deun escalar por una matriz diagonal es una matriz diagonal ? Es subespacio de M 3x3 ,ypor tanto es espacio vectorial. ~Son falsaslas opciones C y D. ¿Base canónica de M 3x3 ? Son nuevematriceslinealmente independientes, tales que,cualquier elemento de M 3X3 es una combinación lineal de ellas: ¿Dimensión de M 3x3 ? 126 Cualquier base de M 3X3 está formada por nueveelementos, es decir,sudim sión es nueve. Capítulo 2-5 ¿ Base canónica deS? Son tres matrices linealmente independientes, tales que, cualquier elemento de S es una combinación lineal de ellas: o o ¿ Dimensión de S? Cualquier base de S está formada por tres elementos, es decir, su dimensión es tres. ~Es cierta la opción A. 14.EnelespaciovectorialSdelejercicioanteriorseconsideralabase B' = {[ ~~m~! m~~~ J }Sabiendoquelascoordenadas deunamatriz Mde Senbase B' son(1,O,-1), esciertoque:A)Lascoor- denadasde Men la base Bdelejercicio anteriorson(1,O,1);B) La matriz decambiodebasedeB' aBesdiagonal;C)Enlosconjuntosdematrices nosepuedehacer ecuacionesdecambiodebase;D)Ningunadelasante- riores. 127 Cambios de basey matrices asociadas ¿Qué significa que las coordenadas deMen base B ' son (1, O,-1)? M= +J=. OO1OOOOO-1OO2 ¿ Qué coordenadas tiene Men base B? M OO2OOOOOOOO1 Las coordenadas de M en base B son (1,O,2). La opción Aes falsa. ¿Qué coordenadas tienen los elementos de B ' en base B? O O O O O O 1 O O O O O O O O O 1 O1 O O OO.0O O O O O O O O1O O-1O OOO 128 atriz del cambio dela base B' a la base B? (S, B') ---7(S, B) (1,0, O) ---7(1, 0, 1) (0,1, O) ---7(1, 1, O) (0,0,1) ---7(0, 0, -1) QB' B= ( ~~~J 1° -1 =>La opción B es falsa. ¡ Ecuaciones del cambio delabase B ' a la base B? Capítulo 2-5 SiM B ,= ( m ~ , m ; , m ; )yM B = (ml'm 2 ,m 3 ),lasecuacionesdecambiodebase son: =>La opción e es falsa,D es verdadera. 15.Aplíqueselaexpresiónobtenida enelejercicioanterior paracomprobar que elcambio de coordenadas realizado para la matriz M es correcto. 129 Capítulo 2-6 Ejercicios relativos a: 1.Si Aesla matriz de una aplicación linealf:(1R 3 ,B)~(1R 3 ,B),una matriz escalonada equivalente es: A) Una matriz de orden tres triangular superior don- de ningún elemento de la diagonalpuede ser cero;B)La matriz del cambio de base B' abase B;C) La matriz triangular superior donde algúnelemento dela diagonalpuede ser cero,asociadaa fenotrasbasesde1R 3 ;D)Ninguna delas anteriores. En teoría se ha estudiado que sólo es correcta la opción C. 2.SI·A -- (0 1 1 ~ 3 1-5 2 J. . 1aldO,una matriz eqUlva ente esconaa es: ( 13 A)O1 OO -2 J(1 5/2; B)O -2J 5,D) Ninguna de lasan- 12O 12 teriores. Utilizaremos el algoritmo descrito en el texto: Primera vuelta del ciclo: Paso1:Tomamosa":;:.O como elemento elementopivote.Para que elpivote sea 1,hacemos la sustitución F,~F,. Paso 2:Para que queden ceros en la columna del pivote por debajo de él, hace- mos las sustituciones:F 2 ~F 2 Y F3 ~F3 - F,. Segunda vuelta del ciclo: 131 Operaciones elementales en una matriz 1J1 Paso3:Volvemoscomenzarelciclotomandocomoelementoparaconvertir en pivote a22= 2.La transformación a aplicar es:F;-7..!. F; . 2 Paso 4:Para que queden ceros en la columna del pivote por debajo de él, hace- mos las sustituciones: F3 -7 F3 + 4F 2 • Tercera vuelta del ciclo: Paso5:Volvemoscomenzar elciclotomandocomoelementopara convertir 1 en pivote a33 = 12.La transformación a aplicar es:F) -7 12 F, . Fin del ciclo. 7] .... paso 2 O-4 :paso 5)[; O12OO paso 4) -2 ] 5/2 l! .:.Hemos llegado a una matriz escalonada en sentido estricto: Los pivotes son1. .:.Si sólo se exige que los pivotes sean :1;O,la matriz es escalonada en sentido amplio.Este criterio es suficiente para la mayoría de los propósitos. Son correctas las opciones A, B Y C sise pide la matriz escalonada en sen- tido amplio,sise pide en sentido estricto sólo es correcta la B. 3.Enelejercicioanteriorhemospasadode a I-1OOO mediante sucesivas transformacioneselementales.La matriz elemental asocia- da alpaso 4 es: A)[00 1 B)C)D) Nin- 4IOO12OO1 guna delasanteriores. Capítulo 2-6 .:.Lasoperaciones elementales(enel ejercicio anterior han realizadascon fi- las)son: Permutación, o intercambio entre filas. Sustitución de una fila por susuma con una combinación lineal de otras. Multiplicación de una fila por un escalar. •:.Cada una de ellas lleva asociada una matriz elemental. Operación elementalMatriz elemental asociada =}Es correcta la opción A. 133 Operaciones elementales en una matriz 4.SiAesla matrizasociadaalaaplicación B)-7 B),es ciertoque:A)Sepuedeobtener cualquier matrizescalonadamultiplicando A por matriceselementales;B) Hayuna base B',talque,la matriz A' asociada a Bj -7Bj es escalonada;C)La matriz A' de la opción Besinversa de A;D) Ninguna de las anteriores. Todas las respuestas a este ejercicio se desprenden del teorema siguiente: .:."Toda matriz se puede transformar en otra equivalente escalonada por filas mediante transformaciones elementales". =>La opción Aes falsa,sólo se pueden obtener matrices equivalentes a la dada. =>La opción Bes cierta, lasmatricesasociadasaunaaplicaciónlineal, f, en bases diferentes son equivalentes. =>La opción e es falsa en general. 5.SiA =Jeslamatrizasociadaa f :(1R 2 ,B)-7(1R 2 ,B)siendoBla basecanónica,y,A'esunamatrizescalonadaequivalente,esciertoque: I(12J A)A=;B)SepuedeencontrarA'condosoperacioneselemen- O-3 tales;C)Lasmatriceselementalesasociadasalasoperacionesanterioresson El= ( J yE2= ( D) A' = E 2 El A. ¿ Matriz escalonada equivalente a A? Si no decimos lo contrario tomaremos las matrices escalonadas en sentido amplio. ( l!2) F-. F2F.)=>La opción Aesverdadera 22I0-3 134 Capítulo 2-6 ¿Paso de AaA'? SerealizamediantelasoperacioneselementalesF,f-7F 2 Y F 2 -7F 2 - 2F, La opción B esverdadera. ¿Matrices elementales asociadas alas operaciones elementales realizadas? La opción C es verdadera. La opción D es verdadera. 6.En las condiciones del ejercicio anterior,para que A Isea la matriz asociada a f:(1R 2 , BJ -7 (1R 2 ,BJ, los vectores de la base B ' = {(x"X2), (y" Y2)}deben verificar: A)x,= X2= 2y,= Y2;B)x,= -X2 = 2y,= -2Y2;C)x,= -X2 = 2y,= 2Y2; D) Ninguna de las anteriores. Las matrices asociadas a las aplicaciones que intervienen en este ejercicio son: (1R 2 ,B) iQ B'BiQ 8'B (1R 2 , B') ¿MatrizQB'B de cambio de la base B' ala base B? Observemos que: (1R 2 ,B)(1R 2 ,B) iQ 8' Btiene el mismo efecto queiQ 8'B (1R 2 , B')(1R2 ,B') 135 Operaciones elementales en una matriz Se debe verificar AQB'B= QB'BA ' 2x I +x 2 = XI XI+2x 2 = x 2 2YI+Y2 =2x l -3YI Y I +2Y2= 2x 2 -3Y2 { 2X I + X= XI{2Y+ Y= 2x- 3y De las ecuaciones2_~XI= -x 2 'ComoI2_1_1, XI+2x 2 - x 2 YI+2Y 2 - 2x 2 3Y2 { 2 Y +Y=2x-3y{5 Y +y,=2x sustituyendoXI= -x 2 enI2_IIse obtieneI- __I y l +5y 2 -2x 2 YI+5y2- 2x I Y I =-x I { 1 ~y= ~ . ! .X~Sólo es correcta la opción B, 2 2 1 7,Elsistema devectores{(l, 0,O,O),(0,1,0, O),(0,1,1, -1) (O,0,1, -l) } de1R4tienerango:A)Calculable escalonandolamatrizqueformansusfila ; B)Dos;C)Elnúmerodefilasdesumatriz escalonada;D)Ninguna delasan- teriores . •:.Hasta aquí hemos utilizado la definición de independencia lineal para ver si unconjuntodevectoreses linealmente independiente,o no,pero también po- demos utilizar el teorema siguiente: .:.Elnúmerodevectoresfiladeunamatriz Aquesonlinealmenteindepen- dientes coincide con el de columnas linealmente independientes,y,es igualal número de filasno nulas de su matriz escalonada. Yase puede afirmar que la opción e noes cierta,para que lo fuera haría falta que se tomara el número de filas no nulas de sumatriz escalonada. Capítulo 2-6 ¿Rango delas matrices que formael sistema devectores? Podemos considerarlos como vectores fila ~Forman la matriz II OOO O II OO A=,paraqueAseaunamatrizescalonadaessuficiente O11-1 OO II -1 II OOO /ll OO O" O II OOO II OO hacer los cambios:~ O11-1 F 3 ~ F JF 2 F. OOOO FJHF. OO II -1OO II -1 , II OOO O II OO , el resultado es una matriz con tres escalones cuyo F3 HF • ~ II OO-1 OOOO primer elemento esnonulo~El rangodelsistema devectoresestres.~Es cierta la opción A. 8.Elrangodelsistemadevectores{(O,2,2,1),(l,O,1,O),(l,4,5,2), (2,6, 8,3)} de 1R4es: A) Tres; B) Dos; C) Cuatro; D) Ninguna de las anteriores . •:.Para calcular rangosesuficiente con elescalonamiento en sentido amplio. ¿Qué matrizforman los vectoresfila? O221 1O1O 1452 2683) 137 I ~ \ 1 I I 1 : Operaciones elementales enuna matriz ¿ Matriz escalonada equivalente? O2211O1O 1O1OO221 F2H F, ) 2F3 ) 14521452 26832683 1O1O l! O1O O221 O 21 2 F3 O442 OOOO O-2-2-1 OOOO ¿Rango dela matriz? 138 La matriz escalonada tiene dos escalones => El rango de la matriz es dos. =>Es cierta la opción B. 9.Fórmese una basede[R4,talque,contenga el máximo posible de vecto delsistema anterior. l! O1O O 21 La matrizescalonada equivalente es OOOO 'surangoesdos=>Ea OOOO cualquier base de[R4pueden aparecer como máximo dosvectoreslinealmen independientes del conjunto dado. Losdosescalonesque aparecen corresponden a(1,O,1,O)Y (O,2,2,1), tomaremos para formar la base de [R4. II° 1° ° tI21 ° ° u.° ° ° ° II Capítulo 2-6 esuna matriz con cuatro vectores linealmente independien- tes,esdecir,unabasede1R4 es B = {(1 ,0,1 ,O),(0,2,2,1),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}. 10.LamatrizinversadeA=( ~:J es:A)Unproductodematricesele- mentales;B)Aporunproductodematriceselementales;C)Unproductode matrices elementales por A; D) Ninguna de las anteriores . •:.La técnica del escalonamiento se puede utilizar para calcular matrices inversas. -Se puede hallar así A -1 ? ¿Matrices elementales asociadas a las operaciones elementales? Operación elementalMatriz elemental asociada 139 Operaciones elementales en una matriz Es correcta la opción A. 1 14, lI.Si2severificaqueA - 1es: A)25 -1 -1 1) B)U 5 C) -1 J ;D) Ninguna de las anteriores. -2 O -2-]O-1 140 ( 11/ 20-11 /24 2] o1o3-2 -21 ¡;¡ ...... ¡;¡2F2 oo13-2-1 ( 1o 0-75 3] ) o 1o 3-2-2. o o 13-2-1 ( -753 J ~Escorrecta la opción B:A -1=3-2-2. 3-2-1 Capítulo 2-6 141 3 DETERMINANTE DEUNA MATRIZ CUADRADA Ejercicios relativos a: l.() =(2,3,4,1)esunapermutaciónde S ={ 1,2,3,4}queverifica:A)Es par; B) Esimpar; C) Tiene 3 inversiones; D)Ninguna de las anteriores . •:.Una permutaciónsellama par sitieneunnúmero par de inversiones,e im- par sitiene unnúmero impar deinversiones. Alas permutacionesparesseles asigna el signo +, y a las permutaciones impares se les asigna elsigno-. Para pasar de () =(2, 3, 4, 1)a la permutación principal (1,2,3, 4) hay que ha- cer, por ejemplo, las siguientes inversiones 2341-72314-42134-71234 CDG)Q) 00: es la inversión de 41 por 1 4 ~ :es la inversión de 31 por 1 3 Q) : es la inversión de 21 por 1 2 Luego hay3inversionesyesuna permutaciónimpar.Bye sonlasopciones correctas. Determinante deuna matriz cuadrada 144 2.Sia/la ¡Q,kaesuntérminodeldesarrollodeldeterminantedeuna matriz A,¿de quéorden eslamatriz A?:A) 5;B)m;C)Nosepuede determi- nar;D) Ninguna de las anteriores . •:.Eldeterminantedeunamatrizdeordennes:IAI = L(signo O')a l 5 1 42 que tiene 6 inversiones y lleva signo +. (4,1)=> 234 que tiene 7 inversiones y lleva signo -. 41 2 =>Es correcta la opción B. 4.Si esuntérmino deldesan'ollo deunamatriz A.elnú deposibilidades distintaspara(i.j.k)es:A)5;B)6;C)Nose puede dete nar;D)Ninguna delasanteriores. Capítulo 3-1 Para saber cuántas posibilidades distintas hay para (i, j , k) es necesario calcular todas las permutaciones posibles para ese términoaI3a2i a 3j a44a5k. •:.En el determinante de una matriz de orden n aparecen todas las permutacio- nes de S = {l, 2,.. . , n} . Las permutaciones buscadas son de la forma { 12345}. 3i.i4k Entonces (i,j, k)pueden ser todas las posibles permutaciones de{2,3,5}: (2,3,5),(3,2,5),(5,3,2),(2,5,3),(5,2,3),(3,5,2) su número es3!= 3.2.1= 6. ~La única respuesta correcta esB. 5.SeaA =(a)unamatriz.Sisig(a) alICl ,,. . . aesuntérminodel I¡'-"al)_0'(_)/1 (JI 11) determinantedelamatrizA,entonces:A)Nopuedeocurrirquea(i)= i paratodoi= 1,... , n;B)EldeterminantedeAtienen(n- 1).. .1 sumandos; C)Nosepuede determinar elorden de lamatriz A. La opción A es falsa.Recordando la definición de determinante: .:.Sisig(a) a 1a ( l )a 2a (2)• .. a "a(lI)esun término deldeterminante dela matriz A, elorden de la matriz es n. ~C es falso . •:.Hay tantos sumandos en el determinante como permutaciones de n elementos. Hay n! = n(n - 1)...1 elementos, que es la opción B ~B es cierta. liá Determinante de una matriz cuadrada 146 Como la permutacióna (i) = i para todo i =1,... , n es la identidad, eltérmino a"a 22 •. . a n n siempre está en eldeterminante y por tanto Aes falsa. [ 1 1 3J 6.Dada la matriz11O, las permutaciones que hacen nulo eltér- 1O1 minoasociadoaldesarrollode!Alson:A)a= (1,2,3);B)a= (l,3,2 ) ~ C)a= (2,3, 4,1);D)a= (2,3, 1); E)a= (3,2,1) . •:.Un producto es nulo si lo es alguno de sus factores. Enesta matrizsonnulosloscoeficientes a 23ya 32'Laspermutacionesenque intervienen a 23y a 32son de la forma: {::;} y{:~~ } Las permutaciones del tipo{::~ }sona = (1,3,2)Ya = (2,3,1). Las permutaciones del tipo{:~~ }sona = (1,3,2)Ya = (3,1,2). :::::}Son ciertas By D. 7.Eneldesarrollodeldeterminantedelamatriz[ ~4~ Jnopued 321 aparecer laspermutaciones: A)a= (2,3,4); B)a= (2, 3,4,1);C)a= (2, 3.I D)a= (1, 2,3,1) . •:.Como la matrizes deorden3,laspermutaciones queapareceneneld ITollode su determinante son del conjunto S = {1,2,3 }. Capítulo 3-1 =>Las opciones B yD son falsaspor tener 4 elementos (j= (2,3,4) noespermutación por aparecer el elemento 4,que correspondería a una fila 4 inexistente, y faltar el1. =>Sólo es válida la opción e 8.Deentrelassiguientespermutacionessonpares:A)(j=(1,2); B)(j= (1,3,2,4); C) (j= (3,4,1,2); D)(j= (1,3,6,5,4,2). ¡ Cuántas inversiones tiene(j= (1,2) ? (j= (1,2)es la permutación principal delconjunto S ={1, 2}=> Tiene O inver- siones y es par => A es cierta. ¡ Cuántas inversiones tiene(j= (1 , 3, 2, 4) ? Para transformar la permutación(j= (1,3,2,4) enla principal (1 , 2,3,4) basta hacer la inversión 3 2 por 2 3, por lotanto es impar =>B es falsa. ¡ Cuántas inversiones tiene(j= (3, 4,1, 2) ? Para (j= (3, 4,1,2) se tiene: (j= (3,4,1, 2)-H3, 2,1,4)~(1 , 2,3, 4). Tiene 2 inversiones =>esuna permutación par =>e es cierta. ¿Cuántasinversiones tiene(j=(1 , 3, 6,5,4,2)? La permutación(j= (1, 3, 6, 5,4, 2)de S= {1,2, 3, 4,5, 6}se convierte en la principal haciendo las inversiones: (j= (1 , 3,6,5,4, 2)~(1 , 2, 6, 5, 4, 3)~(1 , 2, 3, 5, 4, 6)~(1, 2, 3, 4, 5, 6). Tiene 3 inversiones =>es impar =>D es falsa. 147 Determinante de una matriz cuadrada 148 9.Dadalamatriz sudeterminantees:A)-6;B)1;C)B OO-3 mismo que elde sumatriz traspuesta; D) Ninguna de lasanteriores . •:.Sabemos que eldeterminante de una matriz triangular es el producto de 1 elementos de la diagonal principal. En este caso el producto es -6 A es una respuesta correcta y B es falsa. El determinante de una matriz siempre es igualalde su traspuesta.En este ca- soesmuyfácilcomprobarlo.Sumatriztraspuestaes) ,que O-1-3 tambiénesunamatriztriangular(inferior),ytienelamisma diagonal.Lueg su determinante también es -6 e es correcta. 10.Sea elendomorfismo f : JR2JR2 definido por f(XI,X2)= (XI+ 2x 2 ,-XI) labasecanónica.Entonces,eldeterminantede fA)Noexisteporque1 endomorfismosnotienendeterminante;B)EsI C)Es2;D)Ningu de las anteriores . •:.El determinante del endomorfismo f es el determinante de la matriz asocia- da almismo. La matriz asociada af es y, como este determinante vale 2,son ro- rrectas las respuestas B y C. Capítulo 3-1 ll.Eldeterminantedeconjuntodevectoresde1R 4 , S = {(2, O,O,O),(-1, 1, O,O),(O,1, -2, O),(-3, -4, 1,l)}es: A) -4; B) No exis- te el determinante de un conjunto de vectores; C) Coincide conI~~11; D) Ninguna de las anteriores . •:.El determinante de unconjunto devectores eseldeterminante de la matriz A, cuyas columnas (o filas)están formadas por las coordenadas de cada vector. 2-1O-3 Enestecaso,A = O11-4 Y comoesta matrizesunamatriztrian- OO-21 OOO1 guIar,sudeterminanteeselproductodeloselementosdela diagonal,quees -4. La respuesta Aescorrecta.Para ver si e es correcta o no,hay que calcular el determinante, que es2 ~B es falsa . •:.Sihubiéramostomadolosvectorescomo filas,habríamosobtenido la ma- triz traspuesta, cuyo determinante es elmismo. 12.SiA=(:;).1eslamatrizidentidaddeorden2yO lamatriznula deorden2,existenvaloresdea,b,eydparalosqueseverifica: A)A 2 -(a+d)A+det/=0; B)A 2 -(a+d)A=0; C)A 2 -(o+d)A+1=0; D)Ninguna delasanteriores. La respuesta A no tiene sentido, porque sumamos la matrizA 2 - (a + d)Acon un número, det 1,y esta operación no está definida. Veamos sison correctas B o C. 149 Determinante de una matriz cuadrada 150 b] = (a 2 + beb(a +d)J _(a 2 +adb(a +d)J = de(a+d)eb+d 2 e(a+d)ad+d 2() 2 .( aba ed-(a+d)e = ( b e ~ a d ° J=(be-ad)(1O)=-det(A)I. be-ad° 1 Si det(A) = 0, entonces es cierta la opción B. Si det(A) = 1, entonces es cierta la opción e =>B Y e son correctas. Capítulo 3-2 Ejercicios relativos a: 1.SiA = (2O), entonces unmenor suyo es:A) -6; B) -1; C) 4;D) Nin- -L-3 guna deLasanteriores . •:.Unmenor deunamatriz Aeseldetenllinante de cualquier submatriz cua- drada suya. Los menores pueden ser los elementos de la matriz A(que corresponden a los de- terminantes de las submatrices cuadradas de orden 1) o el determinante de.A.En- tonces la respuesta B es correcta porque -1 es el elemento a21de A. Como IAI=-6 (Aesuna matriz triangular inferior),escorrecta la respuesta A. 2.DadalamatrizA= (1-1O3-24-15),entonces:A)2esun menor de A; B)1 esunmenor de A; C) Anotiene menores; D)Ninguna de las anteriores. Aes una matriz fila.En este caso, las únicas submatrices cuadradas son los ele- mentos cuyos determinantes son el propio elemento ~C es falsa. Como 2 no esunelemento de la matriz, A también es falsa,B es correcta. 3. [ 4O DadalamatrizA=3-1 IO ~1,entonces:A)Eladjuntodelelemen- -) to al }es 4; B) Eladjunto del elemento aJ2 es --4; C) El menor complementario del elemento ll l} es 4; D) Elmenor complementario delelemento a l} es--4. 151 Cálculo de determinantes .:.Elmenorcomplementariodeunelementodeunamatrizeseldetermi - nante de la submatriz: que resulta de eliminar la fila ycolumna ala que per- tenece. Para el elemento a12,se considera la submatriz de A que resulta de eliminar la primera fila (indicada por el primer subíndice) y la segunda columna (el segun- dosubíndice).Esdecir,eseldeterminantedelasubmatriz(31).Este 1-1 determinante vale --4~Des correcta y e es falsa . •:.El adjunto de un elemento de una matriz es su menor complementario afec- tado del signo correspondiente a dicho elemento. En este caso,hayquemultiplicar elmenor complementario de al 2por (_1) 1+2. Luego el adjunto vale 4~Es correcta la respuesta A. 4.SiconsideramosA = (~~~ JysusubmatrizB = ( ~ 2~) ,en- -1-21 tonces:A)EladjuntodeB es1;B)Bnotieneadjunto;C)Elmenor compl mentario de B es1; D)Ninguna delasanteriores. ¿ Qué filasy columnas determinan B? B está formada por las filas1 y 3, Y las columnas 2 y 3. ¿Menor complementario de B? 152 .:.El menor complementario de una submatriz cuadrada Beseldeterminantr de la submatriz cuadrada de A que resulta de eliminar las filasy las columnas las que pertenece B. El menor complementario de Beseldeterminante de a 21 = 111= 1 ~e es rrecta. Capítulo 3-2 ¿Adjunto deB? .:.El adjunto de una submatriz cuadrada B es el menor complementario con el signocorrespondiente.Elsignosedeterminamultiplicandoelmenorpor (_I)D+1: j ,donde l:.iesla suma de lossubíndicesde lasfilasyl:.jesla suma de los subíndices de las columnas. Ennuestrocasoes(_1)('+3}+(2+3)=(_1)9 =-1Y portantoeladjuntoes-1 ~A Y B son falsas. 4511 O231 5.SicalculamoseldeterminantedelamatrizA=me- 1425 628 di antelaRegladeLapla'cetomandolaprimeraytercerafilas,aparecen: A)Seismenores; B)Seis adjuntos; C) Tres menores;D) Tres adjuntos . •:.RegladeLaplace:Eldeterminantedeunamatrizcuadrada deordennes igual a la suma de todos los productos posibles de los menores de orden p, (con p< n) que se pueden formar conp filas(o columnas), por sus adjuntos corres- pondientes. Los menores de orden 2 de la primera y tercera fila son: ¿\=1 4 11 ¿\=1 5 44 ysus adjuntos: 51=11;¿\=1 4 421 1= 6.¿\= 1 5 2'54 11 = 7;¿\= 1 4 231 11= 21;¿\= 1 1 562 ~ I =19 ~ 1 = 3 . A=1 3 12 11()(1+3)+( 1+2)1 2 11()(1+3)+(1+3) 8-1= -22;~=68-1= 10; Cálculo de determinantes 154 A=1 2 36 o A= 51 31() (1+3)+(1+4)o -1= 14;A= 241 3 (_1)(1+3)+{2+4)= -3;~= 10 21 De esta fonna,el determinante es 6 IAI =¿ A i ~ i= (-22) . 11 + 10·7 + 14 ·19+ 1·6 +(-3) .21+2.3 =43. ;=1 ~A Y B son ciertas. 6.Elnúmerodemenoresdeorden2delamatriz [ 1 2 3) A =~::es: A)Cinco; B)Seis; C) Ocho; D)Nueve;E)Ninguna de lasanteriores. Calcularemostodos losmenores deorden 2 dela matriz anterior siguiendo un orden para que no falteninguno. Con la primera columna, y, primera y segunda fila fijas:1~~1, 1~!l· Con la segunda columna, y, primera y segunda fila fijas:1~!l· Con la primera columna, y, segunda y tercera fila fijas:1~: 1,1~:l· Con la segunda columna, y,segunda y tercera fila fijas:1:: l· Capítulo 3-2 Con la primera y tercera fila fijas:11,11,1l· La respuesta esnueve =>D es correcta . •:.Observemos que no hemos incorporado los que salen repetidos. 7.Eldeterminantedelamatriz es:A)1;B)O;C)-1; -1O-1 D)Ninguna de lasanteriores . •:.El determinante de una matriz cuadrada de orden n es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos correspondientes. Paracalcular eldeterminantedelamatrizanterior,sisedesarrollapor lase- gunda fila,resulta: 12-1 IAI=O1O= -1O-1 -11+(_1)2+2111-11+(_1)2+301121= -1-1-1-1O = 1(1(-1)-(-1)(-1)) = - 1-1 = -2. =>Noson ciertas ni A,ni B, ni C y la única respuesta correcta es D. x2x 8.Dada la ecuación11= -4 , susolución es:A)x = 1;B) x = ± 1; OOx C) Noreal;D)La expresión anterior noesuna ecuación. Esta ecuación se puede resolver, sin más que calcular el determinante; desarro- llando por la tercera fila resulta: 155 Cálculo de determinantes 156 x2x 111 oox D no es correcta. Las soluciones de esta ecuación son: -4·42+-J-12 x == , que no existen en IR. 22 A Y B también son falsasy es correcta la opción C. [ 12-1) 9.Dada lamatrizA =O1O,es ciertoque:A)a= 3essoluciónde -1O-1 lA- all= O;B)a= 1 essolucióndelA-= O;C)a= -1essoluciónd lA-= O;D)Ninguna de las anteriores. UI 2 -1)[1 O l-a2-1 IA-all=1O-a O1 =Ol-aO=0. O-1OO-1O-1-a Si se desarrolla por la primera columna resulta 1 1-aO11 2-11 I A -al 1= (1- a)+ (-1)= -(1- a)2(1 +a) - (1-a) = O. O-1-al-aO Capítulo 3-2 Si se saca factor común (1- a), se obtiene la expresión equivalente (1- a)( -(1- a)(1 + a) - 1) = ° (1- a)(a 2 - 2) =O:::::}a =1ó a =±.J2 . :::::}La respuesta Bes correcta yel resto son falsas. 10.EldeterminantedelamatrizC=A+AB+AB 2 +...+AB"- 1 , siendo AyB esA)e B)(2'"-1)(3"-'-1); C) No se puede calcular sin más datos;D)Ninguna de las anteriores. ¿Cómo son la potencias de B? .:.Recordemos que elproducto de dos matrices diagonales es otra matriz dia- gonal. En nuestro caso las potencias de B tienen la forma: Si sustituimos los valores obtenidos en la expresión dada, se obtiene: C = A+AB+AB2 + ... +AB"-I =A(I +B+B2 + . . . +B"-I)= =(10)[(10)+(2°)+(2 2 0)+ ... +(2"-1° )J= °2°1°3°3 2 °3 n - 1 =G 0)(1+2+22+... +2"-1°)= 2°1+3+3 2 +... +3"-1 "0 J(2"-10)3-1=. -- °3" -1 2 157 Cálculo de determinantes .:.La suma de1 + 2 + 2 2 + ... + 2 n -'es la suma de n términos de una progresión geométrica de razónr = 2, primer término a, = 1, que viene dada por la expre- . ,r"a,-a, S10nSil=1 · r- Lo mismo se hace para la otra suma. 2" -1 ~La únicarespuesta correcta esDporque O O= (2" -1)(3" -1). 3" -1 11.Eldeterminantedelamatrizquetieneporfilas:(x,a,b,e),(a,x,O,O). (b,O,x,O),(e,O,O,x)es: A)a 2 x 2 + b 2 x2+ C 2 X2;B)x 4 _a 2 x 2 _b 2 x2- c 2 x!; C) X2(a + b + C)2;D) Ninguna de lasanteriores. xabe ax Oxa e( axOOA es falsa. Opción B:«Toda matriz cuadrada tiene inversa».Es falsoporque sólo las trices cuyo determinante es distinto de O tienen inversa. Opción C: «Toda matriz simétrica tiene inversa». Esfalso. Ejemplo:Si tODll3:Cq A = (, es simétrica pero su determinante es O luego no tiene inversa =>Sólo es cierta la opción D. 10.LainversadelamatrizA = G es:A)Ella B)Co singular, no tiene inversa; C) Como es regular, no tiene inversa; D) Nin las anteriores. Las matrices regulares son precisamente las matrices que tienen inversa C es falsa.Para ver siB escierta, tenemos que demostrar que A es"LLl."'..... que quiere decir que su determinante es O: => A no es singular y la opción B es falsa. Para comprobar si A es cierta, muitipliquemos Apor sí misma: ( 1 2)(12)(710)(1O) 3434=1522*O1 =>A tampoco es cierta. La única respuesta correcta es la D. Capítulo 3-4 11.La inversa de la matrizA=(12) es: A)(2-1 ).B)(-21). 34-3/21/2'3/2-1/2' ( -23/2) C); D) Ninguna de lasanteriores. 1-] /2 .:.La inversa de una matriz se puede calcular como la traspuesta de la adjunta, dividida entre eldeterminante de la matriz. En el ejercicio anterior, vimos que el determinante de( ~!)es distinto de O y por tanto existe la inversa de A. =>La respuesta correcta es C. 12.Lainversade(x-2)coincideconsuopuestacuando:A)x = 1; 5-x B) x = -3; C) x = 3; D) Ninguna delasanteriores. Que la inversa de la matriz coincida con la opuesta significa que: =>Son ciertas las opciones B yC. 183 Cálculo de la matriz inversa A=[ }AlParnk = o es -) 13.Dada lamatI;z -) O-1-) A'{ -] 1;elNoÜene B)Parak= OesOinversa -11-1 D) Ninguna de las anteriores . •:.Para que Atenga inversa sudeterminante debe ser distinto de O. ¿CuándoeslA 1"*O? 1k O1O= 1· 1(-1) + l · O· (-1) + O· O· k - k · 1· (-1) -1 · O· O-1 · O· (-1) = -1 + k. -1O-1 El determinante esdistintodeO sikesdistintode1,loquesignifica que sól eneste caso la matriz es regular y,por lo tanto, tiene inversa. La opción e es correcta. ParaversisoncorrectasAoB,consideramosk=O,quedan [ 11 A=O1 -1O -1 ¿ Matriz inversa? A' = = 1 OJ [-1 O 1O=- 1-) -1O-1O O 1 j'[1-1O J - 1=O1O 1-11-1 A es correcta yB es fal sa. 184 Capítulo 3-4 14.La inversa de lamatrizA = [ 1 es: A) Ella misma; B) No tiene -1O-1 [ -1 inversa; C) _?J 01; D)Ninguna de lasantenores. -1 Apartir delejercicio anterior,observamosque esla mismamatriz para k = 2, valorde k para elquesetratabadeunamatrizregular.EntoncesBnoesco- rrecta.La inversa se determina como en el ejercicio anterior, con lA I = 1 A- ' = ; -1O-1-2O 1]' (-11 -2J -1=O1O . 11-11 =>La única respuesta correcta esla C. 15.Dada la ecuaciónmatricial(2-1)(.:':r)(l2)=(02). sevelifica: O1,.u1-113 A) ( X'')(J-1/ 2)B)N'l' , .=;o tIenesoUClOn; Z114/3-1/3 C)( ";: \:.·,,)(-11/62/3)DN'di ' .=;)Illgunaeasantenores. ti- 7/32/3 ( 2 -1)(12)., DenotamosA =YB =. Para resolver esta ecuaCIón,lomas O11-1 185 Cálculo de la matriz inversa 186 sencillo esescribir la ecuación comoA(:: )B =(ydetenninar A-, Y B- 1 ,si existen, para transfonnarla en(;)= A- 1()B- 1 • =1;2) () - 1()'()() 121-1-11-1-21/32/3 1-1= IBI-21= -3-11=1/ 3-1/ 3. La ecuación queda La única respuesta correcta es A. 16.Para que Aseaunamatrizreal,diagonaldeorden2,quetieneinversa cumple A 2 - a4 + f31= O (siendo 1 matriz unitaria yO la matriz nula de orden 2 ya*- O),debe ser: A)f3= O Y a cualquier número real;B) a = O Y f3cualqui número real; C)a = O Y f3= O; D) Ninguna de las anteriores. La matriz Aesde la fonnacon ab *- O. Sif3= O se verifica: y como ab *- O, tiene solución a = b = a. Capítulo 3-4 Laopción Aesfalsa,porqueanopodría ser cualquiernúmeroreal,ni A una matriz diagonal cualquiera. Besfalsaporque sia = O setendría que cumplir que(a 2 O J= (-f3O J, Ob 2 0-f3 queesequivalente a{a 2 = -f3 a= ±H. Pero f3escualquier númeroreal b 2 y entonces podría ocurrir que la matriz Afueseno real. e esfalsaporquesia =O, f3=O significaqueJ= ( ), esdecir, a= b = O Y entonces Anosería invertible,encontradicción conlashipótesis. D esla única respuesta correcta. 17.Lamatriz[;tieneinversa:A)Paraa1Y cualqui...valor de b; B) Para b = 1 Y cualquier valor de a; C) No tiene solución; D) Ninguna de lasanteriores . •:.Una matriz es invertible cuándo su determinante es distinto de O: 11b a2-1= 2-3+ab-6b-a+ 1 = ab-6b-a = a(b-I)-6b 7=O 311 6b a 7=-- sib7=1,opara todoacuandob= 1 (yaque eldeterminantees b-l a - a - 6 = -6 7=O) . La única respuesta correcta es la opción B. 187 Cálculo de lamatriz inversa 188 J 8.La inversa de unamatriz cuadrada puede coincidir con suadjunta:A)Sí, pero sólo endeterminados casos; B) Nunca; C) Siempre coinciden por ser cua- dradas;O) Ninguna delasanteriores. 1- SabemosquelainversadeunamatrizsepuedecalcularcomoA - 1= IAI Al Observando esta relación, podemos afIrmar, por ejemplo, que la inversa de una matriz Ay su traspuesta Al coinciden cuando el determinante de Aes1 y la ma- triz adjunta es simétrica. =>Sólo es cierta la opción A. 19.SiAesunamatrizqueverificalarelaciónA ~- A- /= 0,entonces: A)Noexiste A - 1;B)SiexisteAl, entoncesA1= A- / ; C)Sóloexiste A1si A= /;O)Ninguna delasanteriores. La opción Aes falsa porque si consideramos la matrizA = ( ~~ ), se verifIca A 2 - A -1 = °y,además,det (A)7:O. Luego existe A - l. Es cierta la opción B.Si existe A - 1se verifica A - 1 A = 1 (por defInición de inver- sa) entonces, A- I vale A -1 (A-1) A= 1 A 2 -A -1 = O. Ctambién esfalsaporquesiA= 1,nose verifIca A 2 - A- 1 = °ya quesería ¡2 - 1 - 1 = -1 = 0,que es una contradicción. 20.SiA = (2a J./ = (I0J.paraqueA1=2/- Asedebeverificar: h('° 1 A)-ah =IY e=O;B)a=b=e=O;C)SiempreseverificaA1=2/ - 4: O) Ninguna de lasanteriores. K I = 21-A => AK I =A(21-A) =>1= 2A_A 2 • La expresión anterior equivale a: Capítulo 3-4 Igualando lostérminos que ocupan la misma posición resulta: ab= -l. ae = be = O ~a = O ó e = O;b = O ó e = O. 2e-ab- e 2 = 1 ~ 2 e - e 2+1= 1 ~e(2-e)=0 ~e=O ó e =2. Si e '" O,entoncesdebe ser a = b = O Y nosería posible ab = -1. Luego e = O Y ab = -1~Sólo es cierta la opción A. 21.SabiendoqueA,Bsonmatricesregularesdistintasdelaidentidadtales que,B= 2A- 1 Y A"= 1,deentrelassiguientesafirmaciones,escorrecta: A)B)= B;B)B- J = B;C) BJ= A;O) Ninguna de lasanteriores. ¿Es B 3 =B? B 3 = (BB)B = ((2A -l)(2A - 1) )(2A - 1) = (4A 2 - 2A - 2A + 1)(2A - 1) = =(41 - 4A +1)(2A-l) = (51 - 4A)(2A -1) = lOA -51 -8A 2 + 4A = =14A - 51 - 81= 14A -131", B. ~A no escierta. ¿Es B- J =B? Si B- J = Bsu producto debe ser la identidad. B-IB = (2A -1)(2A - 1) = 4A 2 -2A -2A +1 = 41 - 4A +1 = 51 - 4A '" l . ~B también es falsa. 189 Cálculo de la matriz inversa 190 ¿ Es Alainversa de B? Si A es la inversa de B su producto debe ser la identidad AB = A(2A -l) = 2A 2 - A = 2/ - A*-/ porque A*-/ por rupótesis =>e tampoco es cierta. =>La única opción correcta es D. Capítulo 3-5 Ejercicios relativos a: 1.Utilizando determinantes,se puede saber siunsistema S de mvectores de unespaciovectorialV dedimensiónnes:A)Base delsubespacio que genera; B) Libre; C) Base delespacio V;D) Ninguna de lasanteriores . •:.LosvectoresdeS tienenncoordenadas~lamatriz Aqueseformaalto- marlos como filases de dimensión m x n. Sin =msepuede calcularlA 1;silA 1:;:.O ~S está formadopor nvectoresli- nealmente independientes, esdecir,forman una base del espacio V. ~La opción e es correcta. Sim < n,la matriz Anoes cuadrada y no existe sudeterminante, pero se pue- dencalcular losmenores.ElmayorordendelosmenoresdistintosdeO esel rango de la matriz. Si elrango de la matriz m ~S esunsistema libre. ~La opción B es cierta. LosmvectoresdeS sonsistema degeneradoresde(S)siademáseslibre~ son base de (S). ~La opción A es cierta. 2.El conjunto de vectores S = {(1, O,1), (3,1, -1), (2, O,O)}de 1R 3 es: A) Una basede1R 3 ;B)Unsistemalibre,peronóesbase;C)Noesunsistemalibre; D)Ninguna de lasanteriores. 191 Determinación del rangode una matriz... •:.Sabemos queunconjunto de nvectoresdeunespacio n-dimensionalesli- bresiysólosieldeterminantedelamatrizcuyasfilas(ocolumnas)sonlos vectores esdistinto de O. ¿Determinante cuyas columnas sean los vectores deS? 192 132 O1O =0+0+0-2-0-0=-2*0. 1-1O Como es distinto de O,es un sistema libre. Como la dimensión del espacio vec- toriales3 y los3 vectoresson l.i., sí esbase~Sólo escorrecta la opción A. .:.Sihubiéramos formado la matriz con las filas,elresultado no variaría. Ten- dríamos eldeterminante de la matriz traspuesta, que tiene el mismo valor. 3.Elconjuntodevectores{el,2,k),(3,1, -1), (1,-1. O)}de1R1 eslibresi: A)k *1;B)k * 2;C) k *3;O) Para ninguno delosvaloresanteriores. Comoenelejercicioanterior,calculamoseldeterminantedelamatrizcuyas columnas son losvectores: 13 21 k-1 1 -1= 0-3k -2- k-l-0 =-4k- 3. O Elsistema es libre sieldeterminante esdistinto de O,lo que ocurre sik * -3/4. ~La única respuesta correcta esla opción D. 4.SiAesunamatrizdeordennxnyseverificaquergA= r,siendo r < /l,entonces: A)No esposible; B)Puede haber unmenor deordenr + I que Capítulo 3-5 sea distinto de O;C) Hayunmenor de orden r distinto de O y todos los de orden r + lsonO;D) Ninguna delasanteriores . •:.Elrangodeuna matriz cuadrada deorden n eselmayor delosórdenesde sus menores no nulos. Que el rango sea r < n quiere decir que,si consideramos las submatrices de or- denr hayuna almenosuna cuyo determinante esdistinto de O yque el deter- minante detodas las de orden r + 1 osuperior es O =>Bes falsa y Cescierta. La opción Atambiénesfalsaporquesí puedeser que el rangodeuna matriz cuadrada sea menor que el orden; esto ocurre cuando el rango no es máximo o, loqueeslomismo,cuandohayn- rfilasocolumnasquedependenlineal- mente del resto. A ~ l l 2-1O ;Jes:A)1;B)2;C)3: 5.Elrangodelamatriz-]2 -]2 D) Ninguna de lasanteriores. Para determinarelrangointentamos,enprimer lugar ysiesposible,detectar filaso columnas que sean combinación lineal de otras.Observamos que la ter- cera columna esla primera menosla segunda: la podemos eliminar,quedando [ 12O 3J rg A = rg1-112 . O121 Como noson evidentes otrasdependenciaslineales, procedemosadeterminar elrangobuscando,siguiendounmétodo,menorescadavezderangomayor: Elección de algún menor distinto de O. Con rango1:all = 1. Determinación del rango de una matriz... Ampliamos a una submatriz de orden 2 con detenninante distinto de O:(12 ) , 1-1 cuyo determinante es -3 ~el rango es mayor o igual que 2. Esto significa que los vectores que forman las dos columnas son l.i., y que también lo son los vec- tores que forman las filas. El máximo rango que puede tener es 3, porque sólo puede haber 3 vectores fila queseanlinealmenteindependientes.Laúnicafilaquesepuedeañadirala matrizdeorden2esla3 a ,mientrasquepodemosañadirla3 a Ó 4 a columna. dando lugar a 2 submatrices de A: Sus determinantes son 12O 1-11=-2+0+0-0-1-4=-7y O12 123 1-12=-1+0+3-0-2-2=-2. O11 Ambossondistintosde O,pero sería suficiente queunode elloslofuerapara afirmar que el rango de A es3. ~Es correcta la opción C. Capítulo 3-5 1o12-21 o2o132 es:A) 4; B)6;C)3;6.El rangodelamatrizA = 1-11O13 -1211-24 D) Ninguna de las anteriores. Para determinar el rango de una matriz es conveniente intentar detectar sihay filasocolumnasqueseanproporcionalesocombinaciónlinealdeotras,para prescindir deellas en elcálculo.En este caso no es evidente,así que seguire- mos el procedimiento estándar: Buscar unelemento distintode O.Elegimos a l l= 1: elrango elmayor oigual que1. Ahora debemos buscar una submatriz cuadrada de orden 2, que contenga a all, ycuyodeterminantesea distintode~lasfilasqueintervienenson l.i.,ylas columnasqueintervienensonl.i.~elrangodelamatrizqueformanestos vectores es 2.Esta submatnz puede ser1112=. .(aa)(1O) a 21 a 22 O2 ¿ Hay más vectores filal.i. ? Se trata de ver si el rango de la matriz formada al añadir la fila3 a es 3.Una de las submatrices formadas con F I ,F2,F3 Y C h C2,C 3 es cuyo determinante es O,es decir C 3 depende de C h C 2 (en realidad, C 3 = Cl).Si elegirnos la matriz formada por F¡,F2,F3 Y C¡,C 2 ,C 4 ,obtenemos 195 Determinación del rango de una matriz... o2 21=0+0-0-4+1-0=-3*0. -1O Luegoelrangoesmayor oigualque3~F),F2.,F3sonl.i.y tambiénloson e"e2,e4• ¿Es F 4 independiente deF),F2.,F 3 ? 196 Es decir,si tiene rango 4 (que sería el máximo) la matriz, o el sistema de vecto- resque cuyascoordenadassonlasfilas.Laúnicaposibilidadparalasfilase ampliar el determinante anterior con la cuarta fila;para lascolumnas podemo ampliar con la 5 a o la 6 a • la posibilidad:F),F2.,F 3 ,F 4 con e), e 2 ,e 4 ,es: 1O2-2 O213 1-1O1 -121-2 Calculamossudeterminanteaplicandolastransformacionessiguient F3 ---7F3- F,Y F 4 ---7F 4 +F,Y resulta: 1O2-21O2-2 213 O213O213 = -1-23=3. 1-1O1O-1-23 23-4 -121-2O23-4 Como es distinto de O,elrango de la matriz es4 y la opción A es cierta. Capítulo 3-5 7.Elrango de lamatrizA =[ ~ l! i ~J es:A)3 para k = O;B)No de- pende de k;C) 2 para k = 2;D) Ninguna de lasanteriores. Comono esevidente que existan combinacioneslinealesentrefilasocolum- nas, procedemos a determinar el rango por la vía habitual. Elegimos con rango1 el menor de a"= 1.Ampliamosauna submatriz de or- den 2,que es(1O)(se comprueba sin más que calcular su determinante y -11 ver que es distinto de O). Para ver si tiene rango 3, que es el máximo rango que puede tener:sólo se pue- de ampliar con la 3 a fila,pero podemos elegir la tercera columna: 1O1 -11k=0+0-2-k-2k-0=-2-3k k2O o cuarta columna 1O2 -11O =2+0-4-2k-0-0=-2-2k. k22 Tiene rango3sialguno(uno almenos)de los determinantesanteriores es dis- -2 tinto de O,lo que ocurre sik"* - ók"* -1.~Aes correcta yB, CyDson 3 falsas. 197 Determinación del rango de una matriz... 8.Para formar una base con vectores de {u =(1,2,-1), v =(3,1,0), W =(2, -1,1),:5 =(2,1,0)}basta: A)Eliminar:5; B)Eli- minar w; C) Nunca se podrá formar una base con ellos; D) Ninguna de lasante- riores . •:.Una base enunespaciotridimensionalestá formadapor 3 vectores =>El conjunto de vectores no puede ser base, porque son 4. ¿ Matriz cuyas columnas son los vectores? A =[ -1°1° Elmáximo número de vectores libres en 1R 3 es 3 =>El rango máximo que pue- de tener A es 3. ¿ Son independientes U,v yw? Lastresprimeras columnas corresponden aestosvectores,el determinante de la submatriz es: 132 21-1= 1+3+0 +2-0 -6 = o. -1° 1 Como es 0,el sistema formado por U,v y wno es libre y Ano es cierta, porque una base debe estar formada por vectores libres. ¿ Son independientes U,v y :5? 198 Es decir,¿es la opción Bcierta? Las columnas correspondientes aestos vecto- res son las dos primeras yla última. Tenemos: Capítulo 3-5 r g [~ -1 3 2J 11=3 oo 132 porque211=-3+2=-1#0. -1OO Entonces rg{u,V;S}= 3 ~dim IR 3 {u, V;S}(:::>son base de IR 3 ~B es correcta. 9.El endomorfismo f (x,y,z)= (3x + y + z,x + y, -2y + z)deIR 3 tiene rango: A)1;B) 2;C) 3;D) Ninguna de las anteriores . •:.El rango de un endomorfismo es el rango de la matriz asociada. ¿Matriz asociada ala base canónica? Comof(1 , 0, O)= (3,1, 0),j(0, 1,O)= (1,1, -2),j(0, 0,1) = (1 , 0, 1)resulta: Calculamos su rango, estudiando primero si es 3: 311 11O =3-2+0-0-0-1=0. O-21 Como el determinante es 0, el rango no puede ser 3. Miraremos si es 2, eligien- do la submatriz formada por las 2 primeras filasy columnas: I~: 1= 3 -1 =2 #O. Como es distinto de 0, el rango es 2 =>Es correcta la opción B. 199 Determinación del rango de una matriz... 10.LadimensióndelaimagendelendomorfismodeIh(l (x,y,::)= (x - ::. x + ky,)' + z)es2 si:A) k = 1;B)k = 2;C) k = -1; D)Ninguna de lasanteriores. ¿Matriz asociada al endomorfismo? f(1,O,O) = (1,1,0),f(O, I,O)=(O,k,I),f(O,O, I)=(-1,0,1) ¿ Rango de A ? 1O-1 1kO=k-l+0-0-0-0=k-1. O11 Este determinante vale O si k = 1, Y entonces el rango no es 3. Comprobemos si con este valor, k = 1, el rango es 2: Observamos que con este valor de k el rango sí es 2.Es correcta la respuesta A. .:.Dimensión de la imagen de f =Rango de f = Rango A =>Es correcta A. 200 Capítulo 3-5 Lamatriz[ ~ 1:1:A)Tienerango3;B)Tieneinversayesde -1-2 11. rango 3; C) Su determinante esnegativo,luego no tieneinversa; O) Ninguna de lasanteriores. Las opciones son relativas al rango de la matriz y a si la matriz es invertible. La herramienta más adecuada son los determinantes: 111 211=-2-2+1-1+1+4=1. 1-1-2 Como es distinto de 0, la matriz es invertible y tiene rango 3.Son correctas A y B. Ces falsa porque siuna matriz tiene determinante negativo, es distinto de 0,y por tanto es invertible. 12.SiA esunamatrizasociada aunendomorfismoftal quedetCA)= r,con r 7:- °Y hacemosuncambio debasetalquelamatrizasociadaes A', entonces det(A ')verifica:A)Nosepuededeterminar;B) ValelIr;C) Valer;O) Esdis- tinto deldet(A). SiA' resultadehacer uncambiodebaseen Aentonces,siBesla matrizde cambio de base se cumple que: A'=BAB-'. Aplicando las propiedades de los determinantes se cumple que IA'I = IBAF'I = IBI lA II Ir' I y como lB II B 1-' = 1 resulta que det (A')= det(A)=r ~C es cierta. 201 SISTEMAS DEECUACIONES LINEALES Ejercicios relativos a: 1.Deentrelossiguientessistemasdeecuacionesnosonlineales: A)XI+X2+X3=0;XI2+2x2=X3; C)X 2 X l +x 3 =0;Xl+2x 3 =3;D)Xl=3;x 2 =0 . •:.Unsistema dem ecuacioneslinealesconnincógnitasestodoconjunto de ecuaciones de la fonna: al)x)+a)2x2+ ... +a)n xn =b) a 2 )x ) +a 22 x 2 + . .. +a 2n x n =b 2 siendoXjlasincógnitas,a ijEIRloscoeficientesdelasincógnitasyb¡ EIRlos ténninos independientes,paraj = 1,... , m, i = 1,... , n. 203 Sistemas de ecuaciones lineales ... 204 •:.Cuando todos los ténninos independientes b¡, ... , b m son cero,elsistema se llama homogéneo y en caso contrario se llama no homogéneo. =>A Y Dsí sonsistemas de ecuaciones lineales,sin embargo B y Cno loson porque aparecen monomios de grado 2: en B yx 2 x¡en C. 2.Seinvierten6000€en3fondosdeinversión:enelprimeroinvertimo una cantidad x,enelsegundo yyeneltercero z.La evoluciónde estosfondo hace que la inversión en elprimer fondo sea igual que enlos otros dos juntos, • que en elsegundoinvÍltamos eldoble que en eltercero. Almodelizar mediant ecuaciones esta situación,escierto que:A)Tenemos 4 ecuaciones y3 incógm- tas;B) y - 2z = O esunecuacióndelsistema;C)No esunsistema deecuacio- neslineales; D)Ninguna de lasanteriores. En cualquier sistema de ecuaciones, las incógnitas son los distintos parámetr que intervienen y cuyo valor,generalmente, queremosdetenninar.En este ca- so,invertimosdinero en 3 fondosy cuánto invertimosen cada unoes la canti- dad buscada. Luego vamos a tener 3 incógnitas. Lascondicionesquedebemosaplicarvana proporcionar elnúmerodeecua- ciones, ya que cada condición es una ecuación. CondiciónExpresión algebraica Invertimos 6000 €en 3 fondos: en el primero in- x+y+z=6000 vertimos una cantidad x, en el segundo y y en el tercero z Invertimos lo mismo en elprimer fondo que en los otros dos juntos En el segundo invertimos el doble que en el terceroy = 2z y - 2z = O ti Capítulo 4-1 Tenemos 3 ecuaciones y 3 incógnitas A no es correcta. La tercera condición evidencia que Bsí es correcta. Las ecuaciones son lineales e es falsa. 3.La expresiónmatricialdelsistema deecuaciones delejercicio anterior es: A{ [i e)[l H D) Ninguna delas anle,io,es .:.La expresión matricial de unsistema de n incógnitas ym ecuaciones es: siendo Auna matrizdeorden mxndenominada matriz deloscoeficientes, B una matriz columna deorden m que esla matriz delos términosindependien- tes y X una matriz columna de orden nllamada matriz de las incógnitas. El sistema de ecuaciones del ejercicio anterior es { X+y+z = 6000 x-y-z=O y-2z=0 205 Sistemas de ecuaciones lineales ... 206 cuya expresión matricial es =>Es correcta la opción B. 4.Enlaexpresiónmatricialdelsistemadelejercicio2,esciertoque: A)[ ~ O )es la matriz deloscoeficientes;B)r~~ l~ l )eslamatriz de lo1-2 loscoeficientes;C)[i~1= ~6 ~ O )eslamatrizampliada;D)Ningu- na de lasanteriores. Comparando conla definicióndada en el ejercicio anterior,es evidente que correcta la opción B, y que A es falsa . •:.La matrizampliada está fomlada por lamatrizde loscoeficientesalaque se ha añadido una nueva columna alfinal,que esla matriz de lostérminos in- dependientes. =>C esuna respuesta correcta. 5.Una empresa de asesoría fiscaldispone de 3 sistemas informáticos insta] doscada unoenvariosordenadores dela empresa. Enunahora,sitrabaja ordenadorconcadasistemasimultáneamente,serealizaladeclaraciónde renta de 600 personas. Sitrabajan 2 ordenadores con elprimer sistema y2 c Capítulo 4-1 elsegundo en1 hora hacen la declaración de 800 personas. Ysitrabaja1 orde- nador conelprimer sistema y3 con eltercero?calculan la declaraciónde 700 personas enelmismo tiempo.La expresiónalgebraica de estas condiciones da lugar a:A)Unsistema linealde ecuacionesnohomogéneo;B)Unsistemano lineal;C)Un sistema linealde ecuaciones homogéneo;D)Ninguna de lasan- teriores. La situación quedescribeelenunciadoesreferentea3sistemasinformáticos que realizanunnúmerodetenninadodeDeclaraciones de la Renta en1 hora. Parece lógico elegir 3 variables, x,y,yZ que representan elnúmero de declara- cionesque haceunordenador concada sistema enestetiempo.Lascondicio- nes dadas se pueden expresar en lenguaje algebraico como: Condición Trabajando un ordenador con cada sistema si- multáneamente, se hacen 600 declaraciones Trabajando 2 ordenadores con el primer sistema Y 2 con elsegundo en 1 hora hacen 800 declara- CIOnes Trabajando 1 ordenador con el Plimer sistema y 3 con el tercero se hacen 700 declaraciones Elsistema resultante es: { x+y+z=600 x+3z=700 2x + 2 Y= 800 que es lineal y no homogéneo. ==>Sólo es correcta A. Expresión algebraica x+y+z=6oo 2x+ 2y= 800 x+ 3z= 700 207 Sistemas de ecuaciones lineales ... 208 6.EnlaexpreslOnmatricialdelasecuacionesdelejercicioanterior: A)(600700800)' es lamatriz deloscoeficientes;B)(600700800)' e la matriz de lostérminos independientes; C)(600700800)' esla matriz de lasincógnitas; D)Ninguna delasanteriores. La expresión mameial del problema anrerior es[ ~~iH)=[::) donde[ ~ 1 i)es la mamz de los eoefieienres, [ ~ 11 ~ O J OO3700esla ma- 22O800 trizampliada, (xyz)'=[;J eslamatrizdelasincógnitas ( 600) ( 600700800)' =~ ~es la matriz de los términos independientes. :=) Es correcta B. 7.Deentrelossiguientessistemasdeecuacioneslinealessonhomogéne A)XI- 3= O;X 2= O;XI+ X2+ 2X1 = -"4;B)X I=O;\ 2=O;X.l=-'"2;C) ·\ 1= X2= 2;D) Todos losanterioressonhomogéneos . •:.Un sistema de ecuaciones lineales eshomogéneo cuando todoslostérmi- nosindependientesbJ.... , b m soncero.Encaso contrariosellama nohomo- géneo. Capítulo 4-1 Portanto,comoelsistemadelaopciónA .esequivalenteaXI= 3;' X2= O; XI+ X2+ 2x3- X4= O no eshomogéneo. Tampoco loesel sistema de C:XI= 3; X2= 2. El sistema XI= O;X2= O;X3= X2esequivalente a XI= O;X2= O;X3- X2= O Y por tanto es homogéneo ~B es cierta. 8.Si(al, al, a3)essolución deunsistema de ecuaciones lineales severifica: A)Elsistema deecuaciones estáformadopor 3 ecuaciones;B)Elsistemade ecuacionestienetresincógnitas;C)Elsistemadeecuacionesparaelcualla terna dada (a!,al, a,) essolución esúnico salvo sistemas equivalentes;D)No se puede saber cuántas ecuaciones determinanelsistema. Q¡¡X¡+ Q¡2X2+ .. .+Q¡ IIXII= b¡ .:.Se llama solución del sistema Q2¡X¡+ Q22 X 2 + ... + Q211 X n= b 2 a toda n-nupla (a!,.. ., a,,)de elementos de~ ,tales que sustituidos en (XI,. . . ,xn), severifican todas lasecuaciones del sistema . •:.Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si poseen lasmismas solucio- nes. La opciónBescierta porque elnúmerodeelementosdelasolucióncoincide con el número de incógnitas del sistema. Sin embargo, no se puede determinar elnúmero de ecuaciones que forman elsistema ~D es cierta y A es falsa. La opción e es falsa,ya que puede suceder que existan varios sistemas de ecua- ciones distintos que tengan una solución común, por ejemplo la tema (2,1,3) es { 5X¡ -3X+X3= 10.{X¡-X 2 = 1 solucióndelsistema:2- Y delsIstema. Esto es X=2X=3 ¡3 porque,aunquelossistemas equivalentessonlosquetienenlasmismassolu- lOB Sistemas de ecuaciones lineales ... ciones, en este caso estamos ante 2 sistemas con infinitas soluciones cada uno, y con una solución común. Las soluciones del primer sistema son los puntos que verifican XI= 2, X3 = 3X2, es decir,las ternas que verifican(2, A,3A).Las soluciones delsegundo son las ternas que verifican XI= 1 + X2, X3 = 3, es decir, (l + Ji,Ji,3). La solución es co- mún cuando A = Ji =l . 9.Si(a"a2,a3)y(/31,f3z,/33)sonsolucionesdelsistemadeecuacione lineales allx I + a l 2 x 2 + a 13 x, = O a 21 x I + a 22 x 2 + a 23 x 3 =O siempreseverifica:A)(2a"2a2, 2a3)es solucióndelsistema;B)(al+ /3"a2 + f3z,a3 + /33)essolucióndelsistema; C)(O,O,O)essolución delsistema; D) Todaslas anteriores son falsas . •:.En elsistema anterior hay m ecuaciones y3 incógnitas, X" X2, X3. Lassolu- ciones sonternas denúmeros tales que alsustituirlas por (x" X2, X3) convierten en identidades todas las ecuaciones del sistema. Si enlugarde(x" X2,X3)se pone(2al '2az,2a3)ydenotamos Alamatrizde coeficientes resulta: :::::}Aes cierta. ¿ Es (al + /31,az + f3z,a3 + /33)solución? Si en lugar de (XI,X2,X3) se pone (al + /31,a2 + f3z, a3 + /33)resulta: 210 Capítulo 4-1 ~B también es cierta. ¿Es (O,O,O)solución? .:.En unsistema homogéneodenincógnitassiempre la n-upla (O,O,.. , O)es solución. ~e es cierta. 10.Deentrelossiguientessistemasdeecuacioneslinealessonequivalen- .{XI - 3x2+ x3= O tesalsIstema: A) XI+ X3= O;B) X2= O;C) 2x 1 - 6x 2 + 2x3 = O; x 2 =0 2x 2 = O;D) XI- a2 + X3= O;X2= O;E) XI- a2 + X]= O;X2= O;XI- 3X2 + X3= o. ¿El sistema XI+ X3 = O es equivalente al sistema dado? Sifueranequivalentestendríanlasmismassoluciones,esdecir,todasolución delprimersistemaseríasolucióndelsegundoyviceversa.Estonoescierto porque la tema (1,2, -1) essolucióndelprimer sistema pero nodelsegundo. ~A es falsa. ¿El sistema X2 = O es equivalente al sistema dado? 'T'dI·' dI ·{XI - 3x 2 + x 3 = Ol· ,dI ·O · 1.0asoUClOnesIstemaesso UCIonesIstemaX2= X 2 = O pero esto no sucede al revés. ~B es falsa. 211 Sistemas de ecuaciones lineales ... ¿El sistema 2x 1 - 6 X2+ 2x3 = O;2x 2 = O es equivalente al sistema dado ? Las ecuaciones son las mismas pero están multiplicadas por la constante 2. ~e es cierta. ¿El sistema XI- 2x 2 + X3= O;X2= O es equivalente al sistema dado? / Sí, porque la primera ecuación de XI- 2x 2 + X3= O;X2= O essuma de las ecuacio- nesdel sistema original, y la segunda ecuación es la misma. ~O es cierta. ¿El sistema XI- 2x 2 + X3= O; X2= O;XI- 3X2 + X3 = O es equivalente al sistema dado? 212 XI- 3X2 + X3= O;X2= O; XI- 2x 2 + X3 = O es equivalente alsistema original, ya que si se cumplen las dos primeras sobra XI- 2x 2 + X3= O,que es la suma de las 2 anteriores. ~E es cierta. 11.Si elsistema de ecuaciones 3xI+ X1+ X,= 2; XI- 2x 1 + Xl =1;3xI- Xl- Xl = 1 6xI -X1 + x ,= 3 esla expresión analítica de una aplicaciónlineal!:V ~W,en- tonces: A)Ves unespacio vectorial de dimensión 4; B)Wes unespacio vecto- rialdedimensión3;C)VY Wtienenlamismadimensión;O)Ningunadel anteriores . •:.El sistema AX = Bde mecuacionesy nincógnitas esla expresiónanalíti de una aplicación lineal! : V ~W,siendo V un espacio vectorial de dimensiÓD n yWunespacio vectorial de dimensión m. Si expresamos elsistema de ecuaciones en forma matricial resulta: 3 x¡ +X 2 + x 3 =2311 [ ~ J 2 x¡ -2x 2 +x 3 =11-211 3x¡- x 2 - x 3 =13-1-11 6 x¡ - x 2 + x 3 =36-113 Capítulo 4-1 Luego Ves unespacio vectorial de dimensión 3 y W esunespacio vectorial de dimensión 4 ~D es cierta . •:.Cada columna dela matriz Aeslaimagendeunvectorde!lna basedeV, expresada enuna base deW.Está claro que cada base deV tiene 3 vectores(3 columnas),luegosudimensión es3, y loselementos deWtienen4 coordena- das,es decir, sudimensión es4. 12.Si la aplicación linealf: 1R 3 -71R2 está definida en las bases canónicas por f (XI,X2,X3)= (2x 1 + X2- X3,XI+ X3),entonces el original delvector (1,1): A) Es único;B) No esúnico;C) No existe; D)Ninguna delasanteriores. ¿Expresión defmediante un sistema de ecuaciones lineales? ¿ Expresión matricial del sistema anterior? ¿Original de(1 ,1) ? Eselconjuntodevectores(XI,X2,X3)cuyaimagenes(1,1),esdecir,son { 2X I +X2-x 3 = 1 lassolucionesdelsistema,.Unsistemaequivalentees XI+x 3 = 1 { 2X¡ + X2= l+x 3 _. En este sistema se ve claro que para cada valor de X3 hay un x¡-1- x 3 valor diferente de XIY de X2.La solución no es única porque (1, -1, O)Y (4,2,1) tienen como imagen (1,1) ~La opción correcta es B. 213 - Sistemas de ecuaciones lineales... •:.Si f:v ~Weslaaplicaciónlinealdefinidapor elsistema deecuaciones AX = Y entonces,elconjuntodesolucionesdelsistema AX = Beselconjunto de los originales delvector BEW vía la aplicación lineal f 13.El núcleo de la aplicación lineal f:1R 3 ~1R 3 ,definida en lasbases canó- nicas,por f (XI,X2,X3)= (X2 - 3X3,XI+ X3,XI)es: A){(O,0, O)};B) Un subespa- cio de dimensión1;C) Unsubespacio de dimensión 2. ¿ Expresión de la aplicación lineal como un sistema de ecuaciones lineales ? 214 X 2 -3x 3 = Y I +x 3 = Y 2 =Y 3 .:.Si f:V ~Wesla aplicaciónlinealdefinidapor elsistema deecuaciones AX = Y entonces,elNuc (j) de la aplicaciónlinealf eselconjunto desolucio- nes delsistema homogéneo AX = O. Losvectoresque formanelnúcleodela aplicación lineal fsonlassolucion del sistema homogéneo: =>Es cierta A. La única solución es(0, 0, O). X2-3x3= ° +X 3 =0 =0 Como Dim {(0, 0, O)}= °=>B Y C con falsas. Capítulo 4-1 14.Elnúcleo de la aplicación linealf: 1R 3 ~1R 2 ,definida enlas basescanó- nicas, por f(XI.X2,X3)=(2x)+ X2- X},x)- 2x 2 + X3)es: A){(O, O, O)};B) Unsu- bespacio de dimensión1;C) Un subespacio de dimensión 2. ¿ Expresión dela aplicación lineal mediante un sistema deecuaciones lineales ? ¿Cuál es Nuc (j) ? Nuc(j)= {(x ), X2,X3) If (x ), X2 ,X3) = (O, O)},esdecir, eselconjunto desolu- { 2X+x-x= O ciones delsistema homogéneo)23_• x)-2x 2 +x 3 - O ¿ Ecuaciones paramétricas del núcleo? Los valores de X2y X3dependen del valor de XI.y unas ecuaciones paramétricas delsistema son: =>Nuc (j) = {(A,3A, 5A)I A EIR}= (0, 3, 5»y sólo es cierta la opción B, por- que las3 soluciones d e p ~ n d e nsólo de unparámetro. ZU¡ Sistemas de ecuaciones lineales ... 15.Sea AX= Bunsistemadeecuacioneslinealesy(l,2,3)unasolución particular de dichosistema.Sielconjunto de solucionesdelsistemahomogé- neo asociado AX = O es{(2A,A,O)I A EIR},es cierto que essolución delsiste- ma AX = B:A)(l, O,3);B)(5,4,3); C) (l, 2,4);D)Ninguna de las anteriores . •:.Dada una solución particular deunsistema no homogéneo y lassoluciones delsistema homogéneo asociado,se verifica que el conjunto desoluciones del sistema no homogéneo es igual alconjunto de soluciones del sistema homogé- neoasociado másuna solución particular del nohomogéneo. Por tanto,elconjuntodesolucionesdelsistema AX= Besigualalconjunto LaopciónCesfalsaporquetodaslassolucionesdelsistemanohomogéneo cumplen que x) = 3 Y en(1,2,4), es x) = 4. ¿Es(1, O, 3) solución del sistema? Paraversi(1,O,3)essolucióndelsistemaAX= B,bastacomprobari existeunvalordeA paraelque(1,O,3)= (2A+1,A +2,3).Tenemo { I =2A+I 2A=0 O= A + 2~{, como A nopuede ser simultáneamente O y 2,entone A=-2 3=3 (1, O, 3)noessolución del sistema ~A es falsa. ¿Es(5, 4, 3) solución del sistema? 216 Comoenelcasoanterior,tenemosqueversiexistevalordeA paraelque (5,4,3) = (2A + I, A + 2, 3). Obtenemos elsistema { 5 =2A+ I 4= 2A 4=A+2~ {~ A = 2 . 2=A 3=3 =w>B es cierta. Capítulo 4-2 Ejercicios relativos a: Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales .:.El Teorema de Rouché-Frobeniuspara clasificar sistemas de ecuaciones li- neales se puede expresar mediante el organigrama siguiente: Sea AX = Bunsistema de necuaciones con mincógnitas.Denotaremos AIB la matriz Aampliada con la columna B. Sistemas de ecuaciones lineales AX=B SISTEMA COMPATIBLE SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO NOSISTEMA ~ - - - - INCOMPATIBLE SÍ SISTEMA COMPATIDLE DETERMINADO 111 Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales 1.Elsistemadeecuaciones2.x+ 3y- z =2;x+ 2z=O;5x+ 4y=O es: A)Compatible determinado;B)Incompatible;C)Compatible indeterminado; D) Ninguna de las anteriores. Para clasificar un sistema de ecuaciones seguiremos el esquema anterior. ¿ Cuál es la expresión matricial del sistema? [ 23 La matriz de coeficientes esA =1O 54 -lJ yla matriz de los términos inde- [ 2J[23 -12) pendientesesB =O.Lamatrizampliada,1O2O, esla matriz de O54OO los coeficientes junto con la matriz de los términos independientes. [ 23 El sistema a clasificar es1O 54 ¿Es el Rango de A = Rango de AIB? 23-1 IAI=1O2 54O Como AIBsólo tiene3filas,elmáximo rangoquepuedetener es3.Además este rangoes3,porqueunmenorsuyo(elcorrespondientealamatriz A) distinto de O rg (A)=rg (AIB)= 3por elteorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible Bes falsa. ¿ Es el Rango de A= Número deincógnitas? El número de incógnitas es 3 El sistema es compatible determinado A cierta yCes falsa. Capítulo 4-2 2.Elsistema 2x,+ 3X2- x]- X4= 3; x,- X2+ 5X3= 5;3x,+ 2x 2 + 4x] - X4= O verifica:A)Esincompatible;B)Esnohomogéneo;C)Tieneunaúnicasolu- ción; D) Tiene infinitas soluciones. ¿Expresión matricial del sistema? :::::?LaopciónBescierta porqueelvector delostérminosindependientesno está formadosólo por ceros. ¿Es el Rango de A= Rango de AIB? ( 2 3 -1-1J(2 rg1-15O=2Yrg1 324-13 ~ 1~ 1~ 1~ J = 3 . 24-1O Elrango dela primera matriz es2,porque cualquier submatriz deorden3 tiene determinante igual a O,lo que se comprueba fácilmente y hay menores de orden 2 no nulos. El rango de la segunda matriz es 3 porque la subm.triz(!~ l~J tiene determinante distinto de O. :::::?No existe solución para el sistema, por tanto es incompatible y A es cierta. 3.El sistema 3x,+X2 - 2x3 +X4 = 2; x,- 2x 2 - 3X3-X4 = 3;x, +X2 - 2x3-X4= 2: A)Escompatible;B)Esincompatible;C)Tieneunaúnicasolución; D) Tiene infinitassoluciones. 11J Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales ¿Matriz decoeficientes? ( 31-21 J A =1-2-3-1 . 11-2-1 ¿Es el Rango de A= Rango de AIB? La matriz de los términos independientesB ~( ~J, obsérvese que es elvector opuestoalformadoporlaterceracolumnadelamatrizA,luego rg (A)= rg (AIB). =>El sistema es compatible, es decir, tiene solución, y la opción A es correcta ¿ Es el Rango de A= Número deincógnitas? 31-2 1-2-3* O => rg (A) = rg (AIB) = 3. 11-2 El número de incógnitas es 4 y por tanto rg (A) = rg (AIB) = 3 < 4 => El sistema compatible indeterminado, es decir, con infinitas soluciones y Des cierta. 4.Consideramoselsistemahomogéneoasociadoalsistemadeecuacion delejercicio anterior y la ecuación 4x) + 5X2 + x) - 3X4 = O.Entonces, elsiste deecuacionesresultantees:A)Homogéneo;B)Incompatible;C)Tiene única solución; D) Tiene alguna solución distinta de la trivial. ¿ Es homogéneo? El sistema de ecuaciones considerado es: 220 3x¡ +X 2 -2x) +X 4 =0 x ¡-2x 2 -3x) -X 4 =0 X¡+X 2 -2x) -X 4 = o 4x¡ +5x 2 +X) -3x 4 =0 Capítulo 4-2 TodoslostérminosindependientessonO =>Esunsistema homogéneo y A es cierta. La opción B es falsa porque: .:.Todos los sistemas homogéneos son compatibles ya que la n-upla (siendon el número de incógnitas) formada por ceros es solución y se llama solución tri- vial. Elrangodela nuevamatriz decoeficientesesmayor oigualque3,ya que se forma añadiendo una fila a la matriz estudiada en el ejercicio anterior, cu- yo rango es3.En este caso observamos que: 31-21 rg (A) = rg 1-2-3-1 =4. 11-2-1 451-3 Por tanto el sistema escompatible determinado, sólo tiene una solución y es la solución trivial =>C es cierta. 5.Elsistema 2y - z = a;3x - 2z =11; Y + Z = 6;2x + Y - 4z = aes compatible para: A)a = 2;B) a 7:2;C) a = 6;D) Cualquier valor de a . •:.La condición necesaria y suficiente para que un sistema AX = Bsea compati- ble es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada por la columna de términosindependientes, esdecir,rg(A) = rg(AIB) . 221 Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales ¿ Matriz ampliada? 222 O2-1a 3O-211 O116 21-4a El sistema dado tiene 4ecuaciones y3incógnitas;además el parámetro asólo aparece en la columna de los términos independientes ypor tantosóloinfluye en la matriz ampliada. El rango de la matriz de los coeficientes es 3 porque el primer menor de orden 3 O2-1 (formado por las tres columnas y tres filasprimeras) vale3O-2= -9:;; O . O11 No puede tener un rango mayor, porque sólo tiene 3 columnas. Entonces,para queelsistemasea compatibledebeserrg(A)= rg(AIB)= 3. O2-1a 3O-211 Para querg O116 = 3, det (AlE) = O. 21-4a O2-1a 2-1a2-1a Comodet (AlE) = 3O-211 6-2=-3 11O-211=-12+2a. O116 1-4a116 21-4a debe ser a = 6 para que rg (A) = rg (AIB) =3 ~Sólo C es cierta. Capítulo 4-2 6.Para que el sistemaax+y+z= l;x+ay+z= l;x+y+az= 1 tenga una úni- ca solución debe ser: A) a:;t 1;B)a:;t-2;C)a:;t 1 óa:;t-2;D)a:;t 1 ya:;t-2 . •:.Un sistema de ecuaciones AX = Btiene una única solución cuando el siste- ma es compatible determinado. Por tanto,hay que buscar los valores de apara los que se cumple: 1.rg (A) = rg(AIB)(sistema compatible) 2.rg(A) = rg(AIB) = 3 (sistema compatible determinado) En nuestro caso,lasdos condicionesanterioresson equivalentes ala condición: a11 a11 1a1:;t O. 11a 1a1= a 3 + 1+ l-a-a-a = a 3 - 3a+2 = (a-l?(a+2). 11a EldeterminantedelamatrizdeloscoeficientesesdistintodeO sia:;t1Y a:;t -2. En este caso, tenemos rg(A) = rg (AIB) = 3 = Número de incógnitas => D es cierta. 7.Paraqueelsistemadelejercicioanteriornotengasolucióndebeser: A) a :;t1; B) a :;t-2; C) a = -2; D) a:;t 1 Y a :;t -2 . •:.Un sistema de ecuaciones AX = Bno tiene solución cuando el sistema es in- compatible, es decir,si rg (A) :;t rg (AIB). ¿Cuándo es rg (A):;t rg(AIB) ? Según los valores del parámetro a,puede ser: 223 Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales 1.rg(A) = 1 Y rg(A lB) = 2 2.rg (A) = 1 Y rg (AIB) = 3 3.rg(A) = 2 Y rg(A lB)= 2 ¿ Son posibles los casos 1 y 2 ? Los casos1 y 2 no pueden suceder para ningún valor de a, ya que rg(A) = 1 si Y sólo sia =1 yen este caso, siempre rg(A) = rg(AIB) =1 porque la columna de términos independientes está formada por unos. ¿ Para qué valores de a puede suceder el caso 3 ? 224 a11 Si rg (A) = 2 entoncesIAI =1a1= O,que sucede, como hemos visto en el 11a ejercicio anterior,cuando a = -2 ó a = 1. Si a = 1,ya lo hemos analizado en el apartado anterior. [ -211 J Sia = -2,rg1-21= 2. La única posibilidad para que elsistema sea 11-2 [ -2111J incompatible es querg (AIB) = rg1-211= 3. Esto es cierto porque 11-21 elmenor obtenidoalsustituir la tercera columna por la delostérminosinde- pendientes es distinto de O: a11-211 1a1 =1-21 =(-2)(-2)+1+1+2+2-1=9. 111111 =>Si a = -2, rg (A) = 2 *- rg (AIB) = 3 Y la opción e es cierta. Capítulo 4-2 8.Paraqueelsistemadelejercicio6tengainfinitassoluciones,debeser: A) a =l; B) a :;t:-2; C) a = -2; D) a :;t:lY a :;t:-2. •:.Un sistema de ecuaciones AX = Btiene infinitas soluciones cuando es com- patible indeterminado,esdecir,cuandorg(A)= rg(AIB)< númerodeincóg- nitas. ¿Cuándo esrg(A) = rg (AIB)< n? 1.rg(A) = rg(AIB) = 1. 2.rg(A) = rg (AIB) = 2. ¿Qué valores puede tener a para que secumpla rg (A) = rg (AIB) = 1? Como ya hemos visto en el ejercicio anterior, rg (A) = 1 cuando a = 1.Elsiste- ma se reduceala ecuación x+y+Z =1 Y sussolucionesson x=a,y=f3y z=l-a-f3. ¿Qué valores puede tener a para que secumpla rg (A) = rg (AIB) = 2? Sólo es posible silA 1= O Y tiene algún menor de orden 2 distinto de O,es decir: a1 IAI=1a 11 1 1~O Y 1~~1~a'- I ~O ó1~: 1~a - 1 ~O, a Loprimerosucede,comovimosenelejercicio6,sia= -2.Esdecir,para a = -2 se tiene que rg (A) = 2, entonces falta comprobar, si para a = -2 también rg(AIB) = 2. Pero vimos en el ejercicio '7que si a = -2: -211 1-21 =(-2)(-2)+1+1+2+2-1=9:;t:0 111 225 Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales luego rg(AIB)= 3Y elsistema esincompatible ~No cumple las condiciones de sistema compatible indeterminado. Como conclusión:elsistema ax + y + Z= 1;x+ ay + z = 1;x+ y + az = 1 es compatible indeterminado siy sólo si a = 1 ~Sólo la opción A es cierta. 9.Dado el sistema 2x + 3y - z = 2;bx + ay + 2z = O;5x + 5y + Z = O, se veri- ficaque:A)Sia= 2Y b"#3elsistemaescompatibleindeterminado;B)Si b = 3 ya"# 2 el sistema es compatible determinado; C) Si a = 2 Y b = 5 elsiste- ma es incompatible; D) Ninguna de las anteriores. Este problema se puede resolver de dos formas, la primera es clasificar el siste- ma para todos los valores a, b, y la segunda, es sustituir cada uno de los valores de a,b dados y analizar el sistema obtenido en cada uno de los casos. Ésta últi- ma es la más sencilla. ¿Cómo es el sistema si a = 2 y b"# 3? El sistema obtenido es: 2x + 3y - z = 2;bx + 2y + 2z = O;5x + 5y + Z = o. El determinante de la matriz de coeficientes es: 23-1 b22= 4 - 5b + 30 + 10 - 20 - 3b = 24 - 8b 551 que es distinto de O por ser b "#3. Entonces rg(A) = rg(AIB)= 3 Y el sistema es compatible determinado ~A es falsa. ¿Cómo es el sistema si b = 3 y a"#2? El sistema obtenido es 2x + 3y - z = 2;3x + ay + 2z = O;5x + 5y + Z = O. 226 Capítulo 4-2 23-1 IAI=3a2=2a-15+30+5a-20-9=7a-14. 551 que es distinto de O por ser a:l= 2.Entonces rg(A) = rg(AIB) = 3 Y el sistema es compatible determinado =>B es cierta. ¿Cómo es el sistema si a = 2 Y b = 5? Si a = 2 Y b = 5 estamos en un caso particular de la opción A, en la cual el sis- tema es compatible determinado =>e es falsa. 10.Elsistemadelejercicioanteriorverifica:A)Puedeserindeterminado; B) Puede ser incompatible; C) Puede ser compatible determinado; D)Ninguna de las anteriores. Para resolver este problema vamosa aplicar el Teorema de Rouché-Frobenius. Siguiendo elesquema delprincipiodeestasección,hayque calcular tantoel rangode la matriz de loscoeficientes(rg (A))como eldela matrizampliada (rg (A I B))para los distintos valores de ay b. ( 2 3 -12J (A IB)=ba2O 551O Observamos que rg(A)y rg(AIB)es mayor o igual que 2 para valores cuales- quiera de ay b porque 1 3-11 51= 3 + 5 = 8:;t: O. 227 Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales ¿Cuándo es rg (A)= rg(AIB)= 2? Ocurrirá cuando todos los menores de orden 3 sean O. En la matriz A: 23-1 ba2 55 1O+7a =--- 8 En la matrizAIB: 3-12 a2O = 2a-20= 2(a-1O) = O a = 10 51O rg(AIB)=2 2-12 b2O 51O b 1O+7a Como. esimposiblequea=b=10Yque=8,nuncaes rg(A)= rg(AIB)= 2 Y el sistema no puede ser compatible indeterminado. A es falsa. ¿Cuándo es rg(A)= 2 Y rg(AIB)= 3? .1O+7a Yasabemosquerg (A) = 2SIb =Yrg (A I B) = 3cuandoa* 10 8 Esta situación sí es posible, por ejemplo, si a =1 Y b =17/8 B es cierta. 228 Capítulo 4-2 ¿Cuándo es rg(A)= 3 Y rg (AIB)= 3, es decir,es compatible determinado ? rg(A)=3sib* 1O+7ayrg(AIB)=3cuandoa*lOób*lO.Estasi- 8 tuación sí es posible, por ejemplo, si a = 1 Y b = O ~e es correcta. 11.Dadoelsistemadeecuacioneslinealesax +y+Z=a 2 ;x- y+Z=1; 3x - y - z = 1;6x - y + Z = 3a, de entrelasiguientes afirmaciones,son correc- tas: A)Si a * 2,el sistema es compatible indeterminado; B) Si a = 2 el sistema es compatible determinado;C) Elsistema essiempre incompatible;D)Ningu- na de las anteriores. ¿ Cuál es el rango de A? Se trata de unsistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas cuya matriz de a11 1-11 coeficientes esA =. El rango máximo que puede tener es 3 (sólo 3-1-1 6-11 tiene 3 columnas). Para calcularlo, consideramos el menor formado por las tres últimas filas: 1-11 3-1-1=-1-3+6+6-1+3=10 6-11 entonces, rg(A) = 3 para cualquier valor de a. ¿ Cuál es el rango de A lB? Desarrollando el determinante por la primera fila: Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales a11a 2 -1111111-11 det(A IB)= 1-111 -1-11-3-113-11=a + -1-131 -113a613a6-13a 1-1 _a 2 3-1 6-1 det (A lB) 6-113a 1 -1=-4(a-2)2 1 = O si a = 2 :::::}rg(A) = rg(A lB) = 3 = número de incógnitas :::::}Sistema compatible determinado :;éO si a:;é2 :::::}rg (A) = 3:;é rg(A lB) = 4 :::::}Sistema incompatible :::::}Sólo es cierta la opción B. - 12.Elsistema lineal homogéneo XI+ X2+ X3= O;XI- X2+ X3= O;2x1 + ax3 = escompatibleindeterminado:A)Paraa= 1;B)Paraa= 2;C)Paraa:;é.. D) En ninguno de loscasos anteriores . •:.En unsistema homogéneo elrango de la matrizdecoeficientes coinci- desiempre con el rangodela matrizampliada porque para formarésta añadeunacolumnadeceros,queesdependientedelasdemáscolumn El sistema dado tiene tres ecuaciones con tres incógnitas, se trata de calcular 1 valoresdeapara loscualesrg(A)rg(A) = rg(A lB)= 3 Y es un sistema compatible determi- nado ==>Bes cierta. C.Si a = 2 Y b = 5 ==>rg(A) = rg(AIB)= 3 ==>Cesfalsa,ya que elsistema es compatible' determinado. 16.La ecuación2x + y- z = O formaunsistema compatible indeterminado conlasecuaciones:A)2x+ 2y+ Z= 3;- Y- 2z= -3;B)z= O;C)x= 1; Y = O;D)Con cualquiera de los sistemas de las opciones A,B, C. ¿Es compatible indeterminado el sistema formado por 2x + Y - z = O; 2x + 2y + Z = 3; - y -2z=-3? \ La matriz de coeficientes es( ~~~ I J .Es fácilver que el rango al meno O-1-2 es2yque la tercera filaes la resta de la primera menosla segunda,por tanto rg(A) = 2. Si consideramos la matrizampliada( ~ 1-1 21 -1-2 ~J, la cuarta columna es -3 la suma de la segunda y tercera, por tanto rg (AIB) = 2 ==>A es cierta. ¿ Cuál es el conjunto de soluciones dela opción B? 234 El sistema Z = O; 2x + Y - z = O es equivalente al sistema z = O; 2x + Y = O y tie- necomoconjuntodesoluciones,enecuacionesparamétricas, x = Á;y= -2A.; Capítulo 4-2 z = O.Esta solución la podemos escribir como (x,y,z)= A (1,-2, O),que esel subespacio de~ 3generado por {(1, -2, O)}~B es cierta. ¿ Cuál es el conjunto--de soluciones delaopción C? El sistema y = O;x =1;2x + Y - z = O es equivalente alsistema 2 - z = O;Y = O; x =1 tiene una única solución y = O;x =1;z = 2 ~e y Dson falsas. Capítulo 4-3 Ejercicios relativos a: "Cálculo de soluciones de un sistema de ecNBclones. 1.Elsistema XI+ X2+ X)= O;XI- X2+ 2x,= 2;X2- X)= 5:A)No esdeCra- mer;B)AplicandolaregladeCramersedemuestraquenotienesolución; C) Resolviéndolopor laregla deCramer,seobtiene la solución XI= 9,X2= O, X,= -22; D) Ninguna delas anteriores es cierta. ¿Es cierto que (9, O,-22) es solución del sistema? Si en elsistema inicial sustituimos XIpor 9, X2por O y X3por -22, se comprue- ba que nose verifica ninguna de las igualdades, por tanto C es falsa . •:.Un sistema de ecuaciones se dice que es de Cramer, si 1.Tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. 2.El rango de la matriz de los coeficientes es máximo, es decir, el número de incógnitas. ¿ Es unsistema deCramer? La primera condición secumple. Para comprobar siverifica o nola condición 2, calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes: 111 1-12= 1,luego el sistema es de Cramer ~La opción A es falsa. O1-1 237 Cálculo de soluciones de un sistema de ecuaciones ¿ Cómo se obtienen las soluciones utilizando la regla deCramer? o111O111O 2-121221-12 51-1 9 O5-1 13 O15 22 x= = x= = x= =I 111 7' 2 111 7' 3 1117 1-121-121-12 O1-1O1-1O1-1 Ll· ,.(913-22). a so uClOneXIstey es-, -,-- ~Des cIerta. 777 2.La solución delsistema XI+ 5X2 + 3x, = O;XI+ X2 + 2x, = 2; XI+ X2- X3= 3. verifica; A) X3> O;B) X I ,X2.X,> 1;C) XI= 37/12; D) X2E[- 1,O]. ¿Es un sistema deCramer? Sí,elsistema es de Cramer,ya que tiene el mismo número de ecuaciones que 153 incógnitas y112= 12. 11-1 ¿ Qué tipo de sistema es? Secumplequerg(A)= rg(AIB)= 3yésteeselnúmerodeincógnitas~ compatible determinado. ¿ Cuál es la solución? Por ser un sistema de Cramer, se puede utilizar la regla que lleva sunombre y: 238 Capítulo 4-3 o531o315o 212122112 31-1 37 13-1 5 113 1 x== 12' x==-- x== -- 1 153 2 153 12'3 1533 112112112 11-111-111-1 =>Las opciones C y D son ciertas y el resto falsas. 3.El sistema XI+ 2x 2 + 3X3=1;4xI+ 5x2 + 6X3= 2; XI+ X2+ ax3 =3 noesde Cramer: A) Para a = 1; B) Para a = 1/3; C) Para a '* 1; D) Siempre es de Cramer. Para que elsistema dado sea de Cramer, el rango de la matriz de los coeficien- 123 tesdebeser3.Luegoeldeterminante456= 3 - 3adebeserdistinto 11a de O. Esto sucede para a = 1 =>La opción A es cierta y el resto son falsas. 4.Enelsistemaanterior,paraa= 3lasolución(XI>X2,X3)verifica: A) XI+ X2~X3;B) XIE[O,1], X2E1\1;C) X3~1; D) X2=-2 Por el ejercicio anterior, sia = 3 el sistema es de Cramer yla solución es: 123113121 256426452 313133113 4 X== 1,x 2 ==-2,x 3 = = - 1 1231231233 456456456 113113113 239 - Cálculo de soluciones de un sistema de ecuaciones Por consiguiente las opciones Ay Dson ciertas, pero Bes falsa ya que X2 E71., y C es falsa porque 4/3 > 1. 5.Elconjuntodesolucionesdelsistema(a+2)XI+X2 +X3 = a - 1; axl+ aX3 = a - 1;aXI+ (a- 1) X2 + X3= a - 1 verifica: A) Es vacío para a =F- -1 ; B)Siempreesvacío;C)Esunsubespaciodedimensión1paraa= 1; D) Ninguna de lasanteriores . •:.El conjunto de soluciones de unsistema de ecuaciones lineales de n incóg- nitas, cuando es distinto del vacío, esun subespacio vectorial deIR n • •:."El conjunto desoluciones esvacío"equivaleadecir que esincompatible. ¿ Cuáles son los valores de a que hacen que el sistema sea incompatible? 240 Primero determinamos lovaloresde a para los que elsistema no es compatible determinado. Luego, para estos valores, determinamos cuándo es incompatible. LamatrizdeloscoeficientesesSicalculamossuA =( a+: 2a ~ l la 1 1 ]. determinante resulta:det (A) = _a 3 + a 2 = a 2 (l - a):::::}Si a = O ó a = 1 el siste- ma no es compatible determinado. Para a = O resultarg(A)= 2;rg(AIB)= 3:el rango de la matriz ampliadano coincide conelrangodela matrizdecoeficientesyelsistema notienesolu- ción, es incompatible. Si a = 1 entonces, rg(A) = 2 = rg(AIB)y el sistema es compatible e indetermi- nado. Calculemos lassoluciones. En este caso el sistema es 3xI+ X2 + X3 = O; XI+ X3 = O;XI+ X3 = O.Las dos últi- masecuacionessoniguales,luegoelsistemaaresolveresequivalentea 3xI+ X2 + X3 =O;XI+ X3=o. En paramétricas, la solución es: Capítulo 4-3 { XI= a[XI J[1J x 2 : - 3 a + a ~x 2 =a-2. x 3 - -ax 3 -1 Elconjuntodesolucionesparaa= 1esunsubespaciodedimensión1 yes «(1,-2, -1)~C es cierta. ¿ Cuáles son los valores dea que hacen que el sistema sea compatible determinado? Por lotanto,para a -:;:.1 Y a -:;:.O,elrangode Aes3 ycomo elsistema tiene3 ecuaciones y tres incógnitas será compatible determinado. La solución única se puede calcular aplicando la Regla de Cramer: a-111 a-lOa a-la-11 _a 3 -4a 2 -5a+2-(a - 2)(a _1)2(a -2)(a-l) X= = I a 2 (1-a)aZC1- a)a 2 (1-a)a 2 a+2a-l1 aa-la aa-l1-2a 2 -4a-2(a-l) 2a-l X= '----------'- - - -2- 2 -_. 2a 2 (1-a)- a 2 (l-a)- a2(l-a) - a 2 ' a+21a-l aOa-l ~Las opciones A y B son falsas. 6.Dado el sistema de ecuaciones XI+ X2- 3X3- X4= O;2x1 + 3X2- X3+ 4X4= O; 6xI+ lOx2+ 2X3+ 18x4 = O;5xI+ 6X2- lOx3+ X4= O,elsubespacio de solucio- 241 Cálculo de soluciones de un sistema de ecuaciones nesverifica:A)Esdedimensión2;B)Estágeneradopor(8,-5,1,O) ; C) Está formado por {(O,0,0, O)};D) Ninguna de las anteriores . •:.El sistema dado es homogéneo y,por tanto, es compatible porque almenos tiene la solución trivial (O,0, 0, O). Paracomprobarsielsistematieneinfinitassoluciones .9unaúnicasolución (0, 0,0, O),calculamos el rango de la matriz de coeficientes (obsérvese que en este caso el rango de la matriz ampliada coincide con el rango de la matriz de coeficientes ). 11-3-1 23-14 LamatrizA =tiene menores de orden 2 distintos de 0, por 610218 56-101 ejemplo el formado por las dos primeras filas y dos primeras columnasI~~I= 1. Entonces, el rango de A es 2 omayor que 2. ¿ Se puede"ampliar" el menorI~~I de modo que haya algún menor de A de orden 3 distinto de O? 242 Si ampliamos elmenor con la tercera y cuarta fila y con las columnas tercera cuarta, resultan los determinantes 11-3 23-1= O; 6102 11-1 234=0; 61018 1 2 5 1 3 6 -3 -1 -10 =0; 11-1 234=0. 561 Como todos los menores de orden 3 son 0, el determinante de Atambién será O ~El rango de la matriz Aes 2 ~El sistema es compatible indeterminado. Capítulo 4-3 ¿Qué soluciones tiene el sistema dado ? .:.Debidoaqueelrangodelamatrizdeloscoeficienteses2,comomucho existen 2 filasl.i.(lousualeselegir las que contienen almenor de orden 2 dis- tinto de O que se ha encontrado) =>El sistema es equivalente a otro de 2 ecua- ciones. Como el menor distinto de O que hemos encontrado es el que considera las dos primerasfilas,elsistema dadoesequivalentealsistemaformadoporlasdos primeras ecuaciones, Si multiplicamos por 2 la primera y le restamos la segunda resulta: Si multiplicamos por 3 la primera y le restamos la segunda resulta: Paraobtener lasecuacionesparamétricasdelassoluciones,hacemosX3= a; Xl= 8a+7f3 Xl 87 X4= 13y seobtiene: x 2 =-5a-6f3x 2 -5 +13 -6 (::::) =a=>Laopción x 3 =ax 3 1O x 4 = 13 x 4 O1 A es cierta,el subespacio de soluciones tiene dimensión 2 y está generado por losvectores (8, -5, 1, O)Y (7, -6, O,1). 7.Si se considera la aplicación linealf: [R3 --?[R4definida en las bases canónicas por:f(l, 0,1) = (2,5,1, 0);f(0, 1, O)= (2, O,O,3);f(3, O,O)= (1, 0,1,1), en ton- 243 - Cálculo de soluciones de un sistema de ecuaciones ces: A) La dimensión del núcleo es 2; B) Las ecuaciones del núcleo son XI= Á; X2 = O;X}= O;C) La dimensión de la imagen es 2;D) Ninguna de las anteriores es cierta. ¿ Forma matricial la aplicación lineal f? 244 .:.Las columnas de la matriz asociada af con las bases dadas son las imágenes de los vectores de la base de 1R 3 expresada respecto a la base de 1R4. Sean{el' e 2 , e 3 } y{u l , u 2 ' u 3 ' u 4 } lasbasescanónicasde1R 3 y1R4respectiva- mente. { f( el+ e 3 ) = 2U I + 5u 2 + u 3 Entoncesf(+ _ f(3e l )-u l +u 3 +u 4 Sidenotamos (Xl.X2,X3)e(y¡, Y2,Y 3,Y4)alas coordenadas en 1R 3 y1R4 respecti- vamente, las ecuaciones matriciales de la aplicaciónf son: 1/3 O 1/3 1/3 Capítulo 4-3 Si desarrollamos la expresión matricial, resulta el sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas (x" XZ, X3) que define la aplicación linealf. ¿ Cuál es la dimensión delaimagen de 1? El rango de la matriz de coeficientes (rango dej) es 3 (se determina fácilmente, eligiendolasubmatrizcuadradaformadapor lastresprimerasfilasyviendo que sudeterminante es distinto de O).Por tanto,la dimensión de la imagen es 3 ~C es falsa. ¿ Cuáles son las ecuaciones del núcleo de f? .:.El Núcleo de1: 1R 3 ~1R 4 está formado por los vectores de 1R 3 cuya imagen es (0,0,0,0) . 1/32 OO 1/3O 1/33 : ~ :l::J= ~ -1/33O ¿ Qué soluciones tieneel sistema anterior? Como rg(A)= rg(AIB)= 3~Solución única.Sabemos que (O,O,O)siempre es solución de cualquier sistema homogéneo, por tanto (O,O,O)es la única solución. ~Ay Bson falsas,O es cierta. 8.LasolucióndelsistemaXI+2i z +3x,=1;5xI+2xz+4x,= 2; 7xI+ Xz+5x, =3;6xI- Xz+ 2x, =2verifica que: A)l5x,=7; B) XI,X2,X,>1; C) X2< XI,XIE[O,1];O) No existe. ¿ Se puede eliminar alguna ecuación sin que varíen las soluciones ? Si sumamos la última ecuación y la primera se obtiene la tercera, 7xI + X2 + 5X3 = 3, por tanto el sistema dado es equivalente a: 245 - Cálculo de soluciones de un sistema de ecuaciones ¿ El sistema obtenido es deCramer? Para comprobar sielsistema es deCramer o no, se calcula el determinante de 123 la matriz decoeficientes.524= -15,por ser distintodeO elsistema es 715 de Cramer y tiene una única solución. ¿ Cuál es lasolución del sistema? 123113121 224524522 315 2 735 -4 713 7 x= =x= = 15' x= 1 -1515 ' 2 -15 3 -1515 ~Las opciones A y C son ciertas. 9.ElsistemadeecuacioneslinealesXI+2x 2 +XJ = 2;3xI+2x 2 = 3: 4xI+ X2 + 2x3 = 4; 2x 1 - XJ= 1 es talque: A)No se puede resolver por elméto- dodeGauss;B)Notienesolución;C)Tieneinfinitassolucione. D) XI= 9/13; X2 = 6/13; XJ= 5/13 esuna solución . •:.El método de Gausssirvepara resolver sistemas de Cramer o sistemas que se pueden transformar en este tipo. ¿ Se puede reducir el número de ecuaciones transformando el sistema en otro equiva- lente ? 246 El sistema dado tiene cuatro ecuaciones y tres incógnitas.Se observa que la úl- tima ecuación 2x 1 - X3= 1 se obtiene restando a la segunda ecuación la primera Capítulo 4-3 Por lotantoelsistema dado es equivalente alque resulta deeliminar la última ecuación, es decir alsistema: x,+ 2x 2 + X3 = 2;3x,+ 2x 2 = 3; 4x,+ X2 + 2x3 = 4. ¿Es deCramer el sistema obtenido? 121 det(A)=32O =4+3-8-12=-13:t:0=>elsistemaesdeCramery 412 tiene una única solución => A es cierta, B y C son falsas. Aplicación del método de Gauss: .:.ElmétododeGaussconsisteenreducir,mediantetransformacionesele- mentalesenlasfilas,lamatriz(AIB)alamatriz(VlC)siendoUunamatriz triangular superior, elsistema obtenido esequivalente al dado yse resuelve por retro-sustitución. ¿Cuál es la matriz (VlC) ? [1212J[1 2 3203~ O--4 412441 ~ [ ~ 2 1 2 J --4 1 ; ; 4 ~ : 4. O Siendo las transformaciones: (1): (Z): (3) : F;-'; F;- 3F; F3 -'; F3 - 4F; 7 F3 -'; F3 -¡F; 247 Cálculo de soluciones de un sistema de ecuaciones 248 De esta forma el sistema inicial es equivalente alsistema XI+2x 2 +X 3 =2 --4x 2 - 3x 3 =-3 135 -x=- 434 Resolviendo por retro-sustitución resulta: XI= 9/13; X2= 6/13; X3 = 5/13. ~D es cierta . •:.Laretro-sustituciónpermiteobtenerelvalordeX3enlaúltimaecuación, sustituirlo en la penúltima yobtener elvalor de X2,sustituir losvaloresde X3y X2en la primera yobtener elvalor de XI. 10.Siseresuelveelsistemadeecuacioneslineales2xI+ X2+3Xl= 2: 3xI+ 2X2+ Xl= 1;XI+ Xl= 1 mediante elmétodo deGauss:A)Lasolución e XI= 1/2; X2= 1/2; X3= 1/2; B)No tiene solución;C) Tiene infinitas solucione. D)Ninguna de las anteriores. El sistema dado es de Cramer porque el determinante de la matriz de coeficien- tes es distinto de O.Entonces, se puede aplicar el método de Gauss ylas opcio- nes B y C son falsas . •:.Mediante transformaciones elementales en las filas,la matriz (AIB) se trans- forma enla matriz (VlC) siendoU una matriz triangular superior. 1 1/2 -1/2 32J -7/2 -4/ 2 -1/2 O Capítulo 4-3 Siendo las transformaciones: CD: (Z): (3) : 3 F 2 F 2 --F'¡ 2 1 F3 F3 -2F'¡ Resolviendoporretro-sustituciónelsistemaUX= e seobtienelasolución (1/2, -1/2, 1/2) Y sólo es cierta la opción D. 11.Enelejercicio 5delprimer apartado,siseutilizan2ordenadorescon elsegundosistema,durante1hora,sehacelaDeclaracióndelaRentade: A)300personas;B)500 personas;C)400 personas;D)Ningunadelasan- teriores. Hay que resolver elsistema { x +y+z =600 x+3z = 700 2x +2y= 800 Lovamosahacer medianteelmétodo de Gauss,partiendodela matrizam- pliada: 1 1600J O3700 20800 ")-2" J -I F 3 OO-2-400OO 1600J 2100 1 200 El sistema queda: 249 Cálculo de soluciones de un sistema de ecuaciones 250 { X+y +Z= 600{ X+y +200 = 600{X +y = 400{ X= 100 - y +2z = 100 =>- y +2 ·200 = 100 =>Y =300 =>Y = 300 z = 200z = 200z = 200z = 200 donde hemos aplicado retro-sustitución. Con 2 ordenadores con el segundo sis- tema se hacen 2 . 300 = 600 declaraciones durante1 hora. =>Es correcta D y el resto son falsas. Capítulo 4-4 Ejercicios relativos a: l.ElmétododefactorizaciónLV seempleapara resolversistemasdeecua- ciones:A)De cualquier tipo;B)Talesquelamatriz decoeficientes escuadra- da;C) Compatibles determinadosde n ecuacionesy nincógnitas;D)Ninguna de lasanteriores . •:.ResolucióndesistemasdeecuacioneslinealesmediantefactorizaciónLV: Dado unsistema AX = B (Ade orden n) se calcula la matriz triangular superior Vy la matriz L, que hacen A = LV. Utilizando la matriz L, se transforma la ma- triz de términos independientes B en la matrize, efectuando losmismos cam- bios que permitieron transformar AenU. El método de factorización LV transforma elsistema dado AX = B en uno equi- valentedelaformaUX = e,elcualseresuelvefácilmenteporretro-sustitu- ción. Portanto,elsistemadebeser compatibley,porserlamatrizdecoeficientes cuadrada, determinado. Entonces,la única opción correcta es Cya que lasanterioresnoson condicio- nessuficientes(quenospermitan asegurar)para que elsistema deecuaciones lineales se resuelva mediante el método de factorizaciónLV. .2.ElmétododefactorizaciónLV esespecialmenteútilpara:A)Programar unalgoritmoderesolucióndeecuaciones;B)Resolver sistemasconpocasin- cógnitas;C)Resolversistemasconlamismamatrizdeloscoeficientesydis- tintostérminos independientes; D)Ninguna delasanteriores. l!H Factorización LU 161 .:.Mediante elmétodo de factorización LU se transforma la matriz Aen otra matrizUmediantetransformacioneselementales,ylainformacióndeesta transformacionesseguarda enla matrizL.Por eso, esútilsiqueremosbus- car algoritmosprogramables,especialmente para sistemasdemuchasincóg- nitas. La respuesta Aes cierta y B esfalsa . •:.Conociendo la matriz L de unsistema de ecuaciones lineales, se transforma fácilmente la columna de lostérminos independientes. Por esto,sihemosresueltounsistemamediantelafactorizaciónLU, resolver otro con distintos términos independientes esinmediato ~C es correcta. 3.Sise resuelve elsistema 2x + Y + 3z= 2;Sx - z = 1;3y + 2z= S mediante el método de factorizaciónLU, entoncesuna matrizU es: A)[ ~_SI/ 2- ~7J1. OO-41/S nores . -S/2 o 3 J[210 -17/2;C)1-S/2 -41/S3-17/2 ~J; D)Ningunadelasante- -41/S •:.Elmétodo de factorización LU consiste en la creación de una matriz, llama- da matriz L,que contiene informaciónsobre lastransformaciones que esnece- sariorealizarenAparaconvertirlaenunamatriztriangularsuperiorU,para poder,mediante esainformación,resolver elsistema por elmétododeGau Paraaplicar elmétododefactorizaciónLU convertimos, mediantetransfor- maciones en las filas,la matriz de coeficientes enuna matriz triangular supe- rior: Capítulo 4-4 1 1 1 o-5/2-5/2 33o-41/5 donde: CD: 5 F,F, --F; - - 2 2 F3 +3-F, - 5- => La respuesta correcta esB. Como la matrizV debe ser triangular superior, la opción C se podría haber de- sechado previamente. 4.Siseaplica elmétodo de factorizaciónLV alproblema anterior,la matriz L, que se obtiene mediante transformaciones elementales, verifica: A)Su terce- rafilaes(O6/51);B)Susegundafilaes(5/21O);C)Esunamatriz triangular superior; D) Ninguna de las anteriores . •:.LamatrizLsecreaapartirdelamatrizidentidad/yseobtienedelasi- guiente forma:En el proceso deobtención dela matriz triangular superior U,a partir dela matrizdecoeficientes A= (aij ), por cadatransformación elemental que suponga la sustitución de lafila i por su suma con lafilaj multiplicada por ex,enlamatrizunidad /secambia el ceroqueocupalaposición (i,j) por -a Para obtener Ltenemos que trasladar a la matriz identidad /los cambios indu- cidos por las transformaciones: Transformación1:F 2 F 2 - F;.Cambio inducido:el cero de la segunda fi- 2 la,columna1, se sustituye por 5/2. 253 Factorización LV 254 Transformación2:F;--7F3 + 3 ~F 2 •Cambio inducido:elcero de la tercera fi- 5 la, columna 2,se sustituye por --6/5. Se obtiene [ 1 O 0J[1O 0J[ 1 1=O1O~5/210-:5/2 OO1OO1O o 1 --6/5 Comparando conlasrespuesta,observamosquesóloescorrecta laopciónB. 5.Sise aplica elmétodo de factorización LV alproblema anterior,la colum- nadelostérminosindependientessetransformaen:A)(2661/5)';B)Es única; C)(2-4115)';D)Ninguna de lasanteriores. Para determinar losnuevostérminosindependientes, tenemosqueestudiar las transformaciones efectuadas, que son: CD: (Z) : Acontinuación,hacemoslasmismastransformacionesenlamatrizcolumna de los términos independientes B y se transforma en la matriz C. =>Es correcta C. Además, se obtiene de forma única multiplicando a la matriz columna B por e l =>B también es correcta. Capítulo 4-4 6.La solucióndelproblema 3 verifica:A)Es x = 8/41; Y = 69/41;z = -1/41; B) Es única;C) No se puede calcular; D)Ninguna de las anteriores. En primer lugar,elsistema dadotienesoluciónporquela matrizdeloscoefi- cientesescuadradayelrangodedichamatrizes3.Portanto,elsistemaes compatible determinado ytiene unúnica solución =>B es cierta. Apartir delosresultadosobtenidos enlos ejerciciosanteriores, para terminar se resuelve elsistema equivalenteUX = e, esdecir, el sistema .-517-411 [ 213 J[ XJ[2J O-5/2-17/2Y=-42 x +y +3z =2;T Y -Tz =-4;5 z =S· OO-41/5z1/5 Resolviendo por retro-sustitución resulta: x = 8/41; Y = 69/41; z = -1/41. =>A es correcta. 7.Lasolucióndelsistema2x + Y + 3z= 1;5x- z= 1;3y+ 2z= 1:A)Es x = 9/41;Y = 11/41;z = 4/41;B)Esx = 9/41;Y = 11/41;z = -4/41;C)Es x = 11/41; Y = 9/41;z = 4/41; D) Ninguna delasanteriores. Observamosqueestesistema eselmismoqueelproblema 2,exceptoenlos términos independientes. Como tenemos la descomposición LV de la matriz A, podemosutilizar esta información y transformar la matriz columna delostér- minos independientes yresolver por retro-sustitución. Las transformaciones son: CD: (2) : 5 F2~F;-2F..· 2 F3 ~F3 +3-F 2 • 5 155 sr Factorización LV 256 Hacemos estas mismas transformaciones en la matriz columna de los términos independientes B yse transforma en la matriz C. Ahora,paraterminar,seresuelveelsistemaequivalenteUX= e,esdecir,el sistema: _51/2z= OO-41/5z-4/5 3414 =-_.--Z=-- 2'55· Resolviendo por retro-sustitución resulta:x = 9/41; Y = 11/41;z = 4/41Y A es la única opción correcta. 8.SeaelsistemadeecuacioneslinealesAX BsiendoSi L :J eslamatrizL asociadaalsistema AX B medianteelmé- tododefactorizaciónLV entonces,lamatrizdelostérminosindependien- tesse enA)e {} B)e C)e O)Ninguna delasanteriores. Capítulo 4-4 .:.La información sobre las transformaciones elementales efectuadas en Apa- ra obtener la matriz triangular superior V se guardan en la matriz L. Si se aplica el método de factorización LV al sistema dado, la matriz de los tér- minosindependientesBsetransformaenlamatrize efectuandolosmismos cambios que permitieron transformar A en V. La información gu",dada en la matrizL = Jindica que se han efec- tuado los cambios siguientes: (O:El coeficiente -2 está asociadoalelemento(2,1) einduce en Belcambio: F 2 F 2 + 2Fl . Por umto resulrn B = [ J CZJ:El coeficiente 3 está asociado al elemento (3,1) e induce en B el cambio: F3 Q:):Elcoeficiente5estáasociadoalelemento(3,2)einduceen Belcambio: F3 F 3 - 5F 2 Por tanto resulta [J. -1-26 ==>La opción correcta es C. 257 « Factorización LV 258 9.Enelproblema anterior,para pasar de la matriz Aa lamatrizU:A)se han tenidoquehacer4transformacioneselementales;B)Lamatrizco- rrespondientealaprimeratransformaciónelementales[ ~~~ l ; OO1 C)Lamatrizcorrespondientealasegundatransformaciónelementales [ ~~~ l ;D)Lamatrizcorrespondientealaterceratransformación 3O1 .:.Se puede pasar de la matriz A a la matrizU mediante transformaciones ele- mentalesensusfilasquesupongansólosustituciónentreellas. Sisehacenn transformacioneselementales,entoncesEnE II _ I •••E 2 ElA= U,siendoEjla matriz correspondiente a la transformación elementali-ésima.Esto equivale a Como,enestecaso,L = [ ~ 2~~ l' ylastransformacionesson 351 F 2 ~F 2 + 2F I ,F3 ~F3 + F¡,F3 ~F3 - 5F 2 ,se hacen 3 transformaciones ele- mentales. A es falsa.Las matrices elementales correspondientes son: Capítulo 4-4 ( 1 o0J F 2 -7 F;+ 2F;-7 El =21O . oo1 ( 1 o0J F3 -7 F3 - 3F;-7 E 2 =o1O . -3o1 ~Son correctas las opciones By D. 10.Ensistemasinestables:A)Sepuedenproducirporerrorderedondeo; B)Unavariaciónpequeña enloscoeficientesproduceunapequeña variación enlosresultados;C)Unavariaciónpequeñaenloscoeficientesproduceuna gran variación en los resultados; O) Ninguna de lasanteriores . •:.Lossistemasmalcondicionadosoinestablessonsistemasdeecuaciones donde una pequeña variación de los coeficientes produce una variación grande de losresultados.Esto seproduce,principalmente, porque se arrastra un error de redondeo que ocasiona estas grandes variaciones. ~AY e son correctas. H 5 PRODUCTO ,ESCALAR DE VECTORES Y ESPACIO EUCLíDEO Ejercicios relativos a: í :1 íi l.Se define la operaciónx. y =Xl Ay ,siendox,yvectores de[R2 (expresa- doscomocolumna)yA= ( :;) unamatrizreal,cuadradaysimétricade ordendos,talquea>O Y e>O.Entonceslaoperacióndefinidaverifica: A) Es conmutativa; B)(AX). Y =A.(x. y), siendo Aunnúmero realcualquiera; C)(X +.v) • v =X • V + Y • v; D)x. x > O siX:;é5 yx. x =O six =5 . ¿Esx. y = y. x? Primer miembro: 2S1 Definición, propiedades y expresión matricial... 262 Segundo miembro: y.x Y'AX (y"y,{:! +by,x, +by,x, +cy,x, . =>La opción A es cierta porque los dosmiembros son iguales. Primer miembro: CM) . Y (.u".u,{:!)(;} Aax,y, + Ahx,y, + Ahx,y, + Acx,y,. Segundo miembro: A.( j' •y) A.( (x" xt!)(;:J JAaX,y, + Ahx, y, + Ahx,y, + Acy ,x,. =>La opción B es cierta porque los dos miembros son iguales. Primer miembro: (x + y) . ¡¡ (x,+ Y, ,x, + y,{:!X::J a(x, + y,)v, + b(x, + y,)v, + +b(x) +y))v 2 +c(x 2 +Y2)V 2 . Segundo miembro: x. ¡¡ +Y·(X"x, {:l:}(y"y,{:!t} ax,v, +bx, v,+bx,v, + +CX 2 V 2 +ay)v) +by)v 2 +bY2V)+CY2V2' => La opción e es cierta porque los dos miembrosson iguales. Capítulo 5-1 ¿ Esx. x = o six = o ? Primer miembro:O. O= (O,O{:~ ) (~ )= aO+2bO+eO = o. ¿ Esx. x > Osix:;t: O? Esta expresión nosiempre espositiva porque2bx 2 x¡puede ser negativoy de valor absoluto mayor quea x ~+ ex; . =>La opción D no es cierta. 2.Enlascondicionesdelejercicioanterior,paraquelaoperaciónseaun productoescalarlamatrizAdebecumplir:A)Ningunacondición;B)a>O; C) a > O Y ae = b 2 ;D) a > O Y ac - b 2 > O. •:.Enlasopciones A,B Y e delejercicio anterior secomprobóquela opera- ción cumple los tres primeros axiomas de un producto escalar en [R2. •:.La propiedaddescritaenla opciónDdelejercicioanterior,consta dedos partes: Primera parte:x. x = O six = O,que como vimos escierta. Segunda parte:x. x > O six:;t:O,que en general no va a verificarse =>Si no se pone alguna condición no es cierta => La opción A de este ejercicio esfalsa. ¿ Qué condiciones debe cumplir A para que la operación dada sea producto escalar? Paraver cuandoseverificaquea x ~+ 2bx 2 x¡+ e x ~> O vamosadescomponer esta expresión en suma de cuadrados. 263 Definición, propiedades y expresión matricial... 264 Para simplificar los cálculos sacamos factor común a: Añadimos dentro del paréntesis 2 =que es el sumando necesario paratener(x, +;; x,J, ysimultáneamente lo restamos para que la expresión siga teniendo el mismo valor: I bca-b2 () 2(2) =aXI+ -;; x2+ax 2 • Como a> 0,elprimer sumando essiempre positivo por ser uncuadrado.Para que elsegundo sumandosea positivo debe cumplirse ademásque ca - b 2 > O. =>Sólo es cierta la opción D. 3.SienelespaciovectorialC[a,b]delasfuncionesrealesqueestánde- finidasysoncontinuasenelintervaloreal[a,b],seestudialaoperación f . R=I:f(X)R(X)dx,siendofygelementosdeC[a,b],esciertoque: A)f(x) . R(x) = R(x) .f(x) ; B)[;V(x)] . R(x) ==A[f(X) . R(x)]; C)(x) (x)] . R(X) == (x) .R(x) +1; (x) . R(X);D)f(x) .f(x) > ° si f(x) * OYf(x) .f(x) ==O sif(x) ==O;E)La operacióndefinida es producto escalar. •:.Los vectores de C[a, b] son las funcionesreales que son continuas enel in- tervalo real[a,b]. Capítulo 5-1 ¿ Es cierto quef(x) . g(x) = g(x) .f(x)? Sí,porquef(x) . R(X) =J: f(X)R(X)dx =J: R(X) f(x)dx =R(x) .f(x) ~La opción Aes cierta. ¿ Es cierto que[Af(x)]. g(x) = Á[f(x). g(x)] ? Sí,porque[Af(x)]. R(X) = r(;tf(x) )R(X)dx =;trf(x)R(X)dx= ;t[f(x). R(X)] ~La opción Bes cierta. ¿ Es cierto queLt; (x) + f 2 (x)] . R(X) = ,t; (x) . R(X) + f 2 (x) . R(X)? Sí,porque[fJx) + .h (x)] . R(X) = J: U; (x) +.h (x»)f.?(x)dx = f,t; (X)R(x)dx + + J:f2(X)R(X)dx= .t;(x) . R(x)+f 2 (x) . R(X) ~La opción C es cierta. ¿ Es cierto quef(x) .f(x) > O sif(x) '# O ? f(x) ·f(x) = J:f(x)f(x) dx= J:[f(x)f dx. Como[f(X)]2 esuna funciónpositiva,su integral es positiva y la respuesta es sí es cierta la pregunta planteada. ¿Es cierto quef(x) · f(x)=Osif(x)=O? Como[f(X)]2 es la función nula, su integral es nula y la respuesta es sí es cier- ta la pregunta planteada. ~La opción Des cierta. Por verificar todas las condiciones anteriores es un producto escalar ~La op- ción E es cierta . •:.Para comprobar sison ciertas, ono, las propiedades de la operación ". "he- mosutilizadolaspropiedades que ya conocemos delasoperaciones"." y"+" de funciones. Definición, propiedadesy expresión matricial... 266 4.Sielespaciovectorialdelospolinomiossedefineelproductoescalar P..• ?2 = f ~p.. (x)?} (x)dx , es cierto que(a + bx). (e + dx) es: A)(a + bx)(e + dx); ad + bead + bebd .. B); C)ae++-; D)Nmguno de losantenores. 223 f; (a + bx)(c+ dx)dx = J;(ac+(ad + bc)x +bdx 2 )dx = [ ad+be2bd3]1ad+bebd =aex+x+-x=ae++- 23o23 =>Sólo es correcta la opción C. 5.SienIR'lamatrizquedefineelproductoescalarenbaseB= {el'e 2 ,e,} esG =[ ~:~ J ,paracalcularelproductoescalardedosvectoresme- 1O1 diantelamatrizG,suscoordenadasdebenestar:A)Enbase B;B)Encualquier base porque el producto es independiente de la base elegida; C) Enla base canóni- ca; D) En otra base que hay que encontrar previamente. Deben estar expresadas en base B. Demostración: .x = X.el+ x 2 e 2 + x 3 e 3 ;Y =y.el+ Y2 e 2 + Y3 e 3· .x • y = (X.el+ x 2 e 2 + x 3 e 3 ) · (yle l + y 2 e 2 + Y3e3). utilizando las propiedades delproducto escalar dela expresiónanterior seob- tiene: .x. y = xIYI(e l • e l )+ x l y 2 (e l • e 2 )+ x¡Y 3 (e¡• e 3 ) + x 2 y¡(e 2 . e¡) + X 2 Y 2 (e 2 . e 2 ) + +x 2 Y3 (e 2 . e 3 )+x 3 y¡(e 3 . e¡) +x 3 y 2 (e 3 . eJ+x 3 y 3 (e 3 . e 3 )· Capítulo 5-1 SidenotamosRij= e¡• e j ,esposible escribir elproducto escalarx· y de for- ma matricial: R2l 00 0x.) =>Sólo es cierta la opción A. Y2 , donde R nnYn 60Sien[R3 lamatrizquedefineelproductoescalarenbaseB = {el'e 2 ,e,} esG =[ ~~~1,esciertoque:A)el. e 2 =1Ye 2 • el=3;B)el · e 2 =1 1od .:.Cada elemento g ijde G es elproducto escalare¡. ej" =>Son correctas las opciones B y C. 7 oLamatrizG = ( :1)nopuededefinirunproductoescalarennin- k4A guna base de [R2cuando: A)A= O;B) A=1;C) A=-I; D)Siempre existe algu- na base para la que G define unproducto escalar para cualquier valor real de A. .:.Recordemos las propiedades que debe tener una matriz para definir unpro- ducto escalar: m Definición, propiedades y expresión matricial... g¡j = gji , Vi '# j(La matriz G debe ser simétrica). gij> O,Vi =j(Todos los elementos de la diagonal principal deben ser positivos). g¡¡gjj- gt~O,Vi, j. ¿ En qué opciones no es simétrica la matrizG? Para }¡,= O,porque es falsoque }¡,2 = 1 =>La opción A es falsa. De lasrestantes opciones, ¿ en cuáles no son positivos todos los elementos dela dia- gonal principal deG? Si }¡,= -1 el término g 22= -4 =>La opción Ces falsa. De lasrestantes opciones, ¿en cuáles no se cumple g¡¡gjj- gt ~O,Vi, j? 268 La única opción que cumple las dos primeras condiciones es para }¡,= 1. Si Á=1,entonces(;,4 ~ ) = G:) Si i = 1,j = 2=>g¡¡gjj- gt = 1.4 - 1 2 ~O. Si i = 2, j= 1 =>g¡¡gjj- gt = 4.1- 1 2 ~O. =>Sólo es correcta la opción B. 8.Cuandoenelespaciovectorialdepolinomiosrealesdegradomenor quetresconunaindeterminada,x,seconsideranlabase{l ,X,x 2 } yelproductoescalarp,. PJ =Lp, (x)PJ(x)dx ,lamatrizdeGram,G,que defineelproductoescalardadoes:A)r ~ 2/3 O 2/3 O ~ J;D) No existe dicha matriz. 2/5 O 2/3 O 2/3Jr1 O 0J O;B)O1O; 2/5OO1 Capítulo 5-1 .:.La matriz G essimétrica, como consecuencia la opción e no puede ser co- rrecta. ¿Cómo se calcula la matriz deGram? 81l=t (l)(l)dx = 2. 8 12 = 8 21 =El (l)(x)dx =O. J I22 8 13 = 8 3 1=(l)(x)dx =-. - 13 J I2 821=(x)(x)dx = -. - - 13 ~G=[~ 2/3 ~Sólo es correcta la opción A. o 2/3 o 9.Sienelconjuntodelasmatricesrealescuadradasdeordendos,M 2x2 , sedefine(a ll a I2 ) . (b ll bb l 2 )=allb ll +a 12 b 12 + a 2l b 21 + a n b 22 ,elproducto Q21Q 2'2b 21 22 escalar que determina verifica:A)Noadmite matrizdeGrampor estar defini- doentrematrices;B)Lamatrizasociadaparalabasecanónicade IOOO O1OO M 2x2 esC)Lamatrizasociadaparalabasecanónicade OO1O OOO M 2x2 es( ~~ ); O) Ninguna de las anteriores. 269 1 Definición, propiedades y expresión matricial... •:.De entre las opciones dadashay que desechar la A, porque unproducto es- calar siempre lleva asociada una matriz cuando se ha fijadouna base . •:.Porser ". "unproductoescalartienematrizasociada,lamatrizdeGram, que esúnica para cada base. ¿Base canónica deM 2x2 ? LabasecanónicadeM 2X2 es _ = (OO)._ = (OO) e),e 4 • 1OO1 ¿Cómo es lamatriz deGram asociada a "." cuando en M 2x2 setoma labase canó- .? mea . . 270 •:.Cada elemento gij de G es el producto escalare¡-ej ' .:.G esuna matriz real cuadrada simétrica de orden 4 . •:.Sus elementos son: el-el =G~ } G el-e2=e2- el= ( ~ el-e) = e) -el=G el-e4= e4-el= ( ~ ~) = 1.1 + 0.0 + 0.0 + 0.0 = 1. ~ } (~~ )= 1.0+0.1 +0.0+0.0 = O. ~ } ( ~~ ) =1.0+0.0+0.1+0.0= O. ~ } (~~ )= 1.0+0.0+0.0+0.1 = O. _ _(O1)(O e 2 -e 2 =O O- O __(OO)(O e 4 - e 4 =O1- O = 0.0+ 1.1+0.0+0.0 = 1. )- ( ) = 0.0 + 1.0 + 0.0 + 0.1 = O. = 0.0+0.0+0.0+].1 = 1. 0.0+0.0+ 1.0+0.1 = O. = 0.0+0.0+0.0+ 1.1 = 1. =>Sólo es cierta la opción B. Capítulo 5-1 10.ConelproductoescalardefinidoenelejercIcIOanterior, ( 31)_( 1-1)verifica:A)Es12;B)Es-12;C)Nosepuedeescribir 24-55 de forma matricial; D)Ninguna de lasanteriores. ( 31)(1-1) ¿ Producto escalar depor? 24-55 ( 3 1)(1-1) - =3.1+1(-1)+2(-5)+20=12. 24-55 .:.También se puede hacer utilizando la matriz de Gram, para ello hay que cal- cular previamente las coordenadas de los vectores en la base a que está referida la matriz. 271 Definición, propiedades y expresión matricial... ¿ Coordenadas de respecto a{( 0W1)(0 O'OO'1 Son (3,1,2,4). ¿ Coordenadas de(1 -5 respecto a e -}f -55O Son(1, -1, -5,5). ¿ Producto escalar deG pore5l 1OOO 1)( 1 -IJ O1OO •= (3124) 4-55 OO1O 1 -1 -1 = (3124) = -5 -5 OOO ·1 5 5 = 3.1 + 1(-1) +2(-5) +20 = 12. Sólo es correcta la opción A. 272 Capítulo 5-2 Ejercicios relativos a: 1.Si en 1R 3 lamatriz que define el productoescalar enbaseB = {epe} ,e, }es G ~[:l nlanonnade(1 ,2,1)"esA)1.Jf41;B)6;C)1.J61 ; D) Ninguna de lasanteriores. [ 31lJ .:.La matriz11Odefine el producto escalar 1O1 nn siendoX,yv ~ t o r ~de~ ' +El cuadrado de la nonna del vectorX,~(x,x,x,{:l ~HJ ( 1 21{:i mJ~14 ""Sólo es válida la opción A 273 Normas y vectores unitarios ... 2.Sienelconjuntodelasmatricesrealescuadradasdeordendossedefi- [ all neelproductoescalar: a 21 .[1 es cIerto que la norma deI es: A) 15; B)1.Ji51; C) Una matriz no tiene norma; D) Ninguna delasanteriores . •:.Los vectores del espacio vectorial dado son matrices reales cuadradas de or- den dos . •:.Lanormadeunvectorv conelproductoescalar". "sedefinecomo: ¿Norma de[12) ? 1-3 274 [;= I.JI + 4 + 1 + 91= 1.J151 Sólo es cierta la opción B. 3.Sienelconjuntodelasmatricesreales2x2,sedefineelproducto escalar[a 11a12]. [b ll a 21 G 22 b 21 A)[12) Y [-1-3)son ortogonales; B)[12)Y [-1-1 3 )no son -1-311-1-31 ortogonales;C)Lamatriz[12)esortogonalasímisma;D)Ninguna 1-3 de lasanteriores. Capítulo 5-2 .:.Para que dosvectores sean ortogonales su producto escalar debe ser O. ( 1 2)(-1-3) •= -11 ~La opciónAesfalsaylaopciónBescierta. -1-311 ( 12 )_(12) = 15 ~La opción e es falsa. 1-31-3 4.Sielespaciovectorialdelospolinomiossedefineelproductoes- rl3a 2 +3ab+h 2 calarPI-P2 = JoPI (x)P 2 (x)dx,lanormade(a+ bx)es:A)3 3a 2 +3ab+b 2 3a 2 +3ab+b 2 ----- ;C)±; D)Ningunodelosvaloresan- 33 B) teriores . •:.La norma deunvector es elvalor absoluto de la raíz cuadrada delproducto escalar delvector por sí mismo. ¿Cuadrado dela norma? 2I[b2]1 Ila+bxll=(a+bx)- (a+bx) = !(a+bx)(a+bx)dx=a 2 x+abx 2 + 3 x 3 0= b 2 =a 2 +ab+- 3 Ila+bxll= 3a 2 +3ab+b 2 ----- ~SóloescorrectalaopciónB. 3 5.Sienelespaciovectorialdepolinomiosconunaindeterminada, x,realesdegradomenorquedossedefineelproductoescalar 275 « Normas y vectores unitarios... 276 PI• P 2 = t PI (x)P 2 (x)dx , elvector 2x - 3 esortogonal a:A)3x + 2;B)9x + 2; C) 2x + 3;D) Ninguno de losanteriores . •:.Losvectoresdeesteespaciovectorialsonpolinomiosdelaformaax + b con ay b reales . •:.Paraversidosvectoressonortogonales hayque comprobar sisuproducto escalar es O. el(2x - 3)(3x + 2)dx = el(6x 2 - 5x - 6)dx = [2X 3 _1 X2 - 6X]1= -8 :;tO. titi2 - 1 ~La opción A es falsa. el(2x - 3)(9 x + 2)dx = el(l8x 2 _ 23x _ 6)dx = [6X 3 _23 X2 _ 6X]1= O. titi2 - 1 ~La opción B es cierta. [] 1 II462 e (2x-3)(2x+3)dx=e (4x 2 -12x+9)dx=-x 3 -6x 2 +9x=-:;t0. titi33 - 1 ~La opción C es falsa. Sólo son ortogonales 2x - 3 Y 9x + 2. 6.Enelespaciovectorialdelospolinomiossedefineelproductoescalar el, PI• P 2 =Jo~(x)P 2 (x)dx.Cuando(a+bx)esortogonalax- sunormaes: 0 2 +ob+b 2 1 7b l'. 1---- ;C)- ; D) Nmguna delasantenores. 348 Como (a + bx) esortogonal a X2 suproducto escalar es O,esdecir, [] 1 I,Iax 3 bx 4 ob3b r (a + bx)x-dx = r (ax 2 +bx 3 )dx=-+- = - + - = O ~ a = - - . JoJo34344 o Capítulo 5-2 ¿Cuál es la norma de(a + bx)? Ila+ bxlr= (a+bx) . Y 1 = -9Y2' 277 : Normas y vectores unitarios... Comoningunodelosvectoresdadosverificaestarelación =>Laopciónco- rrecta es D. ¿ Qué vector es el pedido? L .,.(41) a matnz metnca es19 ' El vector pedido es de la forma (-9k,k)Y tiene norma1,luego ( 41)(-9k) (-9kk)19k=1=>31Se=1. ( -91)(9-1) =>Son solución los vectores~ ,~y~ ,~. ,,315,,315,,315,,315 9.Losvectoresquetienensuorigenenelpunto(3,3)Y susextremos enlos puntos(2,6)Y (5,3),respectivamente,sonlosladosdeuncuadrilátero talque:A)Lanormadesudiagonalmayores1.Ji81;B)Lanormadesu diagonalmenores-1.JT81;C)ElproductoescalardesusdiagonalesesO; D)Ninguna de lasanteriores . •:.Como no se dice nada en contra, se utilizará el producto escalar estándar en lI'f. ¿ Qué vectores del espacio vectorialIR 2 son los lados del paralelogramo? 278 Los lados del paralelogramo dado son representantes devectores libres que no tienen su Oligen en(0, O). Losvectoresequivalentesalosladosdelparalelogramoquetienensuorigen en (O, O)sonvectores delespacio vectoriallR 2 ,estos representantes de losmis- mos vectores libres son (5,3) - (3,3) = (2,O)Y (2,6) - (3,3) = (-1,3) respec- tivamente. Capítulo 5-2 Losvectoresu,= (2, O)YU 2 :::(-1,3)sonlosladosdelcuadriláterosobreel que vamos a trabajar. y .>....-_--.. --------- (3, 3)(5,3) (0, O)(2,O) ¿ Qué vectores del espacio vectorial1R 2 son las diagonales del paralelogramo? d, = u,+ u 2 = (2, O) + (-1, 3) = (1,3)es la diagonal cuyo origen es el vértice (O,O). d 2 = -u, + u 2 = -(2, O) + (-1,3) = (-3,3)esla diagonalcuyo origeneselvérti- ce (2, O). 279 Normasy vectores unitarios ... y (-3, 3)(-1, 3)(1 , 3) (-2, O)(2, O) ¿ Norma delas diagonales ? (1,3) e (1,3) = 1.1 + 3.3 = lO=::) Ildlll = 11(1,3)11= 1.Ji01. (-3,3) e(-3,3) = (-3)(-3)+3.3 = 18 =::)IId 2 11 = 11(3,-3)11 = 1.t181 =::)LaopciónA es cierta y la opción B es falsa. Para verquelaopciónBesfalsabastaobservar quenoesunvalor positivo. ¿ Producto escalar delas diagonales ? dI e d 2 = (1,3) e (-3,3) = 1(-3) + 3.3 = 6 =::)La opción e es falsa. 10.Enelparalelogramodelejercicioanterioresciertoqueelcosenodel -3--J5 ángulo que forman las diagonales es: A)O;B)¡;::;;C)--; D) Distinto al de -v75 las opciones anteriores. 280 Capítulo 5-2 .:.El ángulo que formandosvectores no nulosx,ypertenecientes a unespa- ciovectorialeuclídeosepuede calcular atravésdesucosenomediante la ex- presióncos(x,y) = 1111' Teniendo en cuenta los resultados del ejercicio anterior podemos escribir: (d - d-)di- d261-J5S'l1.,D. cosl'2= Ild¡lllld 2 11 = 1-v'1011-v'i81= -J5= 5=>o oaopClOnescIerta. 11.Elánguloqueformanlasdiagonalesdedoscarascontiguasdeuncubo que concurren enunvértice es:A)60°;B)30°; C) 45°; D)Ninguno delosan- teriores . •:.El ángulo que formanlasdiagonales de lascaras de un cubo que concurren enel vértice (0, 0, O)es independiente del lado del cubo. Sitomamosuncubodelado1,dichasdiagonalessonlosvectores(1,1,O), (0,1,1) Y (1,0,1). Doscualesquiera pertenecena carasconsecutivasy formanelmismoángulo. Si elegimos elángulo formado por (O,1,1) Y (1,0, 1), el coseno del ángulo for- (0,1,1) - (1,0, 1)0.1 + 1.0+ 1.11 - -- -II( 0,1,1 )IIII( 1,0,1 )11- -J2-J2- 2 El '113°. , anguo cuyo coseno es"2es° =>Es correcta la opClOnB. 281 -- Normas y vectores unitarios ... 282 z (O, 1,1) y (1 , 1, 0) 12.En 1R 2 ,con el producto escalar estándar, todos los vectores unitarios están en:A) El círculo de radio1 ycentro(0,O);B)La circunferencia deradioly centro (0, O);C) El subespacio de ecuación x=y; D) Ninguna de las anteriores . •:.Un vector es unitario cuando su norma es1. .:.En 1R2 el vector unitario11; 11 tiene el mismo sentido y dirección quex, pe- ro su norma es1. , Á Y (0, 1) (1, O) Capítulo 5-2 SiIlxll = 1 , tambiénIIxll2= 1 . Los vectores que cumplen la condición anterior formanla circunferencia de ra- dio1 y centro (O,O)=>Sólo es correcta la opción B . •:.Los vectores de la opción A son aquellos cuya norma es ~1. 13.En 1R 2 , con el producto escalarx. v =xIY]+ X 2 Y 2 ,siendoa * b,x =(XI' x,) - a 2 b 2 " eY=(Y I 'Y2)'todoslosvectoresunitariosestánen:A)Unaelipse;B)Una circunferencia; C) Una parábola; D) Una hipérbola. SiIIxll = 1, tambiénIIxll 2= 1 . Los vectores que cumplen la condición anterior formanla elipse de semiejes a y b y centro (O,O)=>Sólo es correcta la opción A. .:.Si a = b = 1 el producto escalar dado es el estándar. •:.Si a = b la elipse es la circunferencia de centro (O,O)y radio a. 14.Elvectorunitariocorrespondientealvector(12)delconjunto 1-3 MMdelejercicio2delcapítulo5-2es:A)e :}B)( ~~ ) ; 12 ¡ -J15¡¡-J15¡(12) C). D)_1_ 1-3'¡-J15¡1-3. ¡-JIS¡¡-JIS¡ 283 Normas y vectores unitarios ... 12 Como ( 1 2)_1Ix_1 (12)_ IMIIMI. 1-3- M ~I/ x ll-IMll-3- _1_~~Soncler- IMIIMI tas las opciones C y D. 284 Capítulo 5-3 Ejercicios relativos a: 1.Enunespacio vectorialeuclídeo sila matriz de Gram es la matriz unitaria, 1,podemosasegurar quelabase de referencia es: A)Normada;B)Ortogonal ; C) Esortonormada; D) No tiene por qué ser ninguna de las anteriores . •:.Sabemos que cada elemento g ijde G es el producto escalare¡. e j • ¿ La base es ortonormal? Cuando la matriz métrica G es la matriz unitaria 1 se verifica que: e¡ • e j = O sii "# jCada vectore¡de la base es ortogonal ae j ~La base es ortogonal. e¡ • e j = 1sii =jEl cuadrado de la norma de cada vector es1 ~Sunorma también es1 ~La base esnormada. Una base ortogonal ynormada es ortonormada ~La base es ortonormada. ~Son ciertas las opciones A, B Y C . •:.Como consecuencia, el producto escalar es elusual: 285 Sistemas ortogonales y ortonormales de vectores ... 1ooy¡ o1o Y2 =(x¡X 2 .. . X n ) =X¡Y¡+X 2 Y 2 +"·+XnY n · oo1 Yn 2.Cuandoenelespaciovectorialdepolinomiosrealesdegrado menorquetresconunaindeterminada,x,delejercicio8delcapítulo5-1 seconsideranlabaseB = {el= 1,e 2 = x,e 3 = x 2 }yelproductoescalar PI• P 2 = f/, (x)P 2 (x)dx , esciertoque Bcumple:A) Esortogonal;B) Esor- tonormal;C) Esta formadaporvectoresunitarios;D) Notieneningunadelas características de opciones anteriores. Como se vio en el ejercicio 8 de 5-1. .:.Cada elemento gij de la matrizG = [~ 2/3 o 2/3 O 2/3J Oes 2/5 ¿Es Buna base ortogonal? Para que el sistema de vectores que forma la base Bsea ortogonal (cada vector ortogonalatodoslosdemás)debeverificarsequee¡ . e j =Osii *- j ,como eso no es cierto porquegl3= g31= ~=>La opción A es falsa. 3 ¿ Es Buna base ortonormal ? 286 Para que el sistema de vectores que forma la base B sea orto normal la matriz G debe ser la matriz unidad => La opción B es falsa . •:.Como Bno esortogonal nopuede ser ortonormal(ortogonalydevectores unitarios). Capítulo 5-3 ¿ Son unitarios los vectores de B? Un vector es unitario sisu norma es1,si esto ocurre se verificae¡ ee¡ = 1 Y los elementos de la diagonal principal de G son1,como no es así ~La opción C es falsa. ~Es cierta la opción D. 3.Sielvectorx deIR"esortogonalalosvectoresul'u 2 "", u m deIR",en- toncesesortogonala:A)CualquiersubespaciodeIR"quetengaul' u 2 ' ""u m comopartedesubase;B)CualquiersubespaciodeIR"quetenga {ul' u 2 , ••• ,il,Jcomo base;C)( ul'u 2 , ... ,u,,); D) Ninguna de lasanteriores. x ortogonal a ul'u 2 ,.. .,u m xeu¡ =0 xeu=0 ~2~a(XeU¡)+/3(XeU2)+ ... +A(XeUm)=0. Utilizando las propiedades del producto escalar la igualdad anterior equivale a (aX eU)) + (f1X eU 2 ) + ... + (A.XeU m ) = 0, es decir,x e(aU)+ f3ii2 + ... + Mm) = 0, que demuestra que es cierta la opción C. Ejemplo: En 1R 3 {(O,1, O),(0, 0,1), (0,1,1)}es generador de (0, 1, O),(0, 0,1), (0,1,1». { (0'1'0) Eeje de lasx 2 (1,0, O)Eeje de las XI,y es ortogonal a(0,0,1) Eeje de lasx 3 ~ (0,1,1) Eplano definido por X 2 Y X 3 287 í Sistemas ortogonales y ortonormales devectores ... 288 (1,0, O)E eje de las X"y es ortogonal a a(O,1, O)+ /3(0,0,1) + y(O,1,1), que pertenece alplano definido por los ejes de las X2y las X3. Si{uI'UZ,,,.,u m }es base, necesariamente el espacio que genera es(UI'U 2 , ... ,u m ) y estamos en la situación de la opción e ~La opción B es cierta. Ejemplo: En 1R 3 {(O,1, O),(O,0,1)}es base de «0,1, O),(0, 0,1)~{(O,1,O),(0, 0,1)} genera «0, 1, O),(0,0,1) . .{(0,1,0) Eeje de lasXz (1,0, O)Eeje delas X"es ortogonal a~(1,0,0) Eeje (0,0,1) Eeje de lasx 3 de las XIesortogonalaa(0,1,O)+ /3(0,0,1)Eplanodefinidopor losejesde las XIy las X3. Si{UI'U 2 , ... ,u m }esparte delabasedeunespacio,dichoespacio,engeneral, noserá ( ul' u 2 '... , u m )y no hay ninguna razón para quexsea ortogonal alres- tode los vectores~A es falsa. Ejemplo: En 1R 3 {(O,1, O)}es parte de la base de «0,1, O),(1,0,1). (1,0, O),que pertenece aleje de las X"es ortogonal a (0,1,O)que pertenece al eje de las X2. (1,0, O),que pertenece aleje de las X"no es ortogonal a (1,0,1). ~(1,0, O)no es ortogonal a «0, 1, O),(1, 0,1). 4.Siu yv sondosvectorescualesquieradelespaciovectorialeuclídeo 1R2 con lanorma habitual,entonces elúnicovector nonulo ortogonala ambos eselO:A)Siu yv sonlinealmente dependientes;B)Siu yvsonlineal- mente independientes; C) Siempre; D) Nunca. Capítulo 5-3 Siu y v son linealmente dependientes en1R2 =>V = AU. Si un vectorx de1R2 es no nulo y ortogonal au => x • u = o. Six. u = O =>x. V = x. (AU) = Mx • u) = AO= O. =>Sidosvectoresde1R2 sonlinealmente dependientes, cualquier vector orto- gonal a uno lo esal otro =>Las opciones Ay Cson falsas. Siu yvson linealmente independientes en 1R2 yx de1R2 es no nulo y orto- gonal aambos=>x es ortogonal a (u, v).Pero (u, v) = 1R2 =>xesortogonal 2-- a todos los vectores deIR=>x = O=>B Y Dson ciertas. 5.Enunespaciovectorialeuclídeoconuna base dada,elmétododeGram- Schmidtresuelveelproblemade:A)Encontrarotrabasequeseanormada; B) Encontrar otra base que sea ortogonal; C) Encontrar otra base que sea orto- normada; D) Ninguna de las anteriores . •:.El método de Gram-Schmidt consiste en obtener una base formada por vec- tores ortogonales, que después se normalizan =>Son correctas las opciones A, B yc. 6.Cualquier espaciovectorialeuclídeoverifica:A) Puedenotener una base ortonormal;B)Puedetenermásdeunabaseortonormal;C)Encualquier espacio euclídeo,E, VVEEelvector( I ~ I )esunitario;D)Ninguna de las anteriores. El método de Gram-Schmidt, permite obtener una única baseU = {u¡, u 2 '••• , un} formadapor vectoresortogonales,quedespuéssenormalizanparaformarla baseV= {vI' v 2 ,••• , v,, } =>La opción Aes falsa. SiV = {vI' v2' ... ' vJes una base ortonormal, también lo esV = {-vI' v 2 ,· · ·, vJ => La opción B es cierta. 289 Sistemas ortogonalesy ortonormales de vectores ... 290 LaopciónCesciertaporquev == 1para cualquier vectorv EE. 7.EnIRestádefinidoelproductoescalar"."usualylabaseB= {3}, alaplicarelmétododeGram-Schmidtseobtienelabase:A)V= {3} ; B)V = {l}; C)V = {O};D)Ninguna de lasanteriores . •:.Para entender losejercicios relativosalmétodo de Gram-Schmidt esnece- sario repasar sus fundamentos en el texto de teoría. Primera fase:Búsqueda de una base,U,de vectores ortogonales generadora del mismo espacio que B: Como Bsólotiene elvectore = 3nohayque buscar ningunoortogonala él. Segunda fase:Normalizacióndelosvectoresdela baseencontrada enla pri- mera fase: El vectore = 3no es normado porque sunorma esIml = 3 Hay que nor- malizarlo,esdecir,obtenerunvectorquegenereelmismosub espacioyde e norma 1, dicho vector esu = Ilell= 1 Sólo es cierta la opción B. .:.Ademásdelabaseortonormal,V = {1},obtenidamedianteelmétodode Gram-Schmidt, también es base ortonormalV' = {-1 } . 8.Sien1R2estádefinidoelproductoescalarusualconlabase B = {(l,1),(O,l)},alaplicar elmétododeGram-Schmidt se obtienelabase: A)V = {( .)z ,.)z){ ;B) V= {(l, 1),(-1,l)}; C) V= {(l, O),(O,l)}; D)Ninguna de las anteriores. Primera fase: Búsqueda deuna nueva baseU ortogonal,que genera elmismo espacio que B,y talque cada uno de susvectoresu¡ se obtiene como la suma dee¡EBmás unvector del espacio vectorial generado por{u"u2' ... ,U¡_l} . • Capítulo 5-3 ¿Primer vector delabase ortogonal buscada? u)= e)= (1,1) u¡ genera el mismo subespacio quee¡ . ¿ Segundo vector delabase ortogonal buscada? u 2 se ha descompuesto en suma de dosvectores:Uno ese 2 y otro es delsub- espacio generado poru). ¿ Qué valor debetener a para que los vectoresu)y u 2 sean ortogonales? Debe seru)eu 2 = O. __-1 u)eU 2 = (l,l)e(a,l+a) = a+ 1 +a = O:::::}a =-. 2 __ (-11){(-1l)} :::::}u)= (1, 1);u 2 =2 '"2:::::}(1,1),2'"2es una base ortogonal. Segunda fase: Búsqueda de una base V ortonormal, que genera el mismo espa- cio que B yU. Normalización de los vectores de la base encontrada: 11 u) 11 = eu)=.J12+i2 = 11 u 2 11 = e U 2 =J+ (± J= = Por tanto, la base ortonormada está formada por losvectores: 291 Sistemas ortogonales y ortononnales de vectores ... - U¡(11)_Uz(-11) v¡= Ilu¡11=.Ji'.Ji'V z = lIuzll=.Ji'.Ji. V_ {(1 1)(-11)} - .Ji'.Ji'.Ji ' .Ji ~Sólo escorrecta la opción D. 9.En1R 3 estádefinidoelproductoescalarusualconlabase B = {( 1,1,O),(1,1,1),(O,1,l)},alaplicarelmétododeGram-Schrnidtse obtiene la base: A){( ~,O,O)(O , ~,O}(0,0, ~ ) } ; B){(l,0,O),(O,1,O),(O,0,l)};C){( ~ ,~,0 ).x 2 = a° . x 3 ax 3 1 ¿Qué condiciones debencumplir los vectores de Lz? Cualquier vector de Lzdebeser ortogonal atodoslosvectoresde L ¡, para ello essuficiente que lo sea alosvectores de una cualquiera desusbases, en parti- cular a(0,0,1), ya que {(0,0,1)}es una base de L¡. Si (x¡, xz,X3)ELz, debe verificar (x¡, xz, X3 )•(0,0,1) = O=> X3= O. 299 Subespacios ortogonales ... ¿ Se puede encontrar una base de ~ ? Unas ecuaciones paramétricas del plano X3 = °son { Xl=a[Xl](IJJOJ : ::~==?: := a~+ I-'l ~, siendoa yf3valores reales cualesquiera. Como{(1,0,0),(0,1,0)}esunsistema linealmenteindependiente,ademásde generador de ~==?{(1 ,0,0), (0,1,0)}es una base delsubespacio ~ . ¿ Hay más subespacios de1R 3 que sean ortogonales a L¡? Cualquier subespacio de ~esunsubespacio de1R 3 ,yes ortogonal a L¡porque verifica las ecuaciones de ~ . Sabemosquesonsubespaciospropios(distintosdesí mismoy{O})de ~las rectas que pasan por elorigen yestán contenidas en ~==?Son sub espacios or- togonales a L¡las rectas del plano X3=°que pasan por elorigen. ¿ Qué subespacio se genera en la opción A? Larecta deecuación[:: ]=~~J,quepasa porelorigenytienepor base {(1,1,0) },que está contenida en el plano X3=°==?Es un subespacio de 1R 3 orto- gonala L¡. ¿ Qué subespacio se genera enla opción B? cuyas baseses{(1 ,O,O)}y está contenido en X3 = °~Esunsubespacio de 1R 3 ortogonal a L¡. Capítulo 5-4 ¿Qué subespacio se genera enla opción C? [:} +)+ {~ )cuandoa =O ~[ :} {~leseleje de las x"una de cuyas bases es{(0,1,0)}Y está contenido en X3= O =>Esunsubespacio de 1R 3 ortogonal a L). =>Son correctas las opciones A,B Y C. 6.Enlas condiciones delejercicio anterior se verifica: A)Elsubespacio orto- gonala L)esúnico; B) En cualquiera de los subespacios ortogonales a L)exis- teuna base, talque suunión con la base B)de L)es base de 1R 3 ;C) La suma de L)concualquieradelossubespaciosalosqueesortogonalessumadirecta; D) Cualquier subespacio ortogonal de L)essu complementario ortogonal. Vimosenelejercicioanterior queademásdelsubespacio~sonsubespacios ortogonalesa L)lasrectasdelplano X3= O quepasanpor elorigen=>La op- ción A es falsa. Tambiénse vio que{(O,O, 1)}esuna base de L)y que elsubespacio que forma el eje de las x)es ortogonal a L),y{(1 ,O,O)}es una de sus bases. La unión de una base de L)yuna base del subespacio que forma el eje de las x) tienedosvectores=>Nopuedeser basede1R 3 ,ya quelasbasesde1R 3 tienen que tener tresvectores =>La opción B es falsa. ¿Qué vectores formanlaintersección deL)y con cualquiera delos subespacios a los que es ortogonal? CualquiervectordeunsubespacioortogonalaL)estáen~ ,yportanto cumplesusecuaciones.(Ademáspuedetenerquecumplirotrascondicio- nes,ono). J01 I (, e Subespacios ortogonales ... Los vectores de la intersecciónverifican las ecuaciones de Ll y del subespacio { X=x=0 ortogonal:12=> (X" x2' X 3 ) = (0,0,0). X 3 =0 ¿La suma de Ll con cualquiera delos subespacios a los que es ortogonal es directa? .:.Para quela suma de dossubespaciosde~ 3sea directa esnecesarioque la suma de sus dimensiones sea tres, además de que su intersección sea {(O,O,O)}. EsevidentequedeentrelossubespaciosortogonalesaLltodoscumplenla condicióndelaintersección,perosólo~cumpleambascondiciones=>Las opciones C y D son falsas. 7.SiU = {(a, a,b, b) E~ 4 }con a, b E~ ,elsubespacio U L ,complementario or- togonalaU,verifica: A)(1,-1 , b,-b) pertenece aU\B)(1,-1, b,-b) eselúnico queperteneceaU.l ; C)(0,0,0,0)perteneceaU.l ; D)Ningunadelasanteriores respuestas es correcta.(Con elproducto escalar estándar en~ 4 ) ¿ Qué vectores de~ 4son ortogonales a los vectores dela forma (a, a,b,b)? 302 Todos los vectores (Xl,X2, X3, X4)de ~ 4que verifican (x" X2, X3, X4)• (a, a,b,b) =O. Comoaybsonnúmerosrealescualesquiera,paraqueseverifique a(xl + X2) + b(X3 + X4)= °es necesario que Xl+ X2 = X, + X4= 0, es decir, las ecua- ciones paramétricas deU.lson X-13 3 - X--13 4 - Hayinfinitosvectoresde~ 4quecumplenlacondiciónanterior,entreotro (1, -1, b,-b) Y (0,0,0,0), que pertenece a cualquier subespacio vectorial. =>Sólo son correctas la opciones A y C Capítulo 5-4 8.Sienelconjuntodelasmatricesrealescuadradasdeordendos,MM, sede- fineelproductoescalar(a ll a 12 J.(b ll b hl 2 ! = 0llb l1 + 0l2bl 2+ 0 ZlbZl+ a 2Z b 12 , a 21 0 22b 21 22 ) Y elsubconjuntoLIformadolasmatricesdiagonales,esciertoque elcomple- mentario ortogonaldeLIes:A)Elsubespacio de MMde lasmatricessimétri- cas; B) El subespacio de M 2x2 formado por las matrices cuya diagonalprincipal esnula;C) ElsubespaciodeM 2x2 formadopor lasmatricescuya diagonalse- cundaria esnula; D) Ninguna de lasanteriores . •:.Los vectores de M 2x2 que forman el subespacio LIson de la forma(aollO 1 a 22 . •:.Elcomplementario ortogonalde LIestá formadopor todoslosvectoresde M 2x2 que son ortogonales a LI. ¿ Qué vectores de M 2x dormanL7 ? =>Para que la expresión al IXII+ a 22X 22sea O para valores cualesquiera de ally a 22,esnecesario que X I I= X 22= O =>Sólo es correcta la opción B. 9.Sienelespaciovectorialdepolinomiosconunaindeterminada,X, realesdegradomenorquecuatrosedefineelproductoescalar f>¡• P 2 = fl PI (x)P 2 (x)dx , elcomplementario ortogonalalsubespacio quefor- man las constantes es: A){ao - 3a o i }; B){alx - a}X' }; C){ao + alx - 3aoX 2 + a}X' }; D) Ninguno de losanteriores. JOJ rd Subespacios ortogonales ... •:.Losvectoresdeesteespaciovectorialsonpolinomiosdelaforma ao + a)x + a2X2+ a}X3con ao,a),a2 Y a3 reales . •:.LosvectoresdelsubespacioL)depolinomiosconstantessondelaforma P = k,siendo kun número real cualquiera. ¿Qué polinomios de[aforma ao + a)x + a2x2 + a}X3formanL¿? 304 [ kaX2kax 3 kaX 4 ]1ka(a) = - 1=2ka o +2--;f=2ka o +;=0. a Comokpuedetenercualquiervalorreal,esnecesarioquea o + t = Opara que2{a o + a; ) seaO L¿ estará formadopor aquellos polinomios deles- pacio que cumplana o + a 2 = O,es decir - 3a o = a 2 • 3 Es evidente que la opción B es falsa. Los vectores definidos en la opción Averifican la condición -3ao = a2,pero no sontodoslosvectoresque la verifican,ypor tantonosonelcomplementario ortogonal, sino una parte. Los vectores definidos enla opción Csontodoslos que verificanla condición -3ao = a2 es correcta la opción C. Capítulo 5-4 lO.DadaslasbasesB((1,0),(0,1»)yB' {( .Jz, Jd(- .Jz,.Jz)}en yelproductoescalar estándar,escierto que la matrizQ8'Bdecambio para pasar delas coordenadas deunvector cualquiera respecto a B ' a lascoordena- - das respecto a B es: A)_1__1_; B) La inversa deQB'Bes__1__1_; -J2-J2-J2-J2 C) QB'B es ortogonal; O)QB'Bes ortonormal. ¿MatrizQ8'B? ,B). (1, O),-{.Jz, .Jz t (0,1).---+ .Jz ,.Jz), QB'B=[1-f JEs correcta la opción A. -ti-ti ¿Matriz(: inversa deQB'B? 305 Subespacios ortogonales... ( ;~) = [_~J¡] =>Es correcta la opción B. -J2-J2 ¿Es ortogonal la matriz Q8'8?' El sistema de vectores que formansus columnas esortogonal porque ( ~ ,~)- ( - ~ ,~) = ~(- ~ ) +~~= -± +± = O =>La opción e escierta . •:.Otraformadedefinirmatrizortogonales:"Suinversaesigualasutras- puesta", que naturalmente esta matriz verifica. ¿Es ortonormalla matrizQ8'8?' 306 Losvectoresqueformansuscolumnasademásdeserortogonalessonunita- rios, porque su norma es1: =>La opción D es cierta . •:.Las bases By B' dadas en[R2 son ortonormales, y la matriz QB'8 delcambio de base esortogonal. Capítulo 5-4 .:.Se puede demostrar que la matriz que transforma una base ortonormada en otra baseortonormada deunespaciovectorialfinitoesunamatrizortogonal. ( ah).22 11.SilamatrizA =esortogonal,sevenfica:A)a+b= 1; ed B) a 2 + b 2 + e 2 +d 2 = 1;C)ac + bd = 1;O)No es cierta ninguna delasexpre- siones anteriores . •:.A es ortogonal ~Su inversa es igual a su traspuesta, y por tanto AA= 1 ~=~a 2 + b 2 = l'ae + bd = O'e 2 + d 2 = 1 I(ab)(ae) (1O) e dbd01', ~Sólo es cierta la opción A. 1/21/6ax 1/21/6b Y 12.Silamatriz 1/21/2O esortogonal,esciertoque z 1/2-5/6Of ,fi,fi,fi,fi A)f= ±- Yx = ±-; B)f= ±- Yx = ±- ; C)tY x nosepueden 6263 calcular; O)t Y x pueden tener cualquier valor real. Comolamatrizdadaesortogonal,elproductoporsutraspuestaeslamatriz unidad: 1/21/6ax1/2 1/21/6bY1/6 1/21/2Oza 1/ 2-5/6Otx 1/2 1/6 b Y 1/21/2 1/2-5/6 OO Zt 1OOO O100 OO1O OOO1 Cada elemento de 1 es elproducto de una fila de la primera matriz por una co- lumna de la segunda. 307 Subespacios ortogonales... 308 El elemento de 1 que ocupa la fila 4, columna 4 es elproducto 1/2 () -5/6 1/2,-5/6,0,t O t .Ji = 1 ~t = +-~La opción D esfalsa. - 6 Si sustituimos t por uno desusdosvalores,por ejemplo por el positivo,elele- mento de 1 que ocupa la fila1, columna 4 es elproducto ( 1 / 2, 1 / 6, a, x) 1/2 -5/6 O .Ji/6 -.Ji = O ~x = - - ~ Aes falsa. 3 Sisustituimos tpor elvalor negativo,elelementode 1 que ocupa la fila1, co- lumna 4 es el producto(1/2,1/6, a,x) 1/2 -5/6 O -.Ji/6 .Ji = O ~ x = - . 3 ~Son posibleslosvalorest = ± ~yx = ± ~~Es correcta la opción B ~La opción ees falsaporque t y x se pueden calcular. MATRICES SEMEJANTES Ejercicios relativos a: 1.Sean Ay B dos matrices cuadradas tales que rg(A) =ry rg(B) = s.Si AY B son congruentes, entonces: A)r= s; B) Son equivalentes; C) r"# s; D) Ninguna de las anteriores . •:.Dos matrices AyBson equivalentes siysólo siexisten dosmatrices regu- lares My Ntales que A = MBN. .:.Dos matrices AyBde orden nson congruentes si ysólo existe una matriz regular P tal que A= PBP. ¿ Son equivalentes? Como consecuencia de las definiciones anteriores, si A y B son congruentes, en- toncesson equivalentes(basta tomar M= Py N= P) ~Bescierta y Dfalsa. Como, además, Matrices semejantes, matrices equivalentes ... •:.Dos matrices A y B son equivalentes si ysólo si los rangos coinciden. =>Aes cierta y C es falsa. 2.SiAYB = ( ~~ )sondosmatricescongruentesmedianteP = (;~ ) , entonces Aes: A)(O1); B)(2O) ;C)(41); D)Ninguna de las ante- 12O-1lO riores. Si se impone la condición A = PBP resulta: 3.SiA = ( ~~~ )yB = ( ~:~ ) ,entonces:A)Sonequivalentesy congruentes;B)Sonequivalentesysemejantes;C)Sonequivalentesperono congruentes;D)Son equivalentes pero no semejantes; E) No son equivalentes. ¿ Son congruentes? Para que dosmatricessean congruentes deben ser cuadradas. Como AyBno son cuadradas, no pueden ser congruentes => La opción Aes falsa. ¿ Son semejantes? Para quedosmatricesseansemejantesdebenser cuadradas.Como AyBno son cuadradas, no pueden ser congruentes =>La opción B es falsa. ¿ Son equivalentes? 310 Sabemos que dos matricesson equivalentes es decir que sus rangos coinciden. Atiene rango 2 porque el determinante de la submatriz formada por la intersec- Capítulo 6-1 ción de las dos primeras filas y columnas es distinta de O.El rango de B es tam- biéndospor lamismarazón=>Sonequivalentes=>CyDsonciertas,Ees falsa. ¿ Se pueden encontrar My Nque verifiquen A= MBN? MY Nsonmatrices regulares de orden 2 y3 respectivamente para poder hacer (0 3 314 2 ) -- (0 1 2 1 )(0 3 1lamultiplicación,porejemplo: 1 ~ { ~! ~ } 4.A esunamatriz cuadrada de orden 2 que essemejante a la matriz( ~~ l), entonces:A)det(A)= 1;B)det(A)= -2; C)det(A)= O;D)det(A)nose puede calcular. •:.Dos matrices Ay B de orden n son semejantes si y sólo existe una matriz re- gular P talque A= ¡r'BP; Pse llama matriz de paso. Con las condiciones del problema, tenemos: A = p _l(2O)p => det(A) = det(p-I)det(2O )det(p). O-1O-1 I(2 Como det(¡r) = l/det(P) , entoncesdet(A) = detO =>B es cierta y A, C y D son falsas. 0)=_2. -1 5.Si AY B sondosmatrices semejantes, entonces: A) Aes la única matriz se- mejante a B;B) B tiene infinitas matricessemejantes distintas de A; C) Sie es semejante a B, entonces también essemejante a A; D) A,B Y C sonfalsas. Como Ay Bson semejantes existe una matriz regular P talque A= ¡r'BP 311 Matrices semejantes, matrices equivalentes ... Consideramosuna matriz regular cualquiera Mdelmismoordenque A.Sise multiplica por M, por la derecha,la expresiónanterior resulta AM = p-I BPM. Si se multiplica por la izquierda por lfl, se obtiene: lflAM = lflp-1BPM. Como lfl¡rl = (pM)-I, denotando e =lflAM, YPM = Q, la expresión anterior se puede escribir comoe = Q-IBQ ~e essemejante a B~B escierta y Afalsa . •:.Larelacióndesemejanzaentrematricesesunarelacióndeequivalencia. Las relaciones de equivalencia tienen la propiedad transitiva: .:.Si Asemejante a B,y Bsemejante ae, Aessemejante ae ~Cescierta. 6.SiAesunamatrizcuadradatalqueA= ¡rIBP,Punamatrizregulary B =[ ~~~ J ,entonces:A)AY Bsonsemejantes;B)Aesdiagonalizable; OO3 C) AY Bson equivalentes; D)Si ¡rl = pI, AY B son congruentes. ¿ Son semejantes? Asemejantea B(:::>A= ¡rIBP. (AY B cuadradasyP regular)~Aescierta. ¿A es diagonalizable? .:.A es diagonalizable (:::>Essemejante a una matriz diagonal. Por ser B diagonal ~B es cierta. ¿ Son equivalentes? J11 Alcompararlasdefinicionesdematricessemejantesyequivalentes,esclaro que: .:.Si AY B son matrices semejantes, entonces son equivalentes ~e es cierta. Capítulo 6- 1 Si ¡rl = pI,¿ son congruentes? .:.Acongruente con B(de orden n) Existe Pregular, tal que A= p IBP. Como A= ¡rIBP = PBP D es cierta. 7.SeanY unamamzdepaso !) Las condiciones que deben cumplir a,b,e y d para que Ay B seansemejantes son: A) a 2 + b 2 = c 2 ,d = O;B) b = e = 0, d::¡:.0, a::¡:.O;C) b = d Y e = O;D) Nunca pue- denser semejantes . •:.Asemejante a BExiste P, regular,tal que A= ¡rIBP PA= BP. Sila matrizP= ( ; verifica PA= BP, entonces: (: 2b¡d)=> 2a = 2a - e; b = 2b - d;2c = e;d = d e = 0,a = a;b = d P = ( : ), que es regular. La única opción correcta es C. [1O nB) 2 l lumnadePes(1,0,1),entonces:A)P=° 41 1° ° C) 1 J; D) Ninguna de las an len ores.-1 O-1 313 , I Matrices semejantes, matrices equivalentes ... AsemejanteaunamatrizdiagonalAAesdiagonalizable,esdecir,existe unamatrizregularP =[:! ;J, llamadadepaso,talquePA= AP /?h1 . •:.Señalamosquecomolasemejanza dematricesesuna relacióndeequiva- lencia A = ¡rIAP A = Q- IAQ,siendoQ = ¡rl. Por abuso dellenguaje, escri- bimos también, a veces, A = ¡rIAP. ¿ Cuál es la matriz de paso P? 114 [ ab de /?h =.;J. iOOO11l/?hi Igualando lostérminosqueocupanelmismo lugar enlasmatricesproducto, { e = 0, a = /? resultan las condiciones:d= 0, b = - e. h =O,f=-i Es matriz de paso cualquier matriz de la formaP [ =>Solo es correcta la opción C. 9.Si A esla matriz delejercicio anterior, entonces A 15 es: [2" 2 14 _2 29 2"J [y 2 15 2; } A)2 14 2 2 '1_2 14 _2 29 ; B) _2 30 C) 2 14 2 14 _2 29 2 29 ° D)Distinta a las anteriores. J. -f [2" 2 29 n 2 14 _2 29 2 14 2 29 Capítulo 6-1 .:.Una aplicacióndela diagonalización esla rapidez para calcular potencias . •:.Si A = P-'M, entonces A" = P-'A"P,si A es una matriz diagonal. \[3-1-IJ[2O0J[2O 0J En este ejercicio,A =-222Y A =O4O=O2 2 O .Como 111000000 matrizde paso tomamoscualquiera que cumpla lascondicionesexigidas,por [ 1 1O J[1121/ 21/ 2J ejemplo,P =O-11,entoncesP-'=1/2-112-1/2. 1O-11121/2-1/2 [1121121/2 r O ~ n ~ 1 l A' 5=p- 1 A 15 p=1/2-1/2-1/2O4 -1 1/21/2-1/2OOO-1 [112 1/2 112 r" O m 1 l =1/2-112-1/2O2 30 -1 1/21/2-1/2OOO-1 [112 1/2 112 r" 2 15 OJ [2" 2 14 _2 29 2" J =1/2-1/2-1/2O _2 30 2 30 =2 14 2 29 _2 14 _2 29 • 1/21/2-1/2OOO2 14 2 14 _2 29 2 29 =>La única opción correcta es A. 315 Capítulo 6-2 Ejercicios relativos a: 1.Si la matriz cuadrada Mtiene elvalor propio A,se verifica que la matriz M 2 tiene elvalor propio: A) A;B)A2;C) No hay relación entre losvalores pro- pios de Mylos de M 2 ;D) Ninguna de las anteriores . •:.Si A es valor propio (oautovalor)de M, existe unvector propio V,también llamado autovector (es unvector columna), que verifica MV = AV. Podemos escribir M 2 v = MMV = M(AV)= AMV = A(AV)= A 2 V ~Es correcta B. 2.Si Auna matriz regular idempotente (A 2 = A), entonces: A)1 Y O son valo- respropios de A; B)1 es el único valor propio; C) Losvalores propios pueden ser cualquier número real; D) Ninguna de las anteriores es verdadera. ¿Admite Acomo valor propio el O? Si A = Ofuese valor propio, existiría el vector columna v"* Otal que Av = Ov = O que es solución del sistema homogéneo Av = O,entonces lA I = O (porque el sis- tema que define sería compatible indeterminado, altener la menos una solución distinta de la nula) y Anosería regular,encontradicción la hipótesis~AY C son falsas. ¿ Cómo son los autovalores de A ? Si A es autovalor de A, entonces existe un vector columna v"* Otal que Av = AV. /2- - ,- 11~, 2-,21dA 2 Como, ademas, Av = AA v =A/l.v = ,,,,A v J= /l.V~/l.es autova ore. Por ser A =A2,de las expresiones anteriores se deduce que ítX = A 2 X~A,- A,2 = O. Valores propiosy vectores propios La única solución posible de esta ecuación es la A. = 1 porque, como se ha pro- badoanteriormente,la opciónA.= O noesposible=>Escorrecta la opción B. 3.Silaecuacióncaracterísticade Aes(A.- 3)2(A.+ 1)= O e1 eslamatriz unidaddelmismoordenqueA,severificaque:A)lA- II= lA- 3/1; B)lA+ II = lA - 3/1;C)lA + II = lA + 3/1; D)Ninguna delasanteriores. I .:.Dada una matriz Acuadrada, su ecuación característica es lA - A.l1= o. •:.Lassolucionesdela ecuación característica de Asonsusvalorespropios. La ecuación característica de A eslA - A.l1= (A. - 3)2(A.+ 1) = O. =>Los valores propios son A.I= 3 (con multiplicidad algebraica doble) y ~= -1. Sustituyendoenla ecuacióncaracterística losvalorespropiosencontradosse tiene:lA - 3/1=O ylA + /1=O.Por tantolA - 3/1=lA + II =o. =>Es correcta la opción B. A Y C son falsasporque en cada una deellas un términosí esO (elcorrespon- diente alautovalor)y elotro no. 4.Dadasdosmatrices Ay Bse cumple:A)Si AY Bsonsemejantes tienenla misma ecuación característica;B)SiA yB tienenlamisma ecuacióncaracte- rística son semejantes; C)Ninguna de las anteriores escierta. ¿ Si A Y B son semejantes entonces tiene lamisma ecuación característica? 318 .:.SidosmatricesAyBsonsemejantesexistePregulartalqueB = rIAP. La ecuación característica asociada a Bes lB - A.l1=O.Como B =rlAP resulta lB - A.l1=IrlAP - A.l1=IrIAP- )Flpl = Ir l (A- A.l)PI =1¡rlllA - A.lIIPI· Como 11'11=1I1PI =>lB - A.l1=lA- A.l1,es decir,losdos polinomios caracte- rísticosson iguales => A es cierta. Capítulo 6-2 Si A Y B tienenlamisma ecuación característica,entonces ¿ son semejantes ? Para probar que no es cierto es suficiente el contraejemplo siguiente: LasmatricesA = (yB = ( :)tienenel mismopolinomioca.-acte- rísticolB - AlI = lA - AlI = (1- Ai. SifueransemejantesexistiríaunamatrizregularP = (;talque ( ab)( 1 1)(aa + b)YAP __(ad b ). B =P-'AP PB = AP, luego PB =cdO1=cc+dc =>Para que sean iguales ambas expresiones será a + b =b =>a =O,c + d =d =>c = O =>P =) , que no es regular =>B es falsa. 5.LosvalorespropiosdeM=[1 a,:] verifican:A)Dependen 11 a- 11 aO del valor de a; B) ,1.= -1, ,1.= 2; C) ,1.=1, ,1.= -1; D)Ninguno de los anteriores . •:.Los valores propios de una matriz son las raíces de su ecuación característica. La ecuación característica de Mes1M - AlI = O,es decir: a -A l/a 2 :A =-A' +(H a' +a' (H +A(±J a' =_,1.3 +3,1.+2=0. =>A= 2,A= -1 son losvalores propios de M=>Es cierta la opción B. 319 Valores propios y vectores propios 6.SiendoIlamatrizunidaddeordenn,secumple:A)1 eselúnicovalor propio de Iycualquier vector v EIR"esautovector de 1;B) °eselúnico auto- valor deI y cualquiervector v EIR"esautovalorde1;C)La opción Asóloes verdadera en determinadas condiciones; D)Son falsas A,By C . •:.Unvector v distintodeOesautovectorovector propiodeunamatriz Asi existe A EIRtal que (A- Al) v = O. ¿Es 1 el único valor propio de la matriz I? Paracualquiervector v EIR n secumplequeIv = Iv=>1 esautovalorde I y cualquier vector ves autovector de l . •:.Sitenemosk vectorespropioscorrespondientesa k valorespropiosdistin- tos,entonces los kvectores son linealmente independientes. Si existiese otro valor propio A de Idistinto de1,Y v EIR n fuera su autovector, entonces,por la propiedad anterior, v sería linealmente independiente de cual- quier vector deIR n ,que es imposible (porque ves cualquiera). => A es cierta y C es falsa,porque no es necesaria ninguna condición adicional. ¿O es valor propio de la matriz I? 320 Si lo fuera debería cumplir Iv = Ov = Oy v tendría que ser O,que no es posible para unautovector =>B es falsa. 7.SiA =y(-1, 0,1) esvector propio de A,entonces elvalor -21° propio correspondiente es:A)A = O;B)A = 2 ; C)A = 1;D)Ninguno de ellos. Si (1, 0,1) es vector propio de Aentonces existe A EIRtal que, [ -1](0](-1- A3 -3](-1](0](A -2](0] =(::> =(::>=(::>A=2. =>B es cierta y A,C yD son falsas. Capítulo 6-2 8.Elconjuntodetodoslosvectoresrealesv*- (0,0,0)',talesque, [ 22 ° 3 ° 1 -2J~ 1v=ílvpara algún valor de íl,es: A){(l,l,l)};B) {(l,0,0),(0,1,1)}; C) Elsubespacio X2- X,= O;D)Ninguno de losconjuntos anteriores . •:.Losvectorespropiosdeuna matriz Adevalor propio íl son losvectores v tales que Av = ílv, es decir, (A- íll)v = O. Los vectores que verifican[ ~ pondientes alvalor propio A. 2-2J 3-1v = AVson los vectores propios corres- 11 •:.ElconjuntodevectorespropiosasociadosaA esunsubespaciovectorial. =>A es falsa porque el conjunto que define no es subespacio. ¿ Cuáles son los valores propios de A? El polinomio característico de Aes: r -A2-2 1 3 - A °3-íl-1=(2-A)1 °1l-A =(2 - íl)(íl 2 - 4A+ 4) = (2 - A)3. -1I= (2 - íl)[ (3 - íl)(1- íl) + 1] = l-A La ecuación característica es (2 - A)3 = O. El autovalor es A= 2, con multiplicidad algebraica 3. Los vectores asociados al autovalor verifican: 321 Valores propios y vectores propios ~e es correcta. Unas ecuaciones paramétricas delsubespacio X2 - X3=°son: { Xl=A(Xl J(1 J(OJ : : :~~: := A ~+ IL~~B es correcta. 9.AeslamatrizasociadaaunaaplicaciónlinealdeIR'en1R 3 .Entonces: A)OesvectorpropiodeA;B)SiAtiene3autovaloresdistintosAl.A2,A3 ~ lA I = AIA2A3; C) B sólo es cierta cuando se cumplen determinadas condiciones; D) Ninguna de lasanterioresse cumple. ¿Oes vector propio de A? Los vectores propios no pueden ser el vector nulo, por definición ~A es falsa. ¿ Qué ocurre si los autovalores son distintos? 322 Si Atiene 3 autovaloresdistintosAl.A,z,A3~Existen tresvectores propios VI, V2'V3de1R 3 ,asociadoscadaunoa unvalor propio,quesonlinealmenteinde- pendientes.Además,como Aeslamatrizasociadaaunaaplicaciónlinealde 1Tb 3 1Tb3d- - - 1Tb3 ~en ~su oren es tres y por tanto, Vl.V2,V3forman base de ~. En dicha base la matriz asociada a la aplicación tiene la forma: ~J~AYB son semejantes ~lA 1= IBI ~B es cierta y e falsa. A3 Capítulo 6-2 10.SiAesuna matriz regular y Besuna matriz cuadrada arbitraria delmis- moordenqueA,entonceslasmatricesAByBAtienenlosvalorespropios: A) Iguales; B) Opuestos; C) Recíprocos; D) Ninguna de las respuestas anteriores. SiA esunvalorpropiodeAB,comoAesunamatrizregularsecumple: AB - Al = AB - MA- 1 = A(B - M- I ). Tomando determinantes en la expresión anterior: IAB- AlI = IA(B-M-1)1 = IAIIB -M-II = lB -M-lilA I= I(B -M-l)A I= IBA -AlI· ~AB Y BAtienenlosautova10resiguales~Laúnicaopción correcta es A. 11.DadalamatrizA ~[ ~~~ lelsubespacio delosveA esverdadera y D es falsa . •:.Una condición suficiente para que una matriz de orden n sea diagonalizable es que posea n valorespropios distintos. Noesunacondiciónnecesariaquesusautovaloresseandistintos,pues A --(030 3 )esuna matriz diagonalcuyo autovalor es3 conmultiplicidadal- gebraica 2. =>B es falsa y C es cierta. 3.Es cierto que:A)Siunamatriz cuadrada Mde orden ntiene k autovalores distintosy k < n,entonces M noesdiagonalizable;B)Sieldeterminante de M escero,elvector cero esautovector deM;C)Endeterminadascondiciones A puede ser verdadera; D) Ninguna de lasanteriores . •:.Unamatriz Aesdiagonalizablesiy sólosipara cada valorpropioA dela matriz Ala multiplicidad algebraica (multiplicidad de Acomo raíz característi- ca)coincideconlamultiplicidadgeométrica(dimensióndelsubespaciode autovectores de valor propio A). =>A es falsa y C es verdadera . •:.Por definición de autovector, el vector cero no puede ser autovector =>B es falsa. 4.SiA = ( ~i :J. severifica:A)Elsubespaciodelosvectorespropio asociadosalautovalor1 es( 0,0,1)); B)Elsubespaciodelosvectorespropio Capítulo 6-3 asociadosalautovalor1 es((x), X2,x,)EIR]IXI= l}; C) La matriz Ano esdia- gonalizable; D) Ninguna de las anteriores . •:.Los vectores propios de valor propio Á asociados a la matriz A, son las solu- ciones de la ecuación matricial (A- Al)v = O. ¿Cuáles son los valores propios delamatriz? Son las raíces de la ecuación característica lA - AlI = O: I-Á O O 1 1-Á O 1 1= O (1- Á)3 =O Á = 1,que es unautovalor triple. 1-Á ¿ Cuál es el subespacio delos autovectores devalor propio 1 ? ElsubespacioL,asociadoaÁ = 1eselconjuntodevectores, V, queverifica (A- 11)v = O,o lo que es lo mismo: [ O 1lJ[XIJ[OJ{ x 2 + x 3 = O{ x 2 = O 001x 2 =0~ . x=0x=0 OOOxO23 3 Como la condición es que las 2 últimas coordenadas sean O,el subespacio LI es {a(l,O,O),Va EIR}= ((1,0,0)), de dimensión1 ~A Y Bson falsas. ¿ Coincidelamultiplicidad algebraicadelautovalorylamultiplicidadgeométrica del subespacio asociado? La multiplicidad algebraica delautovalor1 es3yla multiplicidad geométrica es 1, que es la dimensión del subespacio vectorial asociado al autovalor. Como no coinciden ~La matriz Ano es diagonalizable ~C es cierta. Diagonalización de matrices 5.LamatrizA=J esdiagonalizable:A)Sia* O;B)Sia= O: C) Para valorespares de a; D) En ninguno de los casos anteriores. ¿ Valores propios de A? Son las soluciones de la ecuación característica lA - AlI = O. 1-ÁaO O2-ÁOesraízdoble,Á2=2simple a11-Á \¡fa Elit ¿ Subespacio LIasociado al valor propio1? [ OaO][ XI ][O]{aX2 = O (A - U)v =O O1Ox 2 =Ox 2 =0_. a1Ox 3 OaX 1 + x 2 - O Sia =O,cualquier vectordeLItienela forma(Xl,O,X3),Y podemosescribir Ll ={a(1,0,0) + /3(0,0,1),a, f3EIR}= ((1 ,0,0), (0,0,1)), que tiene dimensión 2. ¿Subespacio asociado al valor propio 2? 328 .:.Si Á es un valor propio asociado a la matriz Asiempre su multiplicidad geo- métrica es mayor o igual que1 y menor o igual que su multiplicidad algebraica. Como 2 es una autovalot simple, su multiplicidad algebraica es 1 y el subes- pacio vectorial asociado a Á2=2 tiene dimensión1 para todo valor de a. Capítulo 6-3 ¿ Es diagonalizable A? La matrizesdiagonalizablesila multiplicidadalgebraica ygeométrica deto- dos los autovalores coinciden. Sólo será diagonalizable si a = O,pues en ese ca- so la multiplicidad algebraica y la geométrica coinciden para cada valor propio ~Sólo B es correcta. 6.Aldiagonal izar la matriz Adelejercicio anterior,losvectores columna de unamatrizdepasoPverifican:A)Dependendelvalordea;B)Son (1,0,-1),(0,1,-1),(0,0,'1); C) Son (1,0,0),(0,0,1),(0,1,1); D) A,B,Y C son falsas . •:.La matrizdepaso Pde una matriz Aque diagonaliza verifica P A = AP ~ A = ¡rIAP siendo A la matriz diagonal. Comosevioenelejercicioanterior,lamatrizesdiagonalizablesiysólosi a = O.Este es el único caso que consideraremos . •:.P tiene como vectores columna los autovectores que forman base de los su- bespaciosasociadosacada valor propio ordenadosconel mismoorden enla matriz diagonal. ¿ Base del subespacio Ll ? Como ya vimos,elsub espacio vectorial Llasociadoa Al= 1 es Xl- X3= O,es decir, Ll = {a(1,O,O) + 13(0,0,1), "da, 13EIR}. Podemos elegir {(1,0,0),(0,0,1)}como una base de Ll. ¿Base del subespacio L¿? El subespacio vectorial L¿asociado a Az= 2 es: 329 Diagonalización de matrices {a(O,l,l), VaEIR}y una base es{(O,l,l)}. =>Los vectores columna de P son (l,0,0), (0,0,1), (0,1,1) => Sólo C es correcta. 7.Dada la matrizA ='es cierto que: A)Para elautovalor A= 2. ° 11 la multiplicidad algebraica y geométrica no coinciden; B) Para el autovalor A= 1. lamultiplicidadalgebraicaygeométrica no coinciden;C)La matriz Aesdia- gonalizable;D)NoexistelamatrizdepasoP;E)Ningunadelasanteriore. ¿ Subespacio asociado a los vectores propios devalor propio 2 ? Como ya sevio en elejercicio11delcap.6.2,la matriz Atiene como valores propios Al= 2 (doble) y =1. Ademáselsubespacioasociadoalvalorpropio2tienedimensión2y ( 1,0,0),(0,1,0) => Aes falsa,porque la multiplicidad geométrica es la dimeo- sión delsubespacio vectorial asociado. ¿ Subespacio asociado al valor propiol? 330 La multiplicidad geométrica es menor o igual que la multiplicidad algebraica mayor o igual que1.Para A= 1,la multiplicidad algebraica es1 =>La multi- plicidad geométrica es 1 =>Bes falsa. También lo podíamos resolver determinando elsubespacio asociado alautova- lor 1: Capítulo 6-3 es decir,elsubespacio L = {a (1 ,0, 1),V' aE~ } ,ysu dimensión1,por tanto las multiplicidades coinciden. ¿ Es A diagonalizable? .:.Una matriz es diagonalizable si ysólo sipara cada autovalor,la multiplici- dad algebraica coincide con la multiplicidad geométrica. Enesta matriz,lamultiplicidadalgebraicayla geométricadecadaautovalor coinciden. =>e es correcta porque la matriz se puede diagonalizar. ¿ Existe matriz de paso? .:.Si una matriz A es diagonalizable, entonces hay matriz de paso P,que se ob- tieneapartir de losvectoresdelasbases de cada subespacio deautovectores. Las columnas de P son los vectores (1,0,0),(0,1,1),(1,0,1) =>Des correcta. 8.A ~l+~ ~~ ;J verifica:A)Tiene3autovaloresdistintos;B)Tiene sólo unautovalor con multiplicidad geométrica 2;C) Tiene 2 autovalores distin- tos y uno de ellos tiene multiplicidad geométrica 2;D) Ninguna de las anteriores. ¿Cuáles son los autovalores de A? 7-).,-21 Son las raíces de la ecuación característicalA - AlI =-210- ).,-2=0, 1-2 7-)., es decir:(7 - ).,)2 (10- ).,) + 4 + 4 - (10- ).,) - 4(7 - ).,) - 4(7 - ).,)= 331 Diagonalización de matrices :::::-A? + 24A? -180A + 432 =-(A -12)(A -6/ = o=>Al=12Y A 2 = 6,con multiplicidad algebraica1 y2 respectivamente => A Y B son falsas. ¿Puede ser 2la multiplicidad geométrica de12? No, porque su multiplicidad algebraica es1,y la geométrica siempre esmenor o igual que la algebraica. ¿Cuál es multiplicidad geométrica de6? Es la dimensión del sub espacio asociado a ~= 6, es decir, de los (x"X2,X3)que verifican Es la ecuación de un plano en IR 3 ,tiene dimensión 2 =>e es correcta, D es falsa. 9.SiAeslamatrizdelejercicioanterior,secumpleque:A)Elsubespaci vectorialasociado alautovalor A= 12 tiene dimensión 2;B) La matriz de p noexiste;C)Lamatriz Aesdiagonalizable;D)Ningunadeellasescorr ¿Subespacio delos vectores devalor propio12? 332 Se obtiene alresolver la ecuación matricial (A- 121)v = O. Elsubespacio asociado alautovalor A = 12 es{a(l,-2,1), Va EIR},que ti dimensión1 =>A esfalsa. Capítulo 6-3 ¿ Es la matriz Adiagonalizable? Como se probó en el ejercicio anterior, el otro valor propio asociado a la matriz Aes 6 con multiplicidad algebraica 2,yla dimensión delsubespacio asociado adichovalorpropioes2=?Se verifica la igualdad deambasmultiplicidades en cada uno de los autovalores =? A es diagonalizable =? Existe matriz de paso P =? C es correcta y B Y D son falsas. ( 1 1 -2J 10.SiA =-121,entonces: A)Elsubespacio vectorialdelautovalor ° 1-1 negativoesL= {a(l,O,I),Va EIR};B)LamatrizAnoesdiagonalizable; C) Las opciones A y B sonverdaderas; D) Las opciones A y B son falsas. ¿ Cuál es laecuación característica de la matriz A? EslA - AlI = 0,esdecir: 1- A,1-2 -12 - A,1= -(1- A,)(2 - A,)(1 + A,) + 2 - (1- A,) - (1 + A,)= °1-l-A =(l+A)(A -l)(A -2) =° Los autovalores son Al= -1, ~= 1,A3= 2.Con estos resultados podemos ase- gurar que la matriz Aes diagonalizable =? B es falsa. ¿ Cuál es el subespacio asociado aA= -1 ? Se puede obtener de la expresión (A+ l)"V = 0, es decir, 333 « Diagonalización de matrices Elsubespacio asociadoalautovalor A = -1es L = {a (l ,O, 1),V' aEIR}Aes cierta. 11.SiA =con a,b a" b, b" O entonces A es diagonaliza- ble: A) Si a :;t1 Y a :;t -1; B) Sia = 1;C) Si a = -l ; D) A, BY e son falsas. ¿ Cuál es laecuación característica delamatriz A? 334 bOa-A IA-ílIl=O-l-AO =1,A 2 = OOl-A = -1,A 3 = a. Opción A:a :;t1 Y a :;t -1 los tres valores propios son distintos y la matriz es diagonalizable Aes cierta. Opción B: a =1 Al=A3 =1 Y A.,z= - 1. Dimensiones de los subespacios asociados: Al autovalor doble 1: que tiene dimensión 2. Al autovalor simple -1: ElsubespacioasociadoaA.,ztienedimensión1,porquesumultiplicidad al braica es1. Capítulo 6-3 La matriz Aen estas condiciones es diagonalizable B esverdadera. Opción C:Si a= -1, entoncesAl= 1 essimple y = -1doble.Elsubespacio asociado a: ( Ob0J( XI J(OJ}Xl= a} OOOx 2 =O OO2x 3 Ox 3 =0 Su dimensión es1. Essuficiente este resultado para afirmar que la matriz Aen estas condiciones no es diagonalizable C es falsa. 211-14 12.SiA= O3O-2 , entonces son autovalores: A)A =1;B)A = -1 ; OO112 OOO5 C)A = 3;D)A = 2;E) Ano esdiagonalizable. ¿Cuáles son los valores propios de la matriz? 2 -A1 Son las raíces de1 A - )J 1= O3-A OO OO A, C y D son correctas y B es falsa. ¿ Es diagonalizable ? 1 O l-A O -14 -2 =0 12 S-A Como hay 4 autovalores distintos y el orden de A es 4La matriz es diagona- lizable. E es falsa. 335 Capítulo 6-4 Ejercicios relativos a: 1.SiA = ( 1 -1)Y B = (-14) ,entonces: A) Sonmatrices deunmismo 2O-12 endomorfismo:B) A Y Btienenelmismopolinomiocaracterístico;C)Existe una matriz regular de cambio de base; D)Ninguna de ellas es cierta . •:.Dosmatricescuadradasdeorden2 son matricesdeunmismo endomorfis- morespecto de distintasbasesdelespacio vectorialsiysólosiexiste una ma- triz regularp: ( :~ )de cambio de base, que verifica A :p-' BP B :PAP-'. Es lo mismo que decir que son semejantes. Si(-14) = (ab)( 1 -1)(ab)_I, entonces(-14)(ab) = -12cd2Ocd-12cd -a+4c = a+2b-2a-2b+4c=0 ( ab)(1-1). =cd2O, esdecIr, -a+2c =c+2d-a+c-2d=0 -b+4d=-aa-b+4d=0 -b+2d =-c-b+c+2d = O { a- c+2d=0 . b-c-2d =0 Elsistemaobtenidoeslinealhomogéneocuyamatrizdecoeficientestiene determinante O. 337 m Diagonalización de endomorfismos simétricos =>Elsistematienesolucióndistintadelatrivial;unadeellaspuedeser => AY C son ciertas, porque ambas matrices son equivalentes.(Se puede hacer un cambio de base que pasa una matriz a otra) . •:.Elpolinomiocaracterísticodeunamatrizasociadaaunendomorfismoes invariante respecto a un cambio de base. =>Tienen elmismo polinomio característico =>B es cierta. 2.SiA = ( ~~ )yB = ( ~~ ) ,entonces:A)Comotienenelmismopoli- nomiocaracterístico,sonmatricesde unmismoendomorfismo:B)Notienen elmismopolinomio característico;C)Existeuna matriz regular de cambio de base; D) Ninguna de ellas es cierta. ¿ Tienen Ay B el mismo polinomio característico? Polinomio característico de A:1A -)J 1= 1 2 ~A 2 ~Al = (2 - AY. 1 B - , 11__1 2 -OA2 _1,1- - (2 - ')2.Polinomio característico de B:/IJJI,JI, =>Tienen el mismo polinomio característico =>Bes falsa. ¿ Son matrices deun mismo endomorfismo? 338 Silosondebeexistir unamatriz regularP =( :~ )de cambio debase, que verifique B = P-'AP =>PB = AP. Capítulo 6-4 ( 2 1) = (ab)(20J(abJ-l~(2lJ(abJ = (abJ(20J ~ 02ed02ed02eded02 --" (2aa + 2b) __(2a2b) --" {a + 2b = 2b --" {a = 0, -..,r-..,r-..,rquenoesposible 2ee + 2d2e2de + 2d = 2de = ° porque P debe ser regular ~A es falsa . •:.Dos matrices pueden tener elmismo polinomio característico y noser ma- trices de unmismo endomorfismo. ¿ Existe una matriz regular decambio debase? Son matrices deun mismo endomorfismo respecto de distintas bases delespa- cio vectorial siy sólo siexiste una matriz regularde cambio debase. ~C es falsa y sólo D es cierta. 3.SiAeslamatrizdeunaaplicaciónlinealdeIR'enIR' , entonces:A)Oes vectorpropiode A; B)SiAessimétrica~Existeunamatrizdiagonalseme- jante; C) A puede ser verdad sise cumple determinada condición; D) A, B Y C son falsas. ~Pordefinición,seexcluyealvector °deservectorpropio~AY Cson falsas . •:.Si Aessimétrica,existeunamatrizortogonalP,talqueP' AP = p-IAP es diagonal~A Y la matriz diagonal son semejantes ~A es diagonalizable ~B es cierta. 4.Si Aeslamatriz realsimétrica asociada a unaaplicaciónlineal fdeIR'en IR"entonces: A) f posee una base devectores ortogonales dosa doscon elpro- ductoescalarusual;B)Todossusvalorespropiossonreales;C)AyBson falsas. 339 Diagonalización de endomorfismos simétricos Es un ejercicio teórico cuyas soluciones son: .:.Si Aes una matriz simétrica real,susvalores propiosson todos realesB es cierta . •:.Si Aes una matriz simétrica real, losvectores propios asociados a las raíces características distintas,son ortogonales con el producto escalar usual. .:.Si Aesuna matrizsimétrica real,entonces existen nvectorespropiosde A quesonortogonalesdosados,incluidoslosquepertenecenelmismovalor propio A es cierta. 5.La matrizA = G :) sólo tienevalorespropiosrealesporque: A)Aestá definida enIR;B) Essimétrica; C)Sus autovaloresnosonrealesporque susfi- lassonlinealmentedependientes;D)Ningunadelasanterioresesverdadera ¿ Cualquier matriz definida en IRtiene autovalores reales ? Para mostrar que no, tomamos como contraejemplo la matriz). Su ecua- ción característica esA? + 1 = O,que notieneautovaloresrealesA es fal ¿ Cualquier matriz simétrica tiene todos sus autovalores reales? Sí, Y es evidente que la matriz dada es una matriz simétrica B es cierta. ¿ Silas filasson linealmente dependientes sus autovalores no son reales? 340 No,ejemplo: =0,A 2 e falsa. Capítulo 6-4 6.Los valores de x para quepeA)=A.1- A" - 3,A,xsea elpolinomio caracterís- .I ticodeunamatrizsimétricason:A)NoeXIsten;B)x $- ;C)x$1; 12 D) Ninguna delasanteriores. Queremos que la matriz sea simétrica ~Los valores propios son todos reales. Como A 3 - A 2 - 3,A,x=A.,(A 2 - A- 3x), las raíces de A 2 - A- 3x deben ser reales, lo que ocurre sólo sieldiscriminante es mayor o igual que O,es decir: (_1)2 - 4· 3x = 1-12x ~O x $~~B es cierta. 12 7.Si A es una matriz ortogonal real(A - 1 = A\ sus valores propios son: A) To- dos positivos; B) O y1;C) ±1; D) Ninguno de los anteriores. Sea A un valor propio real de A asociado alvector propio v se tiene que verifi- car que Av =Av. Al trasponer ambos miembros de la igualdad se obtiene (AV)' =AV' ~V 'A' =AV'. AlmultiplicarporladerechaestaúltimaexpresiónporAv =AV,seobtiene v 'A 'Av = A 2 V'V. ComoK 1 =A' la igualdad anterior se transforma en v ' v = A 2 V' V ~v'v(1-A2) = O. Por ser v distinto delvector O~A 2 =1 ~A =±1~La única opción correcta es C. 8.~ smatricesA ~[ ~~ l~ }B ~[ ~I ~J ve,;ficanA)Son con gruentesysemejantes; B);Soncongruentesperonosemejantes C)Sonseme- jantes pero no congruentes; D) Ninguna de lasanteriores. 341 Diagonalización de endomorfismos simétricos ¿ Son Ay B semejantes? Los autovalores de B son A,= 0, ~= 1,~= 3.Pero si los autovalores de Ason distintos, A es semejante auna matriz diagonal formada con estos autovalores. Si los autovalores de Ason A,= 0, ~= 1,~= 3, entonces AyB son semejan- tes. Los autovalores de Ase determinan mediante la ecuación característica: 1-A IA-AlI=1 ° 1 2-A -1 ° -1=(1-A)2(2- A)-(1- A)-(l- A) = 1-A =-A(1-A)(3-A)=0ysonA,= 0,~= 1,A3 = 3~AY Bsonsemejantes. ¿ Es Acongruente con la matriz diagonal B? 342 .:.Toda matriz simétrica es congruente con una matriz diagonal. ~A es congruente con una matriz diagonal. Pero, ¿es B esta matriz? .:.Dada una matriz simétrica A, existe una matriz ortogonal P,tal que ]Y AP es una matriz diagonal formada por los valores propios de A. Entonces ]Y AP = B, por lo que Ay B son congruentes. ~Sólo la opción Aes cierta. Capítulo 6-4 1-12o -1o3-4 9.A=verifica:A)Se puede diagonalizar mediante una 235-2 O-4-23 matriz ortogonal; B) Se puede diagonalizar, pero no mediante una matriz orto- gonal; C) No es diagonalizable. Como A es una matriz simétrica, existe una matriz ortogonal P, tal que p'AP es diagonal. =>A es cierta y B Y e son falsas. 343 7 FORMAS BILINEALES Ejercicios relativos a: UDefi¡liciones, propiedades y de las apli- caciones bilineales y las formas billneales/' 1.SiE,F,V sonespaciosvectorialesreales,unaaplicación f:ExFV {{( X v + v') - {(xv) + {(xv') es bilineal sise cumplen: A) "'"1"1- "'""' "; f(x,/\,y) =4(x,y) { {(x + x', v) ={(x, v) + {(x' , v) B)"1-::_"1"__ """ ;C)Lascondiciones expresadasenlasop- f(/LJ.. , y) = 4(x, y) ciones A y B; D)Otras condiciones distintas a lasde opciones anteriores. Una aplicaciónf: E x F Ves bilineal cuando verifica las condiciones expre- sadas en lasopciones A y B =>Es correcta la opción C. 2.f:1R2 x1R2 IRdefinidapor + + 3x:!y:!es una aplicación que verifica: A) Es lineal respecto a la primera variable; B) Es lineal respecto a la segunda variable; C) Es bilineal; D) A, B Y C son falsas. 345 Definiciones, propiedadesyexpresión matricial... •:.La aplicaciónf: [R2x[R2~[R2es bilineal si es lineal en la primera variable ... .{f(i + i',y) = f(i,y) + f(i',y) yes hneal en la segunda vanable, es decIr,SIJU__ ~¡:__) f(,y) - /\1(x,y { f(i,y + y') = f(i,y)+ f(i, y) Yf(i)"y) =)¡(i, y). ¿ Es f:[R2x [R2~[Rlineal en la primera variable? Primera condición:¿Es f(i + x', y) =f(i, Y)+ f(i', Y)? Primer miembro:f(i + x', y). S,egundo miembro: f (i, Y)+f (x', Y). f((XI'X Z )'(YI'Y2))+f((x;,x; ),(yI'YZ))=(x,y,-x,yz -3x z y. +3x 2 yz)+ + (X;Y.-x;yz -3x;y. +3x;y 2 )· :} f(x + x', y) =f(i, Y)+ f(i', Y). Segunda condición:¿Esf(Xi, Y)= )¡(i, Y)siendo A un número real cualquiera? 346 Primer miembro:f(Xi, Y). f( (Ax. ,Axz),(y, ,Yz)) =Ax,y,- Ax'Y2 - 3Ax 2 Y,+ 3Ax 2 Y 2 Segundo miembro:}.f (x, Y). A(X.Y. - X'Y2 - 3x 2 y. + 3X 2 Y2) = Ax.Y. - Ax.Y2 - 3Ax z y. + 3Ax 2 Y2 :} f(JU, y) = )¡(i, y). ~Es lineal en la primera variable. Capítulo 7-1 ¿ Es f:1R2 x 1R2 ---7IRlineal enlasegunda variable? Primera condición: ¿ Es f(X, Y+ y') =f(X,Y)+ f(X,y')? Primer miembro:f(X, y + y'). f((xl'x 2 )'(YI +Y;'Y2 +Y; ))=XJYI +Y;)-X 1 (Y2 +y; )-3x 2 (YI +y;)+3x 2 (Y2 +Y; ) Segundo miembro: f(X,Y)+ f (X,y'). f( (XI'X 2 )'(YI'Y2)) + f((xI'x 2 ),(y; ,y;)) = (X1YI- x¡Y 2 - 3x 2 y¡+ 3X 2 Y2) + +( xs; - x¡Y;- 3x 2 y; +3x 2 y; ) =>f(x, y + Y') = f(x, y) + f(x, y'). Segunda condición: ¿ Es f (X,ílY)= }.,f (X,Y)siendo íl un número real cualquiera? Primer miembro: f (X,ílY) f( (xl' x 2 ),(ílyl' ílY2)) = A.x¡y¡- A.x¡Y2 - 3A.x 2 y¡+ 3A.x 2 y 2 · Segundo miembro:}.,f (X,Y). íl(X¡Y¡-X¡Y2-3x 2 y¡+3X 2 Y2)=A.x¡y¡-A.x¡Y2 -3A.x 2 y¡ +3A.x 2 Y2· f(x,íly) =A/(x,y). =>Es lineal en la segunda variable=> Son ciertas las opciones A, B Y C. 3.Sif: 1R2 x1R2 ---7IResunaaplicaciónbilineal,severifica:A)Noesforma bilinealporqueelespacioimagennoesIR;B)NoesformabilineaJporqueel origen dela aplicación es unproducto de dos espacios iguales; C) Es forma bi- lineal;O) Ninguna de las anteriores . •:.Para que la aplicación bilinealf sea una forma bilineal el espacio origen de- be ser el producto cartesiano de dos espacios vectoriales reales iguales, y el es- 347 Definiciones, propiedades y expresión matricial ... pacioimagendebeserIR,esdecir,esunaaplicaciónbilinealdelaforma f: E xE -7 IR,siendo E un espacio vectorial real:::::?Sólo es correcta la opción C. 4.Silaaplicaciónf:1R2 x1R2-7 IRestalquef(x¡,x 2 )'(Y"Y2») = x¡+)"2 'se verifica:A) fesunaaplicaciónbilineal;B) fesunaformabilineal;C) fnoes una aplicación bilineal; D) Ninguna de las anteriores . •:.Paraquef:1R2x1R2-7IRseaaplicaciónbilinealdebeverificar: { f(X + x',y) = f(x,y) + f(x',y){f(X'y + y') = f(x,y) + f(x,y').d Y,sleno f(M,y) = Jif(x, y)f(x, Ay) = Jif(x,y) x = (x¡,X2),Y= (y" Y2)pares reales . •:.Si algún par no verifica alguna de las cuatro condiciones la aplicación no es bilineal. ¿ Se cumple siempre f (E, .Y)= Jif ex,.Y)? Primer miembro:f( A(X"X 2 ),(YPY2») = f( (M p MJ'(YPY2») = M¡ + Y 2 • Segundo miembro:Jif(Xl'xJ'(YPYJ) =A(X¡ +Y 2 ) =M¡ +Ay 2 • Ambos miembros no son iguales:::::? f no es bilineal :::::?Es correcta la opción C. 5.Enlasolucióndelproblemaderegladetrescompuesta:"Sabiendoque para vaciar dosdepósitosse necesitan 200 bidones de15 litrosdecapacidad cada uno,¿ cuántos bidones de 25 litros serían necesarios paravaciar tresde- pósitosigualesaldado?"secalculalaimagende:A)Unaaplicaciónlineal· B)Unaaplicaciónbilineal;C)Unaaplicaciónbilinealsimétrica;D)Ninguna de lasanteriores. ¿ Forma tradicional de plantear yresolver el problema? 348 Si Des el número de depósitos,e la capacidad de cada bidón y B el número de bidones necesarios, las relaciones dadas son: Capítulo 7-1 D---C---B 215200 325---n Es claro que "si hay que vaciar más depósitoshacen falta más bidones", es de- cir, es una regla de tres directa, donde la relación que existe entre elnúmero de depósitos y el de bidones es 2/3. De la misma manera "si la capacidad de cada bidónesmenor hacen faltamás bidones", es decir,esuna regla de tresinversa, donde la relación que existe en- tre la capacidad de cada bidón y elnúmero de bidones es 25/15. ~200= ~ .25=50~ n =200.45 =180. n3154550 ¿ Forma de plantear y resolver el problema mediante aplicaciones? En la correspondenciaf : DxC ~Bcada original tiene una imagen única. D es el espacio vectorialIRporque elnúmerodedepósitosesunnúmeroreal. C es el espacio vectorial IRporque la capacidad de cada bidón es un número real. Beselespacio vectorialIRporqueelnúmerodebidonesnecesariosesunnú- mero real. ~f: D x C ~B esuna aplicación deIRx IR~IR. Para vaciar undepósito se necesitarían 200/2 =100 bidones de15litros. Si cada bidón tuviera un litro de capacidad, para vaciar un depósito harían falta 100 x15 =1.500 bidones, es decir,f(l,1) =1.500. ¿ Expresión analítica de f ? f (3,25) = 3· -.l . 1.5oo = 180 bidones .25 349 Definiciones, propiedades y expresión matricial... 350 =>La aplicaciónfno es bilineal porque noverificaf(x¡, X2)= xlxd(1,I). =>La aplicación f no esbilinealporque noeslineal para la segunda variable. =>Sólo es cierta la opción D . •:.Si ambas reglas de tres fuerandirectas la aplicación sí sería bilineal. 6.Si E esunespaciovectorial y f:E xE -7 ~esuna aplicación bilineal si- métrica,escierto que 'Vi, y EE, f(X - y,x - )1)esiguala:A) f(X,X)- f(.Y,)1); B)f(-x + y, -x +)1);C)f(X, X)- 2f(x,)I) + fey,)I);D) Ninguna de las anteriores. Por ser fbilineal se verifica f(X - y, x - )1)=f(x - y, X)- f(X - y, )1)= =f(X,X)- f(Y.X)- f(X;)1)+ f(Y.)1). Por ser f simétricaf (Y.X)=f (X;)1), que convierte la expresión anterior en: f(X - y, x -)1) =f(X;X)- 2f(X, )1)+ f(Y.)1). =>Es cierta la opción e y falsa la opción A. Por ser fbilineal se verifica: f e-x + y,-x + y) = f( - (x - y),-(x - y)) = -f(x - y, -(x - y)) = -(- f(x - y,x - y)) = f (x - y,x - y) =>También es correcta la opción B. 7.Si{el. e2}esla base canónica de~ 2y f:~ 2X~ 2-7 ~una aplicación bili- neal,talque f (el.el) =1,f (el. e2)= 2,f (e2,el) = -1 ;f (e2,e2)= 5,severifica quef(5,3),(-1,2))es: A)-19; B)(-19, 48);C)48;D)Ningunadelasante- riores . •:.Fijadaunabase,todaformabilinealsepuederepresentarporunamatriz cuadrada, yrecíprocamente,a toda matriz cuadrada corresponde una forma bi- lineal única. Capítulo 7-1 Y1 Y2 , donde A = (aij) es la matriz a nl a n2 a..Y. de la forma bilinealf en la base B = rel,..., en},siendo aij= (e¡, ~ ) . La opción B es falsa porque (-19, 48) E 1R 2 , mientras quef: 1R2 x1R2-71R. ¿Matriz def? ¿Expresión matricial def? ¿ Qué valor tiene.r( (5,3), (-1,2) ) ? f( (5,3), ( -1,2)) = (53{~ 1~ ) (~ 1 )= 48 =>Es cierta la opción e y falsa A. 8.La matriz Aasociada auna forma bilineal f:E xE-7 IRestalque:A)Es invariante respecto a la base elegida en E;B) Depende de las bases elegidas en E yIR;C) Depende de la base elegida en IR;D) Ninguna de las anteriores. Sólo es correcta la opción B, porque cada elemento aijde la matriz A es f (e¡, ~ ) expresado en la base elegida en IR({el. e2, ... , en} es una base de E). 351 Definiciones, propiedades y expresión matricial... 9.Sif (X,)i) = x,y, - 4X'Y2 + 6X2Y3- x,y,- 3X'Y3 es la expresión analítica dela forma bilineal f:IR'xIR'~IR,se verifica que la primera filade la matriz aso- ciadaes:A)(1,0,-1);B)(1,-4,0) ;C)(1,0,-3);D)Ningunadelasanteriores. (Utilizando labase canónica). Los elementos de la base canónica de 1R 3 son e,= (1,0, O),e2= (O,1, O)Y e, =(0, 0,1). Los elementos de la primera fila de la matriz son: f(el'e¡) = f((1,O,O),(I,O,O))= 1·1- 4·1·0+6·0 ·0-0 ·1- 3·0·0 = 1; Ala misma conclusión se habría llegado de la forma siguiente: ¿ Expresión matricial de f? 352 =>La primera fila de la matriz asociada es (1,-4,0). 10.Sif: E x E ~IRes una forma bilineal, es cierto que: A) Existe una matriz simétrica que define la misma forma bilineal; B)fsólo es simétrica si su matriz lo es; C) f es simétrica siE = IR";D) Ninguna de las anteriores. { f es forma bilineal .:.f es forma bilineal simétrica~.. f(x,y)=fCy,x),V(x,y)EExE .:.La condición necesaria ysuficiente para que una forma bilineal sea simétri- ca es que la matriz asociada correspondiente sea simétrica =>La opción Bes correcta. Capítulo 7-1 Elejercicio9decap.7-1ponedemanifiestoquelaopciónCesfalsaporque lamatrizasociadaaf : ~ 3x ~ 3--7 ~es( ~~~ ] ,quenoessimétrica. -1O-3 En el ejercicio 7 de cap. 7-1vimos que: .:.Fijadaunabase,todaformabilinealsepuederepresentarporunamatriz cuadrada,y recíprocamente, a toda matriz cuadrada corresponde una forma bi- lineal única. Por tanto, como nose puede asociar otra matriz a la matriz asociada a una for- ma, la opción A es falsa. 11.Sabiendoque f: ExF--7Vesunaaplicaciónbilineal,A= {al,a2} unabasedeE,B= {bI,b 2 ,b 3 }unabasedeF,U= {VI,v}}unabasede V,f(a¡, b¡) = v¡- V2,f(a¡, b 2 ) = - v¡+ V2,f(aI, b 3 )= v¡+ 2V2,f(a2' b¡) = v¡+ V2, f (a2,b 2 )= v¡+ 3V2y f (a2,b 3 )= 3v¡,esciertoque:A) f esunaformabilineal; B) La matriz asociada af esreal;C)No se puede calcular f(x,)i)siendo x EEe y EF;D)Ninguna de lasanteriores. ¿Esfunaforma bilineal? No, porque no es una aplicación bilineal de E x E--7~~La opción A es falsa . •:.Observemos queEnopuedeser iguala Fporque sudimensiónesdistinta (tienendistintonúmerodeelementosensusbasesrespectivas),yV nopuede ser ~por la misma razón. ¿ Esreal lamatriz asociada a f? No,porque la matriz asociada está formada por elementos del espacio imagen, que noesIR~La opción B es falsa. 353 Definiciones, propiedades y expresión matricial... ¿ Se puede calcular f(X,Y)? X E E x es un vector de coordenadas (x¡,X2)= x,a, + X2a2. y EFY es un vector de coordenadas (y¡, Y2,Y3)= y}j, + yl'h + Y3b3. Por serfaplicación bilinealf(X, Y)es: f(xii¡ + x 2 a 2 ,y¡b¡ + Y2b2 + Y3b3) = = xJ(al'y¡b¡ + Y2 b 2 + Y3 b 3) + xJ(a 2 , yJÍ¡+ Y2 b 2 + Y3 b 3) = = x¡ [yJ(al' b¡) + Y2f(al'b 2 )+ yd(al'b 3 )] + +x 2 [yJ(a 2 ,b¡) + yd(a 2 ,b 3 )] = =x¡[y¡(v¡-V 2 )+Y2(-V¡+V 2 )+Y 3 (V¡+2v 2 )]+ +x 2 [Y¡ (v¡+ v 2 )+ Y2(v¡+ 3v 2 ) + Y 3 (3v¡)]. =>Sí se puede calcular f (X,Y),y la opción e es falsa. La única opción correcta es D. 12.Sif(X,Y)= X'YI- XIY3+ X2YI+ X2Y2+ X2Y3- X3YI+ X3Y2+ 2x3Y3eslaex- presióndelaformabilineal f : 1R 3 x1R 3 ---7IRconlabaseB = {el,e2,e3},y B ={el , eí,e3}esotrabasedeIR\talque el =(2,2,3h, eí =(-1, 0, -1)8 Y e:í= (O,-1,-lh, esciertoquelaexpresiónanalíticadefenbaseB'es: 222 A) XI+ X2+ X3;B) 30xIYI+ X2Y2+ 5X3Y3; C) 30xIYI - 7XIY2- 11xIY3- 5x2Y,+ X2Y2+ + 2x2Y3 - 13x3Y,+ 3X3Y2+ 5X3Y3;D) Ninguna de las anteriores . •:.De la misma manera que enel ejercicio 9 buscaremosla matriz A'= piAP. ¿Matriz Aasociada af en la base B? A =[ -112 354 Capítulo 7-1 ¿ Expresión matricial de fen base B? ¿Matriz P del cambio dela base B' a la base B? .:.Matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de B' en base B. 3-1-1 ¿Expresión matricial def en base B'? f.Ci) (x,x,"'{ 2 3r O -1 O-111O -1-1-11-1 [30 -7 -IT i =(xl'x 2 ,x 3 )-51 2Y 2 J= -133 5Y 3 Sólo es correcta la opción C. Capítulo 7-2 Ejercicios relativos a: l.SiQ(X)= ilAi esla expresiónanalítica de la forma cuadrática,se verifica quelaimagendeunvectoriEIR"es:A)UnvectordeIR";B)Unescalar; C) Una matriz; D) Ninguna de las opciones anteriores es cierta. SiQ(X)= i lAi, siendo iun vector de IR n ,y A una matriz, la imagen es un esca- lar,ya es un producto de matrices de dimensiones (1x n),(nx n),(nx1) yla dimensión de la matriz producto es1 ~La solución correcta es B. Se podría haber resuelto haciendo uso de la definición de forma cuadrática: Q: IR n ~IRes la forma cuadrática generada por f:IR n xIR n ~IR(forma bilineal simétrica) Es la aplicaciónQ: IR n ~IR,que verifica Q(X)=f(X, X),"di EIR n • 2.La forma bilineal f: Ex E~IRgenera una forma cuadrática: A) Siempre; B) Sólo si es simétrica; C) Sólo si es diagonal; D) Nunca. •:.Q: E~IResla formacuadrática generada por la forma bilinealsimétrica f : E x E ~IRQ : E ~IRes la aplicación que verifica Q(X) =f(X, X),"di EE. La definición de forma cuadrática nos permite asegurar que está generada por una forma bilineal simétrica ~Es correcta la opción B. 3.SiQ es la forma cuadrática generada por la aplicaciónbilineal simétricaf, secumple:A)Laformabilinealgdefinidapor f(x,y)= g(y,x)noesQ; B) Q (x + y) = f(x,x) + f(y, y); C) Q (x + y) = Q (x)+ Q (y) + 2f(x, y); D) Nin- guna de las anteriores. Definición, propiedadesy expresión matricial... Ambas formas cuadráticas coinciden porquef(x, x) = g(x,x) y la definición de forma cuadrática Qasociada a f es que verifica siempre Q(X)=f (x,X)~A es falsa. Por serfuna aplicación bilinealf(x + y, x + y) se puede escribir como: f(x + y, x) + f(x + y, y) =f(x, x) + f(x, y) + f(y, x) + f(y, y) = Q(x) + Q(y) + 2f(x, y). ~La opción B es falsa y e es cierta. D es falsa por ser cierta alguna de las anteriores. 4.Sif( (xl'x2'x 3 )'(YI'Y2 'Y3»)= XJYI- X 1 Y2- x 2 YI+ 3x 1 y:.+ 3x 3 YI + x 3 Y,es una formabilineal,la forma cuadrática asociada,Q,verifica:A)La expresiónma- tricialesúnica;B)Sumatrizdebesersimétrica:C)La expresióndelaforma cuadrática es unpolinomio homogéneo de grado 3; D) Ninguna de las anteriores. ¿ Expresión matricial de f? ¿ Expresión matricial de Q? Q(x) = f(x,x) = x¡x¡- x¡x 2 - x 2 x¡+ 3x¡x 3 + 3x 3 x¡+ X 3 X 3 = ~ ( x ,x, x,{~ l~ lH:J 358 • Capítulo 7-2 .:.Q (X)se puede expresar de infinitas formas, como por ejemplo: • Q(x)x; - 2x,x, + 6x,x, + x: (x,x,x, eTEJ x,x,{iH:J • =>Las opciones A y B son falsas. Cada sumando dela expresióndeuna formacuadrática seobtiene como pro- ducto de dosnúmeros reales,lasvariables Xie Xj ,por el escalar a ijdela matriz => Es un polinomio de segundo grado => La opción C es falsa. Sólo la opción D es cierta. 5.Si Aeslamatrizdela formabilinealsimétrica f :x ---7 la forma cuadrática asociada, Q, verifica: A)Su matriz esúnica; B) Su matriz es simétri- ca;C)Suexpresióncuadráticaesunpolinomiohomogéneodegradon; D)Ninguna de las anteriores . Este ejercicio es una generalización del anterior. Todo lo que se ha expuesto en el caso de n = 3 vale para n 3 =>Sólo la opción D es correcta. Observemos que en particular para n = 2 es cierta la opción C. Ejemplo:(x,x, l(t J 6.SiQ esuna forma cuadrática, es cierto que: A)Q(Aü) = A?Q(U);B) La for- ma bilineal asociada a la cuadrática esúnica;C) Una forma cuadrática siempre tiene asociada una forma bilineal simétrica; D) A,B Y e son falsas. 359 Definición, propiedades y expresión matricial ... Si Q : E ~~es una forma cuadrática y ¡: E xE ~~es la forma bilineal que la genera, entonces ¡ es simétrica =>Las opciones By e son ciertas. Q(M) =¡ (M, M) = '}.f (U,M) = ;..?¡ (U,U)= ;"?Q (U)=>La opción Aes cierta. 7.Sirel, e2,e3} es la base canónica de~ 3y Q: ~ 3~IResuna forma cuadrá- tica,talque Q (el) = o, Q (e2) = -2, Q (e3) = 3,Q (el+ el ) = --4, Q (el+ e3) = 6 Y Q (e2 + e3) = 5,se verifica que la primera fila de la matriz de Q en la base canó- nica es: A)(O--46); B) (O-13/2); C) (O-23); D) A, B Y e son falsas . •:.Q : E~~es la formacuadrática generada por la formabilineal simétrica ¡: E XE ~~Es la aplicación Q : E ~~ ,que verifica Q (X)=¡ (x, X),Vx E E. La primera fila de la matriz de Q es(.rCepe¡),f(epe2),f(epe3»). ¡¡(el. el)? Q (el) = (el, el) = O. ¡¡ (el, e2)? Se puede obtener apartir deQ(el+ e2) utilizando la definición de forma cua- drática y aplicación bilineal simétrica: Q (el + e2)=¡(el + e2, el+ e2) =¡(el. el + e2) + ¡(e2, el+ e2) = =¡ (el, el) + ¡ (el, e2) +¡ (e2,el) + ¡ (e2, e2) = --4. Sustituyendo los valores conocidos en la expresión anterior se obtiene O +¡ (el, e2) +¡ (e2, el) - 2 = --4,como¡ es simétrica => ¡ (el. e2) =¡ (e2, el) = - 1. ¡¡(el , e3)? 360 Q (el+ e3) =¡(el + e3, el+ e3) =¡(el, el+ e3) + ¡(e3, el + e3) = =¡(el , el) + ¡(el, e3) + ¡(e3,el) + ¡(e3, e3) =6. Sustituyendo los valores conocidos en la expresión anterior se obtiene O + ¡ (el.e3) + ¡ (e3, el) + 3= 6;como ¡ essimétrica ¡ (el.e3) =¡ (e3, el) = 3/2. =>La primera fila de la matriz es (O-13/2) =>Es cierta la opción B . •:.De la misma manera se pueden calcular losdemáselementos de la matriz. Capítulo 7-2 8.Si B = {el, e2}y B'= {eí, eí}son bases de 1R 2 ,tales que eí= ely e2= el- el y la matriz de una forma euadráti ca Q : D;l'--; D;les(::) enla base B, es eier- to que la matriz de QenB'es:A)[1l);B)[1O);C)[1O);D)Nin- ° -1I-1° ° guna de las anteriores . •:.LamatrizAasociadaaunaformabilineal f: ExE-7IRconlabase B = {el, ... , el!}es congruente con la matriz A Iasociada af cuando se efectúa un cambio de base. •:.AY A Ison congruentes si existe una matriz P regular, tal que A I= piAP. ¿ Expresión matricial deQ en base B? ¿Matriz P del cambio de la base B ' ala base B? .:.Matriz cuyas columnasson lascoordenadasde losvectores de B ' enbase B . • [ 11 ) P= ° -1 ¿Expresión matricial deQ en base B'? ~Sólo es correcta la opción C. 361 Definición, propiedades y expresión matricial... • 9.Sif: 1R 3 x 1R 3 -7 IRes una forma bilineal simétrica, tal quefcel, el) =f(e2, e2) = =f(e3, e3)= 1 Yf(el,e2) =fce2, e3) =fce3, el) =a,siendo B = {el, e2,e3} una base deIR\la expresiónanalítica de la forma cuadrática asociada es:A) ++; B) + x; ++ 2ax l x 2 x 3 ;C) +++ 2ax l x 2 + 2ax 2 x 3 + 2ax l x 3 ;O) Nin- guna de las anteriores. Q(xl' x2' x 3 ) = f( (xl'x 2 ,x 3 ),(XI'X 2 , X 3 »),para cualquier(XI'X 2 ,X 3 ) E1R 3 • (xl'x 2 ,x 3 ) = xli + x 2 e 2 + x 3 e 3 · Por ser fbilineal f( (XI'X 2 ,x 3 ),(XI'X 2 ,x 3 )) = f(x¡e¡+ x 2 e 2 + x 3 e 3 ,xl¡ + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) =+ +x¡x 2 f(el'e 2 ) + x¡xJ(e¡ ,e 3 ) + x 2 xJ(e 2 ,el) + xU(e 2 ,e 2 ) + x2xJ(e 2 ,e 3 ) + +x3xJ(e 3 ,e¡) + x 3 xd(e 3 ,e 2 ) + x;J(e 3 ,e 3 ) =++ x: +2a(x¡x 2 + x¡x 3 + X 2 X 3 ). =>La opción correcta es C. 10.SiQ(xl' x 2 ) = x;+x; +4x¡x 2 esunaformacuadráticade1R2-7IR,se verificaqueunabaserespectoalacualQ sepuedeexpresarcomosumade cuadrados: A) No existe; B) Es{(1,-1),(1, l)}; C) Es{(1,0),(0,1)}; O) A, B yC son falsas . .:.En este ejercicio se pide la base de la forma cuadrática canónica de Q : E -7 IR. .:.La forma cuadrática canónica es de la formaQ(x) = t, con n = Dim E. i=! ¿ Matriz simétrica asociada aQ? 362 Capítulo 7-2 ¿ Ecuación característica y valores propios? I l-A21 2l-A = o ~A =-l,A =3. ¿Matriz diagonal equivalente A? ¿ Subespacio asociado aA= -1 ? ¿ Base del subespacio asociado aA=-1 ? {(l,-1)}. ¿ Subespacio asociado aA = 3? • ¿ Base del subespacio asociado aA = 3? {(l,l)}. ¿ Base de [R2respecto a la cual Q se puede expresar como suma de cuadrados ? B'= {(1,-1),(1,1)}. ¿ Expresión analítica de Q en la base B? (xl' X 2 { ~ l~)(:J =- x ~+ 3 x ~~Es correcta la opción B. 363 Definición, propiedades y expresión matricial... 11.La matriz diagonalasociada a forma cuadrática Q : 1R 3 ---tIRdefinida por Q(x l ,x 2 'x 3 )= ax; + 2ax¡x 2 + a x ~+ (a- l ) x ~con a *- O ya*- 1,verifica:A)No existe; B) Tiene por vectores fila(a- 1,0,0), (O,a - 1,0),(0,0, a + 1); C) No es real;D)Ninguna de lasanteriores. ¿ Matriz simétrica asociada aQ? O J O. a-1 ¿ Valores propios dela matriz? a-AaO aa - AO= O =>Al=O;A 2 =a - 1;A3 =2a. OOa-1-A ¿ Es diagonalizable la matriz A? Sí, porque tiene distintos los tres autovalores => La opción Aes falsa. ¿Matriz delaforma cuadrática diagonal asociada? • ( OOO J Oa-lO. OO2a ¿Ecuación delaforma cuadrática diagonal asociada? 364 O a-1 O ~J(;: J= (a - 1) x ~+ 2 a x ~=>LaopciónBesfalsa. 2ax 3 La opción e es falsa siempre para las matrices simétricas. =>Sólo es correcta la opción D. Capítulo 7-2 12.Elrangodelaformacuadráticaestudiadaenelejercicioanteriores: A) 1 sia = 1 ; B) 2 si a = -1; C)3 si a:;t:1 ya :;t:-1; D) Ninguna de las anteriores . •:.Rango de una forma cuadrática Q(i) = Rango de la matriz Aasociada adi- cha forma . •:.El rango de una forma cuadrática Q es un invariante . •:.Invariantesde la forma cuadrática Q : E-? IRsonlaspropiedades de cual- quiermatriz asociada a la forma cuadrática, que no dependen de la base consi- derada en el espacio vectorial E. ¿Rango de A? • aaO IAI=aa O= O =>rg A ~2 =>La opción e es falsa. OOa-l I aoO1= a(a -1) =>rgA =2sia:;t: 1Ya :;t:O. a-l En la opción Aes a = 1 => rg A = 1 Y Aes cierta. En la opción Bes a = -1, es decir, es a:;t:1 ya:;t: O =>Bes cierta. Se podía haber hecho elmismo estudio a partir de la matriz diagonal porque el rangoesuninvariantedeQ,ylamatrizdiagonaleslamatrizasociadaaQ cuando se expresa en la base determinada por los autovectores. 13.La signatura de la forma cuadrática delos ejercicios anteriores es:A)3si a> l;B) 1 sia E(-l,l]; C) Osi a 1? [ OOOJ OpositivoO=> OOpositivo La signatura es 2 => La opción A es falsa. ¿Matriz A cuando a E(-1,1]? • ó OJ=> OOnegativo,positivo ó O Elvalordelasignaturade- pende del punto delintervalo a que pertenece a=>No es correcta la opción B. ¿Matriz A cuando a < -1? negativo O OJ O=> negativo LasignaturaesO =>EscorrectalaopciónC. O 366 Capítulo 7-3 Ejercicios relativos a: 1.La forma cuadrática Q(x¡,X2,x]) = 2X¡X2+ 4x¡x] + x/ - 2x 2 x] es:A)Defi- nida positiva; B) Semidefinida positiva; C) Indefinida;D) A,BY e son falsas . •:.La condiciónnecesaria ysuficiente para que una forma cuadrática sea defi- nida positiva es que todas las raíces características de la matriz Asean positivas. ¿Matriz simétrica asociada a laforma cuadrática dada? ¿Ecuación característica? -A, •1 2 1 l-A, -1 ¿ Valores propios ? 2 -1=0. -A, -A12 1l-A-1=_A 3 +A 2 +6A-8 =(A- 2)(-A 2 -A +4) =O => 2-1-A 367 Clasificación de formas cuadráticas • Hay autovalores positivos y negativos => Es indefinida y es correcta la opción C. .:.A la misma conclusión se habría llegado si se hubiera utilizado otro criterio de clasificación, por ejemplo, el criterio de Sylvester: .:.Criterio de Sylvester 1.La condición necesaria y suficiente para que la formaQ sea definida posi- tiva es que se verifique. > 0, > 0,...,> 0,IAI> O. 2.La condición necesaria y suficiente para que la forma Q sea definida nega- tiva es que se verifique< 0,> 0, < 0,... 3.SiIAI= 0, y se cumplen la condición 1 ó la condición 2 hasta el último distinto de cero, la formaQ será semidefinida positiva o semidefinida negativa respectivamente. 4.En otros casos la formaQ será indefinida o de signo variable. ° 1 lA 1=11 2-1 2 -1= -8; = = 1; =10 1= °=> Esindefinida. ° 2.Utilizando el criterio de Sylvester se puede afirmar que la forma cuadráti- caQ:IR" IR,deexpresiónQ(x), x 2 )= +- 2x)x 2 ,es:A)Semidefinida negativa;B)Semidefinida positiva;C)Indefinida;D)Ningunadelasanterio- res. ¿Matriz simétrica asociada aQ? 368 Capítulo 7-3 ¿ Determinante de A? 1 1 -11 -11 = O =>No puede ser definida positiva ninegativa. Aplicación del criterio de Sylvester. IAI= O;~ l= 111> O =>Es sernidefinida positiva => Es cierta la opción B . •:.Una forma cuadrática Q esdefinida positiva siQ (X)= X' AX > O,x -:;:.o. Enestecasos.eríasuficienteverqueQ(x l ,x 2 )= x; + x ~- 2X I X 2 = (XI - x 2 l que es mayor que O siX -:;:.O,por ejemplo cuando (Xi>X2 ) = (1 , 1). 3.Para que la forma cuadrática Q: 1R2---7IR,deexpresiónQ(x l ,x 2 )= 2 x ~+ + ax l x 2 + 6x;sea definidapositiva elvalor de a debe verificar:A)1a I ~4-J3 . , B)1a 1A = (2a /2) . a /26X 2 a /26 • ¿ Ecuación característica deQ? 1 2-,1,a/21() = (2-A)(6-A) - a 2 /4=,1,2 -8,1,+12-a 2 /4=0. a/26-,1, ¿ Qué condición debe cumplir a para que las raíces de la ecuación sean positivas ? Para que las raíces sean positivas debe ser8 ± ~ 6 4- 4(12 - a 2 /4) > O,o bien, ..J16+a 2 < 8 => a 2 < 48 =>1a 1< 4-J3 =>La opción correcta es B. 369 -- Clasificación de formas cuadráticas 4.Sif: 1R2x1R2~IRes una forma bilineal tal que,f(x, Y) = XIYI- 4XIY2 + 3X2Y2, la forma cuadrática asociada Q es:A)Definida positiva;B)Definida negativa; C) Sernidefinida positiva; D) Sernidefinida negativa; E) Indefinida. ¿ Expresión matricial de f? ¿Matriz delaforma bilineal simétrica que genera Q? Para que fgenereuna formacuadráticadebesersimétrica,esdecir,verificar - 4XIY2 = -2xIY2 - 2xzYI . ( 1 -2). -23 ¿Clasificación delaforma cuadrática obtenida? Ecuación característica:= O ~íl = 2 ± -v 5. 1 1 - íl -21~ -23-íl Como hayautovalorespositivosynegativosla forma cuadrática esindefmida ~Es correcta la opción E. 5.Para que la forma cuadráticaQ(xl'x 1 ,x, ) =x; + 4x; +2X,"+2ax[x 1 +2x[x, sea sernidefinida positiva se debe verificar: A)1a 1= 2; B)a> 1-J21; C)1a 1=-Ji ; D) No esnecesaria ninguna de lasanteriores. ¿ Expresión matricial deQ? 370 Capítulo 7-3 .:.Criterio de Sylvester:Si IAI= O,Y> O, > O,... ,> O hasta el último distinto de cero, la forma Q es semidefinida positiva. ¿Para qué valores dea es IAI= O? 1a1 a4O =-2a 2 +4 102 Para que _2a 2 + 4 = O, a =± 12 Sólo tiene posibilidad de ser correcta la 0e.- ción C, pero hay que ver si se cumple el resto de la condición cuando a = ± "2. ¿Cómo son¿Cómo son A Isia =..Ji ?A i sia = -..Ji ? =111>0 1 :1=0 1-..Ji =0 - = 2 - ..Ji 2 -..Ji4 1 ..Ji11-..Ji1 ..Ji4O =0-..Ji4O =0 1O21O2 Hasta elúltimo distintodecerosonpositivostodosQ essemidefinida positiva para a = ± 12 Sólo es correcta la opción C. 6.Si en un espacio vectorialde dimensión n,rg(Q)esel rango de la forma cuadrática Q, y sig(Q) la signatura de dicha forma cuadrática, entonces se veri- 371 • Clasificación de formas cuadráticas fica queQ es semidefinida negativa si:A)rg(Q)< n ysig(Q) = O;B)rg(Q)= n y sig(Q) = O;C) rg(Q) :;;sig(Q) y sig(Q) :;;O;D)Ninguna de lasanteriores . •:.SiEunespaciovectorialdedimensión n,rg(Q)elrangodela formacua- dráticaQ: E~IR,Y sig(Q)la signatura dedicha forma cuadrática,entonces: Q es definida positiva si:rg(Q) = sig(Q) = n. Q es definida negativa si:rg(Q) = n y sig(Q) = O. Q es sernidefinida positiva si:rg(Q) = sig(Q) < n. Q es sernidefinida negativa si:rg(Q) < n y sig(Q) =O. Q es indefinida si: rg(Q) :;;sig(Q) ysig(Q) :;;O. Esunejercicioteórico, cuya respuestase encuentra en elcriterio expuesto de clasificación de formas cuadráticas por invariantes. =>Es correcta la opción A. 7.La forma cuadráticaQ(xl' x ~ ,x, ) =x ~+ 2 x ~+ 2 x ~+ 4x 2 x,es:A)Definida positiva;B)Semidefinidapositiva;C)Indefinida;D)Semidefinidanegativa. ¿ Expresión matricial deQ? • ¿Rango deQ? 372 1OO O22=OyI~~I:;; O =>rg(Q) =2. 022 Capítulo 7-3 ¿Ecuación característica de Q? 1-)., IA-AlI=O OO 2-).,2= (1 - ).,)(2 - )., ) 2 - 4(1- ).,) = (1 - )., )( -4)., + ).,2) = O O22-)., ¿ Clas.ificación de la forma cuadrática? rg(Q) = sig(Q) = 2 La forma es semidefinida positiva ysólo es correcta la opción B. 8.Para que=+2ax J x 2 sea semidefinida positiva,apuedetomar losvalores:A)±2;B)fi; C)±fi; O)Ninguno delos anteriores. ¿ Expresión matricial deQ? Para que Q sea semidefinida positiva debe verificarse que rg(Q) = sig(Q) = r O,A 3 = -2-> O. El mismo resultado se obtendría para a2 = -...Ji. ~Paraal= ±...Jiunautovaloresnuloydospositivos~rg(Q)= sig(Q)= =2< 3 =n. ~La forma es semi definida positiva y sólo es correcta la opción C. 9.La forma cuadrática estudiada en los ejercicios11,12 Y 13de cap.7-2 es: A) Definida positiva si a > 1;B) Definida negativa si a < -1; C)Semidefinida positiva si a = 1; D) Semidefinida negativa si a =-1; E) Indefinida en los de- más casos. Valor de aSignaturaRangoTipo de forma a>12 0, 2x + Y ::;0, x~0,y~O:A)Tienesolución;B)Elconjuntofactibleeselvacío;C)Tiene restriccionessuperfluas; D) Ninguna de las anteriores. ¿ Gráfico de las regiones definidas por las restricciones 1. Capítulo 8-2 10 2x + y$ O -10-8-6-4- 2o' \ . ~210 - 2~ -4 -8 - 10 10 - 10-8-6-4-2O-6-4-2O -2-2 -4-4 -6-6 • -8-8 - 10- 10 Nohaypuntos comunes a todaslas regiones(la primera restricción es estricta y el punto (O, O)está excluido) ~La región factiblees el conjunto vacío. ~EsciertalarespuestaB,y, Afalsaporqueelproblemanotienesolución. Ninguna restricción sobra porque el conjunto factible varía siquitamos alguna de ellas ~e es falsa. JUl - Resolución geométrica del problema de la programación ... 5.El problema MaxF = 2x - 5y sujeto a las restricciones x + y ~0, x ~0,y ~o: A)Tiene soluciónóptima;B) Elconjunto factibleeselvacío;C) Tiene restric- cionessuperfluas;O)Ninguna delas anteriores. Este caso es muy parecido al del ejercicio anterior, pero se ha eliminado la res- tricción 2x + Y ::; °y el punto (0, O). -10-84_-- 6810 -- --6 -8 -10 • Observamos que la restricción x + y ~°sobra (como se observa en la gráfica), es decir, no modifica la región definida por x ~0, y ~0, e es cierta. =>La región factible resultante es el primer cuadrante, y B es falsa. Sirepresentamosgráficamentelaregiónfactibleylasfunciones2x - 5y = k, vemos que siempre hay puntos en el conjunto factible que hacen que ksea tan pequeño y también tan grande como queramos. Por esto, no se alcanza el míni- mo de la función objetivo nitampoco el máximo => A es falsa. Capítulo 8-2 6.Elproblema deprogramaciónlinealMinF = 2x + 3ysujetoalasrestric- ciones x + )' ~O,2x + y ~O,x ~O,Y ~O:A) La solución es O,que se alcanza en (O,O);B)Esunproblema conrestriccionessuperfluas; C) Elconjunto factible eselvacío;D)Ninguna de lasanteriores. Elconjunto factibleestá formadosólo por el punto (O, O).En este punto tene- mos que F = O.Por tanto, la función objetivo, sujeta a las restricciones tiene su "."'" ""'" ".""'"" ' ~ " - 10-8-4 - 2o........2 x + y ~ O ~",.... , ............... - 10 10 • x?O - 10-8-6-4- 2O - 2 -4 -6 -8 - 10 10 2x+ySO 10- 10~10 10 y ~ O 10- 10-8-6-4- 2O10 - 2 -4 -6 -8 - 10 J99 -- Resolución geométrica del problema de la programación ... mínimo y sumáximo en (O,O) . A es cierta y C es falsa. Además, por ser las va- riablespositivas,laprimerarestricciónesredundante=>LaopciónBcierta. 7.Elvalor óptimo dela funciónobjetivo delsiguiente problema de programa- ción linea:Minz = x - 3ysujeto a lasrestricciones x + y.::; 4, x - 2y .::;1, x,y ~O es:A)z = 1; B) z = -12; C)No existe,porquelaregiónfactibleesnoacotada; D) Ninguna de las anteriores. _- 2----- 3 Setratadeunproblemaenel plano,quepodemosintentar re- solvergeométricamente.Repre- sentamos gráficamente la región factible,esdecir,laregióndel planodelimitadaporlasrestric- cionesdelproblema.Losvérti- ces de esta región son los puntos (O,O),(0,4), (3,1) Y (1, O)Y ob- servamos que esta región es con- vexayacotada=>La opciónC no es cierta. Además,elóptimosevaaal- canzarenunodelosvértices •delconjunto.Pararesolverel problema, bastará determinar los vértices y obtener el valor de la función en di- chos puntos. Como también hemos representado las rectas de la formay = ~+ k , en la grá- 3 ficaobservamosqueelmenoryelmayorvalor dek sevanaalcanzar en los puntos (1, O)Y (O,4).Para distinguir dónde se alcanza el máximo y el mínimo, calculamos Capítulo 8-2 VérticeFunción objetivo (1, O)F(I, O)=1 - 3· 0=1 (0,4)F(O,4) = 0-3·4 = -12 Entonces, el mínimo se alcanza en (O,4) Y es z = -12. La opción correcta es B. 8.Elproblemadeprograma- ción linealMin z = 4x - y,cuya regiónfactibleeslarepresenta- daenlagráfica,verifica:A)Es unproblema no acotado con óp- timo; B) Es un problema con re- giónfactiblenoacotadasinóp- timo;C)Elmínimosealcanza enA;D)Ningunadelasante- riores. Como la regiónfactibleesaco- tada,lasrespuestasAyBson falsas.Si representamos la recta y = 4x, observamos que elmíni- mo. sealcanzaráenelpuntoA (será cuandok seamásgrande) y el máximo en elpunto C ~C también es cierta. -1 4x- y = -3/ 4 A' :2 E , {o' -2 .:'4x-y = kD B 5 4x-y =16 395 Resolución geométrica del problema de la programación ... • 9.Elproblema "determinar elvalor mínimo de la funciónz = 20x)+ 30X2y los valoresde(x),Xl)enqueseobtienedichomínimo,sujetoalasrestricciones: x)+ X2::;k,5x)+ lOx2::;200, 4x)+ 2X2::;80,x)O,X20,sik = 40" verifica: A) No tiene solución; B) Tiene una restricciónsuperflua; C) Tieneinfinitas so- luciones; D)Ninguna delasanteriores. Si se representan las desigualdades, como k =40, la primera restricción x)+ X2 ::; k se convierte en x)+ X2 ::;40 Y es superflua puesto que como las variables (x), X2) son positivas entonces x)+ X2 ::; 4x)+ 2x 2 ::;80 XI+ X2 ::;2x 1 + X2::; 40. Por tanto, x)+ X2::;k es superflua ya que no modifica el recinto definido por 5x) + lOx2::; 200, 4xI+ 2x 2 ::;80, x)O,X2°opción B es cierta. (0,20)¿ Región factible? Elpoligonoconvexodevértices (0, O),(0, 20), (40/3), (40/3), (20, O). En dicha región, es evidente que la funciónobjetivoz= 20xI+ 30X2 (representadaenlagráficapara valores de z cada vez mayores)al- canza el mínimo en (0, O)Y vale O. ----'+:-____ Lasopciones Aye sonfalsas. 10.Enelproblema deprogramaciónlineal:"Maximizar f= 10x + 30y,con lasrestricciones-x + 2y::;100,-x + y0,y50,x0,yO",severifica: A)Laregiónfactibleesacotada;B)Laregiónfactiblecontieneal (O,O);C) Existen restriccionessuperfluas;D)No sealcanza elóptimo. Al representar las restricciones vemos que, la región es acotada Aes cierta. Además, existe una restricción y °que essuperflua ya que siy 50 necesa- riamente y 0, por tanto e es cierta. Capítulo 8-2 El punto (O,O)no pertenece a la región factibleporque y ~50, por consiguien- te B es falsa. Paracomprobarsila opciónDescierta,serepresentalaregiónfactibleyla función objetivolOx + 30y =k para valores de k cada vez mayores. La región factible es el convexo acotado cuyos vérticesson (O,50),(lOO,100), (50,50),esclaroque 1 alcanzaelmáximoenelvértice(lOO,100),comose puede comprobar sise calculan los valores de 1 en cada vértice . .f(O,50) =1500,1(100,100) = 4000,.f(50, 50) = 2000. Es decir, el máximo es 4000 y se alcanza en el vértice (100,100). Como conse- cuencia D es falsa . • (0,0) 397 • Capítulo 8-3 Ejercicios relativos a: TIPOS DE SOLUCIONES DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL PUnto solución del sistema de ecuaciones (Incluyendo variables de holgura) NONo es solución ~ ; " ' - - - - - - - lfactible Es solución factible Es solución factible básica no degenerada NO NO No es solución factible básica Es solución factible básica degenerada 399 - Expresión matricial del problema general en nvariables ... • 400 l.Enunproblema de programación lineallasvariables deholgura verifican: A)Son "#O;B)Son ~O;C) Son;:=:O;D) No tienen que verificar ninguna condi- ción . •:.Las variablesdeholgura seintroducenpara convertir lasdesigualdadesen igualdades ypoder escribir elproblema en forma matricial. Además,encualquierproblemadeprogramaciónlineallasvariablesdebían ser mayores o iguales que 0, y esta es una condición que es también válida pa- ra las variables de holgura ~Ces correcta y Bes falsa.Por otra parte, las va- riables de holgura pueden ser °~Aes incorrecta. 2.DadaslasrestncclOnes,deunproblemadeprogramaclOnlineal. XI,X2,X3;:=:0,XI+ X2~3,2xI+ X2- 3X3~2,elpunto (1,0,0,2, O)es:A)Solu- ciónbásica degenerada;B)Soluciónbásica;C) Soluciónfactible;D)Ninguna delasanteriores. Si añadimos variables de holgura (X4,xs)a las restricciones resulta: XI+ X2+ X4= 3, 2x1 + X2- 3X3+ Xs= 2 con XI, X2,X3,X4,xs;:=:O. Por tanto elpun- to(1,0,0,2,O)essoluciónfactibleporqueverificatodaslasrestricciones. Además,es básica porque hay2restricciones y no másde2variables que son positivas. Yesno degenerada porque el número de variables positivas es exac- tamente 2 ~Son ciertas B y C. 3.Dadas lasrestticciones deunproblema de programación lineal. XI+.\"2~3. 2xI+ X2+ 3Xl ;:=:2, XI, X2,X l ;:=:O,elpunto (0,0,1.3,1)es:A)Solución básica no degenerada;B)Soluciónbásica;C)Soluciónfactible;O) Ningunadelasante- nores. Siañadimosvariablesdeholguraalasrestriccionesdelenunciado,resulta XI+ X2+ X4= 3,2x 1 + X2+ 3X3- Xs= 2,con XI, X2X3,X4,X5~O.Por tanto, el pun- to(O,0,1,3,1)essolución factibleyCes cierta. Tiene 3coordenadas positi- vas distintas de O.Como el número de restricciones es 2, no puede ser solución básica, ni solución básica degenerada, luego A y Bson falsas. Capítulo 8-3 4.DadounproblemadeprogramaclOnlinealcuyasrestriccionesson XI+ X}::;4,X}- 2xI¿2,XI.X}¿0,unasoluciónbásicanodegeneradaes: A)(0,1,4, -1); B)(1,1,5, -3); C)(0,4,0,2); D)Ninguna delasanteriores. Si introducimos las variables de holgura X3Y X4,resulta: Lassolucionesbásicasnodegeneradastienensólodoscoordenadaspositivas distintas de °(el número de restricciones es 2). Todos los puntos delsistema, sin considerar las que tienen coordenadas negati- vas, sonsoluciones, lasdos primeras opciones,(0,1, 4, -1) Y (1 ,1, 5, -3), no sonfactibles(unacoordenadaesnegativa),por loquetampocosonbásicas. La respuesta C,(0,4,0,2)sí escorrecta porque essoluciónfactible,básica (notienemásde2 coordenadaspositivas)yesnodegenerada (tiene exacta- mente 2). 5.Dadoelsiguienteproblemadeprogramaciónlineal:"Calcularelmax z=5xI+2Xlconlasrestricciones:3x,+5x}::;15,lOx,+4x c ::;20, XI~0,Xl¿O".Convertimoslasdesigualdadesenigualdadesmediantelasva- riables deholgura x, y X.¡y escribimos elproblema enformamatricial.Se pide e l e g i ~lasaflrmacionescorrectasdeentrelassiguientes: A)Elvector decostes es(5,2);B)Elvectordecosteses(5,2,0,O);C)Nopodemosdeterminarel vector de costes sinmásdatos;O) Ninguna de lasanteriores . •:.El vector de costes es una matriz fila cuyos términos son los coeficientes de lasvariables enla funciónobjetivo o de costes. Como haydosrestricciones,se añadendosvariablesdeholgura, X3Y X4,antes deescribirelproblema enformamatricial.La funciónobjetivoresultantees 5x,+ 2x 2 + OX3 + OX4Y el vector de costes es (5, 2, 0, O):::::}B es correcta. 401 - Expresión matricial del problema general en n variables ... 6.En elproblema anterior: A)La primera columna de la matriz de las restric- ciones corresponde a la primera restricción;B) La primera filadelamatriz de lasrestriccionescorresponde alaprimera restricción;C) La matrizdelasres- tricciones tiene 2 columnas y 4 filas;D) Ninguna delas anteriores. ¿ Expresión matricial del problema? Para expresar elproblema enformamatricialhayque introducir lasvariables de holgura X3 y X4. Las restricciones iniciales se transforman en 3xI + 5X2 + X3 = 15, lOxl + 4X2 + X4= 20, con XI, X2,X3,X4~O.Entonces, podemos escribir en forma matricial las restric- ciones y la funciónobjetivo como = ( ~ ~ ) • { Maxc·x ~- Ax=b Vemosquelaprimerafilade Acorrespondealaprimerarestricción~Aes falsayBcierta.Además,Atiene2filasy4columnas(esdedimensión mx(n+ m),sines el número devariablesiniciales y m elderestricciones)y C no es cierta. Capítulo 8-4 Ejercicios relativos a: 1.De entre los siguientes conjuntos puede ser conjunto factible de unproble- madeprogramaciónlineal:A){(x,y,Z)EIR':x+ y+ Z~3,x,y,z2':O}; B){(x,y,Z)EIR': Z =O, x+ y= 2, x,y,Z 2':O};C){(x,y,Z)EIR': Z = 2, Y = 3, x2':O}; D) Ninguno delosanteriores. Un conjunto factible debeser convexo.Este tipo de problemas se puede resol- verdedosformas.Gráficamente,cuandoelnúmerodevariablesesmenoro igual a 3, y analíticamente. El primer conjunto z {(x,y,Z)E1R 3 : x + y + Z ~3, x, y,z 2':O} es un tetraedro y por tanto unconjun- toconvexo.Eslainterseccióndeun(0,0,3) semiespacio conuncuadrante, véase figur. Elsegundo conjunto también es con- vexoporserlainterseccióndedos convexos(planos)ypor tantoambos puedeserconjuntosfactiblespara ciertosproblemaslineales(loscon- juntos definidos por restricciones de- ben ser convexos). x El conjunto{(x,y,z)E1R 3 :Z = 2,Y = 3,x2':O}tambiénesconvexoya que es una semirrecta. Por tanto A,B Y e son ciertas. 409 - Conjuntos convexos 404 .:.Otra formadeprobarsiunconjunto esconvexoes,comprobar quesidos puntos cualesquiera que están en el conjunto, entonces el segmento que los une también está, es decir, todas las combinaciones convexas de los dos puntos per- tenecen alconjunto. Veamos que el conjunto del apartado A,{(x, y,Z)E1R 3 : x + y + Z :::;3, x,y,Z O} esconvexo:Sean(x,y,z),(x',y',z')EAdospuntoscualesquiera,esdecir, x + y + Z :::;3, x, y,z °y x' + y'+ Z':::;3, x',y',z'O. Sea A E[O,1]tenemos que comprobar queA(x,y,z) + (1- A)(x',y',z')EAo lo que esequivalente(Ax + (1- A)X', Ay + (1- A)Y', Az + (1- A)Z') EA. En efecto, como faltaprobar Ax+(1- A)x'+Ay+(I-A)y'+Az+(1- A)Z':::;3, Ax +(1- A)X'+AY + (1- A)Y'+Az +(1- A)Z'= = A(X+ y+z)+(1- A)(X'+Y'+z'):::; A3+(I- A)3 = 3 Para elconjunto deB.Sean (x,y,z),(x',y',z')EB dospuntoscualesquiera, es decir, Z = 0, x + y = 2, x,y,Z °y z'= 0, x' + y'= 2, x', y',z'O. Sea A E[0,1]Y veamosque(Ax+(l-A)x',AY+(1-A)y',Az+(1-A)Z')EB.Esobvioque Az + (1- A)z'= °yque el resto de coordenadas son positivas. Además por ser x + y = 2 Y x' + y' = 2 se tiene que Ax + (1- A)x' + Ay + (1- A)y'= 2. Para el conjunto C se razona de manera análoga. 2.Consideradoslosconjuntos:I 1 ={(x,y)E1R2:x"+/=25}, 1 2 = {(x,y)EIR":x"+ l:::;25},1,= {(x,y)E1R2: x+ y0,x- yO}. 14{(x,y)E1R2: x = y}. Elíjanse lasafirmaciones ciertas de entrelassiguientes: A)/1e sonconjuntosconvexos;B)/"e1,sonconjuntosconvexos; c) h esonconjuntos convexos; D)Ninguna delasanteriores . •:.Dibujaremoslosconjuntosyveremosgráficamentesicualquiersegmento de extremos dos puntos cualesquiera del conjunto está dentro del conjunto, que es la definición de conjunto convexo. Capítulo 8-4 1 1 4 -2 -4 1010 lo-10-8-6-410 -4 -6-6 - 8-8 - 10-10 Vemosque1,esunacircunferencia,1 2 esuncírculo,hesunaregióndel plano e 14esuna recta. Se observa que 1,no es convexo, porque al unir dos puntoscualesquieradelacircunferencianosdaunacuerda,quenoestá contenida en la circunferencia.El círculo sí es un conjunto convexo ytam- biénlo esla regiónsombreada que define hElconjunto hesla bisectriz delprimercuadrantequetambiénesunconjuntoconvexo~BY eson ciertas. 405 - Conjuntos convexos 406 3.Escierto que,enlarecta realIR:A)Losúnicosconjuntosconvexos,ade- másdeelconjuntovacio,sonlosintervalos;B) Losúnicosconjuntosconve- xos,además del conjuntovacío,sonlosintervalos de laforma[a,b l,a,bEIR; C)Si xEIR, xes convexo; D) Ninguna de lasanteriores . •:.Por la propia definición de conjunto convexo,dadosdos elementos cuales- quiera, el segmento que los une debe pertenecer al conjunto ~A es cierta. Por tanto en IR,dados dos elementos de IR,es decir, dos números reales, el seg- mento que los une (es decir,el intervalo del que son extremos) debe estar en el conjunto.Consecuentemente,losúnicosconjuntosconvexosademásdelcon- juntovacio,sonlosconjuntosdelaforma,(a,b),[a,b),(a,bl,[a,b],para a,b EIR,Y también los intervalos no acotados, es decir, con extremos +00 o -oo. Luego B es falsa.Ces cierta porque un punto siempre es convexo. Observación:un punto es un intervalo cerrado cuyos extremos coinciden. 4.Es cierto que siA,B~IR"son conjuntos convexos:A)Siempre elconjun- toA n B (no vacío) es convexo; B) El conjunto AUB es convexo; C) Si A~B entonces A UB es convexo siempre; D) Ninguna de las anteriores . •:.Sidosconjuntossonconvexosentonces,elconjuntointerseccióntambién lo es . • En efecto, si A,B~IR n son conjuntos convexos como el conjunto intersección es An B = {x: xEA,xEB}, es claro que,sidos puntos pertenecen ala inter- sección también pertenece aella cualquier combinación convexa de ellosdos, por ser cada conjunto convexo ~A es cierta. LaopciónBesfalsayaqueyasiconsideramosen1R2losconjuntos A={(x,y):x+y=O},bisectrizdelsegundoycuartocuadrante,e B= {(x,y):x- y= O},bisectrizdelprimerytercercuadrante,ambos son convexos pero la unión AUB no lo es. Sin embargo Ces cierta porque si A~Bentonces AUB= Bque esconvexo por hipótesis. Capítulo 8-4 5.Seaunconjunto A~IR"entoncesseverifica que:A)Sipara todoA ~O Y cada a EAse tiene queAaEA entonces A es convexo; B) Si dados a,b EA fijos se verifica que a + b EAentonces A es convexo; C) Sise verificanlas condicio- nes de los apartados A yB entonces A es convexo; D) Ninguna de las anteriores. La condición que cumple elconjunto delapartado Anoessuficiente para ser conjuntoconvexo.Paracomprobarloanterior,bastaconsiderarunconjunto que cumpla la condición y nosea convexo. Consideramos elconjunto Ade 1R2 formado por los ejes coordenados (x = O, Y = O)entonces este conjunto verifica la condición para todo A ~O Y cada aEA se tiene queAaEApero elconjunto no es convexo. La opción B es falsa porque el conjunto{a, b,a + b } verifica la condición dada peronoesconvexo porqueAa+ (l - A)bé{a,b,a+ b}para todoA E[O,1]. Pero la opción C es cierta, es decir, A cumple i)Para todo A ~O Y cada aEA se tiene que AaEA ii)Dados a,b EA cualesquiera se verifica que a + b EA entoncesAesconvexo.Enefecto,laopcióni)esequivalenteaque AA = {AalaEA}~A Y la opción ii) es equivalente aA +A = {a + a'la,a'EA}~A. Por lo tanto, es fácilcomprobar que sia, b EA entonces Aa+(l-A)bEA y ~que por i)Aa y (1- A)b pertenecen aA y por la opción ii) Aa + (1- A)bEA. 6.SeanE,V,dosespaciosvectorialesy f: E~Vunaaplicaciónlineal. SiA,B~E sondosconjuntos convexos, entoncesno es unconjunto convexo: A)f(A); B) Nucf; C)f(A) nf(B); D) Todos los conjuntos anteriores soncon- vexos . •:.Por ser funa aplicación lineal, transforma convexos a convexos. En efecto,siU, vEAentonces,Av + (1- Á)u EA. Seaf(u),f(v) EfeA)en- tonces?¡(v) + (1- Á)f(u) EfeA)ya que por ser flineal se tiene: 407 Conjuntos convexos ioa f().,V + (1- ).,)u) = }if(v) + (1- ).,)f(U) ypor ser A convexo).,v + (1- ).,)u EA. Luego }if(v) + (1- ).,)f(u) EfeA). Es decir,f(A) esun conjunto convexo y A es falsa. Además,f(A) nf(B) es convexo porque es intersección de conjuntos convexos C es falsa. Nucf = {V EA:f(v) = O}también es convexo porque siV,UENucf, entonces f().,v + (1- ).,)u) = }if(v) + (1- ).,)f(u) = ).,0 + (1- ).,)0 = O. Como los conjuntos de todas las opciones son convexos D es cierta. 7.De los siguientes conjuntos, son convexos: A) E+X 2 2 < 2}; B)+X 2 2 =2};C)+x/>2}; D)Todos los conjuntos anteriores. Elúnicoconjunto convexoes Aporqueesuncírculosalvosucircunferencia (ver Figura,a).Elconjunto +X 2 2 =2}esuna circunferen- cia y obviamente no es convexo porque elsegmento que une dos puntos es una cuerdaypor tantonopertenecealconjunto(verFigura,b).Por otrolado,el conjunto +x/>2}eselcomplementariodeuncírculoy aunque (0,3) Y (0, -3) pertenecen alconjunto existen puntos de la combinación convexade(O,3)Y (0,-3) quenopertenecea{(XI'X 2 )E +x/> 2} , por ejemplo el punto (O,O)(ver Figura, c). Capítulo 8-4 ".,.;¡- -'-'" ,t'\ :\ .. -3-'i-3 . -3-3- 3 abe 8.EltriánguloABedevérticesA(2,1),B(1,3)Y e (2,5),esunconjunto convexo.Lasecuacionesdelconjuntodesemiplanosquelodefinenson: A) Y S2x + l; xS2; Y S-x + 5;B) Y S2x + l; x22; Y S - x + 5;e) y S2x - l; x - 2 S O;y 2 -2x + 5;D)Ninguna de lasanteriores. La forma de resolver este problema es determinar la recta que pasa por dos vér- ticescualesquieraydeterminarenquésemiplanoestá elotrovértice.Sieste proceso serepite para todoslosvértices elegidos de 2 en 2, tenemos las ecuacio- nes pedidas. La recta que pasa por A y B es y = -2x + 5 Y1puntoequedaenelserniplano y2-2x+5. Por BY e pasala rectay= 2x + 1Y el punto Apertenece a y S 2x + 1. yporlospuntoseyApasalarecta x = 2, quedando el vértice B en el sernipla- noxS2.Porlotanto,lasdesigualdades quedefinenel conjuntoson:y2-2x + 5, Y S 2x + 1, xS 2 =>D es cierta. B ,' ,' ': y y =2x +}/:e ./: /: l: ,, ..' ,' l: i x=2 A y=- 2 ~+ 5 x 409 Conjuntos convexos 410 9.Elnúmerodevérticesquetienelaregiónconvexade[R2definidaporlas restricciones 2x + 3y ~O,3x - y - 8 :::;O , es: A)1;B)2;C) Ninguno. 3x - y- 8 = o (24/11. -16/11 ) Sirepresentamoslaregiónque detenrunanlasdosrestriccio- nesseobservaquelasrectas 2x+ 3y=Oy 3x-y- 8 =0 se cor- tanenelpunto(24/11,-16/11), (bastaresolverelsistemaque aparece)elcualeselvérticede la región convexa dada. ~Es cierta la opción A. 10.Sik Es cierta A y el vértice es el corte de la recta 3x - y - 8 ~°con el eje de abs- cisas, es decir, el punto (8/3, O). 11.Sikesunnúmeroreal,entonceslaregiónconvexa definidaporlasres- tricciones kx + Y ~0,2x + Y ~0,x ~0, y ~°verifica: A)Siempre tieneunúni- co vértice; B) Para k < 0, esuna regiónvacía; C) Para k ~°larestricción kx + Y ~°es superflua; D) Todas lasanteriores son falsas. Es fácilcomprobar que la región definida por las restricciones x~0, y ~0, pri- mer cuadrante, coincide con la definida por lasrestricciones2x + Y ~0,x~0, y~0, por tanto, la restricción 2x + Y ~°es superflua. Para k ~0,la recta kx + Y = 0, es decreciente yvaría en los cuadrantes 11y IV. Además,elprimer cuadrante, x~0, y ~0,está enteramente contenido en else- miplano kx + Y ~°Y por tanto C es cierta. La opción B es falsa,ya que para k < °la recta kx + Y =°es creciente y varía en los cuadrantes 1 y ID,luego la restricción kx + Y ~°no es superflua y la región considerada no es vacía. Aes cierta,ya que,aunque la regiónvaríaconcada valor dek,siempre tiene como único vértice (0, O) . • 12.Si a y b son dos números reales mayores que 0, entonces la regiónconve- xadefinidaporlasrestriccionesax + hy~0,x- y~0,x~0,y~°verifica: A)Siempre tieneunvértice;B)Esunsegmento para a= b;C) Esnoacotada; D) Ninguna delasanteriores. Sintenerencuentalarestricciónax+by~0,laregióndefinidapor x - y ~0, x~0, y ~°es la de la figura. Comoporhipótesisb>0,larestricciónax+by~0,esequivalentea a - x + y ~ O . b 411 Conjuntos convexos Por otrolado,aybsondosnúmeros realesmayoresqueO luego,lasrectas de la forma~x + y = O son decrecien- b tesyvaríanenloscuadrantesIIyIV. Ademáslossemiplanosdelaforma ~x + y ~Osiempre contienen a la re- b gión definida por elresto de restriccio- nes,esdecir,laregióndelafigura. Las opciones A y C son ciertas porque ax + by ~O (es superflua) no modifica la región definida por x - y ~O, x ~OY ~O Y la región no está acotada. B esfalsaya que para a = b,la restricción ax + by ~O essuperflua y la región que determina no es un segmento sino la región de la figuraanterior. 13.Elconjunto factibledeunprograma deprogramaciónlinealdebeserun conjunto: A) Convexo; B) Acotado;C) Convexo y Acotado; D)Puede estar de- finidopor másrestricciones delasnecesarias . • •:.El conjunto factiblesiempre es un conjunto convexo ~A es cierta . •:.El conjunto factible no es necesariamente acotado.Pero si es acotado pode- mosiempre determinar elóptimo,talcomo enuncia el Teorema Fundamental de la Programación Lineal ~B Y C son falsas . •:.Algunas de las restricciones que delimitan el conjunto factible puede ser re- dundantes ~La opción D es correcta. Capítulo 8-5 Ejercicios relativos a: 1.La cantidad óptima ainvertir encada fondodelejercicio1 delcap.8- les: A)x = 5000; B) x = 2500, Y = 7500;C) x= 7500, Y = 2500;D)Ninguna delas anteriores. El problema, tal como se vio en6000 el ejercicio 1 es MaxF=8x+5y x- 3y x, Vamosa resolverlo determinan- dolosvérticesde la región fac- tibleyaplicandoelTeorema FundamentaldelaPrograma- cion Lineal . •:.Toda funciónlinealF defini- -2000 8000 8x + 5y = o da sobre un conjunto poligonal convexo ey acotado toma sus valores máximo y mínimo sobre los vértices de dicho conjunto. Comoseapreciaenlagráficadelaregiónfactible,susvérticesson(O,O), (5000, 5(00) Y (7500, 2500). En estos puntos, la función objetivo vale respecti- vamente O,65000 Y 72500. Y para obtener el máximo beneficio con los fondos de inversión tenemos que invertir 7500 €en el fondo Ay2500 en B. Elbene- ficio que obtenemos es 725 € . La solución correcta es C. 413 TeoremaFundamental de laProgramación Lineal 414 .:.Este problema lopodíamos haber resuelto aplicando elmétodo gráfico.En la figurase ve que la solución obtenida es la solución óptima. 2.Conlosmismosdatosqueenelejercicio5delcap.8-3,severifica: A)(2,0, 0, O)esuna solución factible básica; B)(3,1,2, O)esuna soluciónfac- ti ble básica;C) Cualquier punto que pertenezca alsegmento[(,J. (2, O)1 essolución óptima; D)Ninguna de lasanteriores. El ejercicio queda planteado como Max F= 5x¡ + 2x 2 3x¡+ 5 X2+ X3= 15 lOx¡+ 4 X2+ X4= 20 Como tenemos dos restricciones y (3, 1, 2, O)tiene tres componentes positivas, nopuedeser soluciónbásica, ademásnisiquiera esfactible.(2,0, 0,O)tiene menos de doscomponentes positivas, pero no verifica la primera restricción y, por lo tanto, no es solución factible. Para determinar sicualquier punto delsegmento[(20/19, 45/19), (2,O)]esso- lución óptima, podemos resolver el problema geométricamente. En la figura se ..hanrepresentadolaregiónfac- "5tibIe, las restricciones y elvérti- (2iJ/{9,45/J9) = 20 1,5"o2'"2\5 ce(20/19,45/19).Lafunción objetivoestárepresentadapor lasrectaspunteadas.Observa- mosqueelóptimosevaaal- canzarenlospuntosdelseg- mento[(20/19,45/19),(2,O)]. La respuesta C es correcta. Capítulo 8-5 3.Elproblema Min F = 2x + 3y sujeto a las restricciones x + y? O,2x + Y ~O, x?O,Y ?O:A)Notieneningunasolución;B) Tienerestriccionessuperfluas; C) El conjunto factible es elvacío;D)Ninguna delasanteriores. El conjunto factibleestá formadosólopor elpunto(0,O).Por tanto, la función objetivo alcanza su mínimo en (0, O). A Y e son falsas. Además, por ser las varia- bles positivas, la primera restricción es superflua => B es cierta. 4.Elproblema Max F = 2x - 5y sujeto a lasrestricciones x + )' > 0, 4x + 2y ~O, x? 0,Y ~O:A)Tienesolución;B)Elconjuntofactibleeselvacío;C)Tiene restricciones superfluas;D)Ninguna de lasanteriores. En este caso el conjunto factible es el vacío y Bes cierta. Entonces,por notener puntoselconjuntofactibleelproblema notienesolu- ción, la opción A es falsa. Ningunarestricciónesredundanteporqueelconjuntofactiblevaríasiquita- mos alguna de ellas luego e es falsa. 5.SielmínimodelafunciónobjetivosealcanzaenlospuntosPIyP 2 ,en- toncestambiénsealcanza:A)EncualquiercombinaciónlinealdePIyP 2 ; B) En cualquier combinaciónlineal convexa de PIyP 2 ;C) Encualquier vérti- c e ~ D )Ninguna de las anteriores . •:.Si el óptimo se alcanza en dos puntos, también lo hace en cualquier combi- nación lineal convexa de ellos, como es un segmento => Bes cierta. La opción A es falsa,el teorema fundamental de programación lineal no asegu- ra que se alcance en cualquier combinación lineal(sólo en las convexas), por- que si ésta no es convexa, los puntos pueden no estar en la región factible. Así mismo,queelmínimodela funciónobjetivosealcanceendospuntosno significa que se deba alcanzar en todos los vértices; esto sólo ocurriría si los vér- tices se pudieran expresar como combinación lineal convexa de ellos: e es falsa. 415 TeoremaFundamental de laProgramación Lineal 416 6.Enunproblema deprogramación lineal: A) La funciónobjetivo siempre al- canza elvalor óptimo; B) Aunque elconvexo factible sea de área infinita, elópti- mode la funciónobjetivo puede ser finito;C) Aunque elconvexo sea deáreafi- nita,elproblema puede tenerinfinitassoluciones; D)Ninguna de lasanteriores. Aesfalsa,la TeoríadeOptimización estudia loscasosenlosquela función objetivoalcanza elvalor óptimoyen losque estese puede determinar,como ejemplo, el ejercicio 4 de cap.8-2 no tiene solución. B es cierta. Por ejemplo, si consideramos el primer cuadrante como región fac- tible la función objetivo F = x + y alcanza el mínimo en el origen. Cescierta,porque sielóptimo sealcanza en dosvértices PIY P 2tambiénse alcanza en cualquier combinación convexa de ellos, luego se alcanza en infini- tos puntos. 7.El problema MinF = 2x + 5y sujeto a las restricciones x + y ~0, x ~0, y ~O: A)Tieneunaúnicasoluciónóptima;B)Tieneinfinitassolucionesóptimas; C)No tiene solución;D)Ninguna de las anteriores. La región factible es parecida a la del ejercicio 4 de cap.8-2:es el primer cua- drante, que es de área infinita.Sin embargo, la funciónobjetivo es distinta y se 4 ~ ~__________~____~ • - 1 o 24 pide determinar el mínimo. Para en- contrar la respuesta correcta, vamos aresolvergeométricamenteelpro- blema.Enla figuraseharepresen- tado la región factibleyrectas de la forma 2x + 5y = k para k un número real.Se observa que unvalor extre- mo,omínimoen este caso,sevaa alcanzar en (0,O).Como la función en este punto vale 0, y este es elmí- nimovalorquepuedealcanzar (porquex~0,y~O),entonces (O,O)es la solución buscada. LaúnicarespuestacorrectaesA. Capítulo 8-5 8.En elproblema: "Calcular elmínimo delafunciónz= 20x + 30y sujetolas restricciones: x + y ~A,5x + IOy~200, 4x + 2y ~80, x,y ~O",siíl E[80/3, +00), el valor IlÚnÍmO: A) Es 2; B) No se alcanza; C) Es O;D) Ninguna de las anteriores. Representamoslaregiónfactible para íl ~80/3 (las rectas x + y = íl se representan en línea continua). Observamosquesiíl ~80/3la pri- mera restricción se convierte en res- tricciónsuperflua,puestoqueno modifica elrecintodefinidopor las otras restricciones. Laregiónfactibleeselpolígono convexodevértices(O,O),(O,20) (40/3,40/3) (20, O). Endicha región,esevidenteque,z alcanzaelmínimoen(O,O)Y vale O.(Se puede comprobar en la repre- sentacióngráficadela funciónob- jetivo, en línea discontinua) . • tir. o. 20x+3Oy=k 1040 9.Enunproblema deprogramaciónlinealelconjuntodesoluciones:A)No puedeservacío;B)Puedeestardefinidopormáscondicionesdelasnecesa- rias;C) Nosiempre está acotado;D)Ninguna delasanteriores. Anoescorrecta.Porejemplo,enelproblema:MaxF= 5x+ 2y,sujetoa -3x + y~2, x, y ~O,el conjunto factibleno está acotadoy la funciónobjetivo noalcanza su máximo,por tanto el conjunto de soluciones es elvacío.O bien sielconjuntofactibleeselvacíotambiénelconjuntodesolucionesseráel vacío,comosucedeenelsiguienteejemplo:ÓptimoF= 5x+ 2ysujetoa, 3x + y~O,3x + y~2, x, y~O,la primera restricción y la segunda son exclu- yentes. Yla región factible es vacía. 417 TeoremaFundamental de laProgramación Lineal 418 La opción B es correcta; esel caso en que alguna restricción es superflua. El conjunto factible puede estar, o no estar, acotado ~C escierta. 10.Elsiguiente problema de programaciónlinealMinF = 3x + y sujeto a las restricciones 2x + 3y ~3,3x + y ~3, x,y ~O:A) Tiene una única solución ópti- ma;B) Tiene infinitas soluciones óptimas;C) No tiene ninguna soluciónfacti - ble; D)Ninguna delasanteriores, 2,5 1,5 0,5(6/1,3íl) ° 0,5 • (312,0) 1,5 Pararesolveresteejercicioste- nemosqueencontrarlassolu- cionesdelproblemadeprogra- maciónlineal.Loharemos aplicandoelTeoremaFunda- mental,paraloquedetermina- mosprimerolosvérticesdel convexosolución.Representa- mosgráficamentelaregióny observamos que los vértices son (1 , O),(3/2, O)Y (6/7, 3/7). Comolaregiónfactiblenoes vacía,larespuestaCesfalsa . Por el Teorema Fundamentalsabemosque elnúnimose alcanza enunoo va- F(l,O)= 3,F( %,0) = ~ , riosdeestosvértices.Determinamosencuál(es) F ( ~l)=3. 7'7 Como elmínimo se alcanza simultáneamente en (1,O)Y (6/7, 3/7) entonces, se alcanza en todoslos puntos del segmento comprendido entre ellos. Hay infini- tassoluciones y la única respuesta correcta es B. 1 J .Consideramosel 4 blema de programación aldondesetratademinimi- zarlafunciónobjetivoMax z = 3x - y para laregiónfac- tiblerepresentadaenlagrá- fica,entonceselóptimose alcanza: A) En P y Q;B)Só- loenQ;C) NienelpuntoP nienelpunto Q;D) Ennin- guno de las anteriores. Enlagráficasehanrepre- sentadotambiénrectasdela forma 3x - y = k para k E O' Capítulo 8-5 246 Para saber sik aumenta o disminuye, nos fijamosen la gráfica de3x - y = O Y elegimos unpunto de uno delossemi espacios que define, por ejemplo el pun- to(2,0) entonces 3.2 - O = 6 y por tanto k aumenta. Luego, el máximo se alcan- za en el punto R=>La respuesta correcta es C. 12.ElsiguienteproblemaMinF= 2x- 3y+ Zsujetoalasrestricciones 2x + y + Z6,x+ y + ZO,x,y,ZO:A)Tieneunúnicovérticeóptimo; Tienedosvérticesóptimos;C)Losóptimossealcanzanenunsegmento; D)Ninguna de las anteriores. Para resolver el problema aplicando el Teorema Fundamental, primero debemos determinar los vértices de la región factible.Observamos que la segunda restric- ciónesredundante,porquesix,y,ZO entoncestambiénserá x+ y + z O. Luego las región factible está delimitada por 2.x + Y + z 6, x, y,z ;:::O. Los vér- tices de esta región son los puntos de intersección del plano 2.x + Y + Z = 6 con los ejes de coordenadas, junto con el punto de intersección delos planos x = O, Y = O Y z = O.Estos puntos son (3, O,O),(O,6, O), (O,O,6)y (O, O,O) . Para de- terminar dónde se alcanza el mínimo,tenemos que calcular elvalor de la fun- ción objetivo en estos puntos 419 TeoremaFundamental de laProgramación Lineal F(0, 0, O)=° F (3,0, O)= 6F (0,6, O)= -18F (0,0,6) = 6 =>El mínimo se alcanza en (O,6, O)Y sólo hay un vértice óptimo, que es dicho , punto. Aes correcta y las otras respuestas son falsas. 13.En unproblema de programación lineales cierto que: A)Cuando elcon- vexo de soluciones es acotado, la funciónobjetivo puede alcanzar elóptimo en unpuntointerior;B)Cuandoelconvexodesolucionesnoesacotado,lafun- ción objetivo puede noalcanzar elóptimo en elconjunto; C) Cuando el conve- xo de soluciones no es acotado elóptimo puede estar en alguno de los vértices; D)Ninguna de lasanteriores. Si elconvexo solución esacotado, la funciónobjetivo debe alcahzar el óptimo en un vértice o en el segmento que une varios vértices, luego Aes falsa. Cuando elconvexodesolucionesno es acotado,la funciónobjetivo puede no alcanzar el óptimo en el conjunto, como se mostró en el ejercicio 5 del cap.8-2 =>B es correcta. Es cierto que, aunque el convexo de soluciones no sea acotado, el óptimo pue- de estar en alguno de los vértices por tanto, Ctambién es correcta. •14.Siay b son dos números reales tales que a > 1 > b > 0, es cierto que en el problema MaxF = x + ysujetoalasrestricciones ax + by ~2,x~0, y~°su óptimo se alcanza en: A) x =0, y =2/b;B) x =2/a, y = O;C) El óptimo no se al- canza nunca; D) Ninguna de las anteriores. El óptimo se alcanza en los vértices del conjunto factible. ¿ Vérticesdelaregión factible? 410 Al hacer la intersección de las rectas ax + by =2, x =0, y =0, que delimitan el conjunto factible.Se obtienen(0,O),(2/a,O)y(0,2/b).Elvalor de F en estos puntos es: Capítulo 8-5 F(O,O)= O,F(2/a, O)= 2/a, F(O,2/b) = 2/b. Como a > b, entonces 2/a < 2/b Y el máximo se alcanza en (O,2/b). Es correcta A. 15.Seanaybdosnúmerosrealespositivos.Enelproblemadeprograma- ciónlinealMaxF=.ax- ysujetoalasrestriccionesx+by~1,x~O, Y ~O,severifica:A) Elvalor óptimo de la funciónobjetivo es a; B) La región factible esno acotada yelóptimo no existe; C) Elóptimo no se alcanza nunca; D) La región factible es vacía; E) Ninguna de las anteriores. ¿ Vértices del conjunto factible ? Por el Teorema Fundamental, sabemos que el óptimo se alcanza en los vértices del conjunto factible.Estos vértices son (O, O),(1 , O)Y (O, lIb) . La región facti- ble es acotada =>Bes falsa. Ctambién es falsa como sabemos por el Teorema Fundamental. El valor de F en estos puntos es: F(O,O) = O,F(I,O) = a,F( o,i) = -i· Luego el máximo (a y b son mayores que O)se alcanza en (1 , O)Y es a.La res- puesta correcta es A. 16.En elejercicio 6delcap.8-1,referente a una fábricade juguetes, ¿cuántas \JIlÍdadesde cadaproducto sedebenproducir eneldíaparaminimizarlosgas- tos?: A) No se puedendeterminar; B) La solución óptima no existe; C) La solu- ción óptima no es única; D) Ninguna de las anteriores. Tenemoselproblemadeprogramación 4 lineal:Min z = 4xI+ 2x 2 sujetoa las res- 3 (3,3) tricciones:20xI+ 40X2 = 180, XI ~X2, X" X 2 ~ 0 . 2 Noexistenrestriccionessuperfluasyla regiónfactibleesunsegmentodeextre- (9.0) mos (3,3) y(9,0). o24610 421 TeoremaFundamental de laProgramación Lineal 422 AplicandoelTeoremaFundamental,sabemosquelafunciónobjetivo z = 4xI+ 2x 2 toma enlosvértices los valores: z (3,3) = 4.3 + 2.3 = 18, z(9, O)= 4.9 + 2.0 = 36. Por tantoelmínimoexisteyesúnico. Losgastosmínimosseobtienenfabri- cando aldía 3 unidades del producto X y 3 unidades del producto Y. ~La única opción cierta es D. 17.Enelejercicio7delcap.8-1,referenteainversiones:A)Senecesitan cuatrovariablesdeholgura;B)Senecesitantresvariablesdeholgura; C) La solución óptima no esúnica; O) Ninguna de las anteriores. Tenemos elsiguiente problema de programación lineal:Max z = 0,10xl+ 0,07X2 sujeto a las restricciones XI+ X2::;1000, XI::;600, X2~200, XI,X2~O. Añadiendovariablesdeholguraalasrestricciones,seobtieneelsistema: XI+ X2+ X3= 1000, XI+ X4= 600, X2- X5= 200, X2- XI+ X6= O. El n.Ode variables de holgura añadidos es 3 ~B es cierta y A falsa. Para saber sila solución óptima esúnica ono,lomejor es resolver elproble- rryl.Primerose determinanlosvértices(enelejercicio7ya determinamosla región factible)y luego se aplica el Teorema Fundamental. La funciónobjetivo alcanza enlos vértices los valores: z(O,200) = 14, z(O,1000) = 70, z(6oo, 400) = 88, z(6oo,200) = 74. El máximo se alcanza en elvértice (600, 400) Y C también es falsa. 18.Consideramoselproblemadeprogramaciónlinealdelejercicio8de) cap.8-1enelproblema deprogramaciónlinea)queresultaseverifica:A)El máximodelafunciónobjetivoes6000€; B)Lafunciónobjetivoalcanzael Capítulo 8-5 máximosóloenunvértice;C)Elóptimosealcanzasóloendosvértices; D)Ninguna de lasanteriores. Tenemoselproblemadeprogramaciónlineal:"Calcularelmaxde Z = 150xI + 3OOX2 con las restricciones: XI+ 2x 2 ~40, XI~O,X2~O". Sabemosquelosvérticesdelaregiónfactibleson A(O,O), B(0,20)Y C(40,0). También sabemos, por el Teorema Fundamental, que elmáximo se debe alcan- zar en los vértices de la región factible. La funciónobjetivo alcanza en ellos lossiguientes valores:ZA= 0, ZB= 6000 Y Ze= 6000.Por tanto,elmáximose alcanza en losvérticesByCyvale 6000 =>La opción A es cierta y B es falsa . •:.Cuando elmáximosealcanzaendosvértices,significa que,lascurvasde nivelsonparalelasalladodelpolígonoconvexoqueuneesosdosvérticesy portantotieneelmismovaloróptimoparatodoslospuntosdelsegmento =>C también es una opción falsa,ya que el máximo dela funciónobjetivo se alcanza en cualquier punto delsegmento que une B y C. 423 • • Capítulo 8-6 Ejercicios relativos a: ALGORITMO DEL MÉTODO SIMPLEX CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA INICIAL ¿ES ÓPTIMA LA SOLUCIÓN ENCONTRADA? DETERMINACIÓN DE LA COLUMNA PIVOTE DETERMINACIÓN DE LA FILA PIVOTE SÍCONVERSIÓN DE LA COLUMNA PIVOTE EN BÁSICA Fundamentos del Algoritmo Simplex 426 l.El Test de Maximalidad en el Algoritmo Simplex determina: A) La filay la columna pivotes; B) Sihemos llegado o noa la solución óptima; C) Elelemen- topivote; D) Ninguna delasanteriores . •:.El Test de Maximalidad nospermite afirmar,que hemosllegadoala solu- ción óptima, cuando la fila objetivo no tiene valores negativos . •:.La columna pivote es la columna a la que pertenece el elemento más negati- vodela filaobjetivo y, en unpasoposterior,seconvierteencolumna básica. La columna pivote se determina con el elemento másnegativo,no con ningún test. .:.La fila pivote es aquella en la que es mínimo el cociente entre los términos in- dependientesyloselementospositivoscorrespondientesdelacolumnapivote. Luego tampoco la fila pivote se determina con ningún test, sino a partir de unos cocientes . •:.El elemento pivote es el único elemento que pertenece simultáneamente a la columna y a la fila pivotes y tampoco se determina con ningún test. =>Sólo es correcta la opción B. 2.ElAlgoritmo Simplexnotiene relación con elconcepto: A)Pivote; B) Fila objetivo; C) Segmento; D) Ninguna delasanteriores . •::Al resolver un problema por el Método Simplex, hay que determinar una o variasveces el elemento pivote. Además,se tiene en cuenta siempre la fila ob- jetivo.Sin embargo,ningúnsegmentodela regiónfactible(nitampocolare- gión factible)tiene relación con el Algoritmo Simplex.La respuesta C es cier- ta. 3.En elsiguiente problema deprogramaciónlineal:MaxF= XI- 2X2 - 3.1' 1, 2xI- 3X2- 3X.1 S;3,3xI+ X2 - X3S;5, XI,X2,X,~O sisepretende resolver con el Algoritmo Simplex: A)No se puede hacer porque nos debería pedir determinar el mínimo de la función objetivo; B) Hay que introducir 2 variables de holgura: C) No hayqueintroducir nuevasvariables; D)Ninguna de lasanteriores. Capítulo 8-6 Los problemas que se pueden resolver, en principio, por el Algoritmo Simplex, son aquellos en que se pide buscar el máximo de la función objetivo.Si nos pi- dierandeterminarelmínimo,tendríamosquetransformarlo(multiplicando F por -1) en unproblema de máximo =>A no es correcta . •:.Para resolver por el AlgoritmoSimplex,tenemosque transformar lasdesi- gualdades en igualdades. ¿Problema equivalente después deintroducir las variables deholgura? Introduciendo las variables de holgura, X4y X5,el problema queda: Max XI- 2x 2 - 3X3, 2x 1 - 3X2 - 3X3+ X4= 3, 3xI+ X2 - X3 + X5= 5, XI,X2,X3,X4,X5~O. =>B es cierta y e es falsa. 4.En elproblema anterior,lafilaobjetivo enla tabla inicialdelmétodoSim- plexes:A)-123OO;B)I-2-3OO;C)1-2-3;D)Nin- guna de las anteriores . •:.El primer paso para la resolución de un problema por el Algoritmo Simplex es la construcción de la tabla inicial, donde se representan los coeficientes de las res- tricciones,las variablesde holgura,los términosindependientes y la filaobjetivo (que representa la función objetivo, con los coeficientes cambiados de signo). ¿ Tablaiicial? XIX2X3X4X5b X42-3-31O3 X531-1O15 FO-123OOO FO, que es la fila objetivo,es -123OOO Y no es ninguna de las res- puestas indicadas. Luego D es correcta. 427 - Fundamentos del Algoritmo Simplex 5.En elproblema anterior, siguiendo los pasos del Algoritmo Simplex: A)La solución encontrada es óptima; B)La solución encontrada no es óptima; C) No podemos saber sila solución encontrada es óptima,sinmásdatos;D)Ninguna de lasanteriores. ¿Es óptima lasolución encontrada en el ejercicio anterior? .:.Elsegundopaso esdeterminarsila soluciónencontrada esóptima para lo que se aplica el test de maximalidad:"Si la fila objetivo no tiene valores nega- tivos hemos llegado a una solución óptima". En nuestro caso,la solución encontrada es (0,0,0,3, 5)Y no es óptima,como se puede comprobar al observar que en la fila objetivo FO hay entradas negati- vas(la primera entrada es negativa).Es cierta la opción B. 6.Enla tablainicialdelejercicio 3 decap.8-6,lacolumna pivote es:A)La primera; B) La segunda; C) La última;D)Ninguna de lasanteriores. ¿ Cuál es la columna pivote?. •:.Para determinar la columna pivote,nos fijamosen la FO y el elemento más negativo. En esta tabla el elemento más negativo en la FO es -1 por tanto,la primera co- lumna esla columna pivote. La respuesta correcta es A. • 7.Siseguimos en elmismo ejercicio 3, en la tabla inicial, la fila pivote: A)Se puede determinar a partir de lossignos de los elementos de la funciónobjetivo; B) Es la segunda fila;C) No se puede determinar sin más datos; D)Ninguna de lasanteriores. ¿ Cuál es la fila pivote? iZ8 .:.La filapivote es aquella en la que esmínimo elcociente entre lostérminos independientesy el elemento (positivo)correspondiente de la columna pivote, { b}b es decir, esmin l:Sk:Sm_ k= _ J,donde b k son los términos independientes y aki a ki a ji son los elementos positivos de la columna pivote. Capítulo 8-6 Luego la fila pivote nose determina a partir de los signos de ningún elemento y A es falsa y como se puede determinar, C también es falsa. En este caso, los cocientes a considerar son:ly1. La fila pivote buscada es 23 la primera porquel< 1 =>B es falsa y sólo es cierta la opción D. 23 8.Traselejercicioanterior,elsiguientepaso,enelAlgoritmoSimplex,es: A) Aplicar el Test de Maximalidad; B) Sehaterminado elproblema; C)Deter- minar elelemento pivote;D)Ninguna de lasanteriores. ¿ Cuál es el elemento pivote ? .:.Unavezquesetienenlafilaylacolumnapivotes,hayquedeterminarel elemento pivote, que es el que está en ambas. En este caso, es la entrada (1,1).Por lo tanto la variable XIentra como variable básica y sale la variable X4que pasa a ser variable no básica. 9.Enelejercicio anterior,alconvertir la columna pivote enbásica:A)Tene- mos que hacer que todos los términos de la columna pivote sean O;B) Tenemos quehacerquetodoslostérminosdelacolumnapivoteseanO,menoselele- m ~ n t opivote que se queda como está;C) Sólo se cambianlaúltima columna y la columna pivote;D)Ninguna de lasanteriores. El siguiente paso, .:.en la conversión de la columna PIVOTE en BÁSICA, primero hay que con- vertir elelementopivoteen1 y,posteriormente, aplicar elmétododeGauss- Jordan (realizando operaciones elementales con las filas de la tabla), para obte- nerO entodosloscoeficientesdelacolumnapivote,exceptoenelelemento pivote (que es1). Luego no son correctas ni A ni B niC.Sólo es correcta D. iZO Fundamentos del Algoritmo Simplex 430 10.En elejercicio 8,alconvertir la columna pivote enbásica: A)Hay que di- vidir la primera filaentre 2;B) Hay que multiplicar laprimera filapor 2;C) Se trabaja conlas columnas,no conlasfilas;D)Ninguna delasanteriores. Para convertir el elemento pivote, que vale 2, en1, dividimos por 2la fila pivo- te(la primera),F;H.! F;y seguimos llamando FIa esa fila.Luego la opción 2 A es correcta. Aunque se considera la columna pivote,se realizan operaciones elementales entre las filas,y e es falsa. 11.Enelejercicio 8,para convertir la columna pivote enbásica,traselpaso delejercicio10:A)Hayquesumarlaprimerafilaresultanteconlasegunda; B) Hay que dejar lasegunda fila como está; C) Enla fila objetivo setransforma suprimer elemento enO;D)Ninguna delasanteriores. Trasconvertir el elemento pivote enun1,aplicamoselmétodode Gauss-Jor- dany transformamoslasentradasde la columna pivote distintasdelelemento pivote en ceros. Los otros cambios a efectuar en las filasson Sólo e es cierta. La tabla que resulta es: XIX2 -3 XI1 2 11 XsO 2 1 - 2 FOO - X3X4 -31 22 7-3 22 31 - - 22 Xs O 1 O b 3 2 1 2 3 2 Capítulo 8-6 12.Trasconvertirlacolumna pivoteenbásica,lasoluciónalejercicioante- rior:A)Es B) No se puede determinar porque hay que volver a deter- minar una nueva columna pivote;C)Hayque volver a aplicar elTest de Maxi- malidad;O)Ninguna delasanteriores. Si nos fijamos en la nueva FO vemos que ya no existen entradas negativas y,al aplicar eltest de maximalidad,observamos que elprocesoha terminadoyno tenemosque determinar de nuevo la columna pivote. Luego Ces correcta y B esfalsa.Consecuentemente,la solución obtenida,(%, 0,0, 0,mejora la an- teriorytenemosunvalormáximoF = 1.conlasrestriccionesdadas. 2 La solución óptima para elproblema inicial es(%,0, O) .Atambién es correcta. 13.Elproblema deprogramaciónlineal:MaxF = - 2xI+ 3X2+sujetoa X l+ X2 - 2, XI- Xl- Xl1,Xl,Xl , 0,verifica que:A)Mediante elMé- todo Simplex se puede calcular su solución óptima; B) No sepuede calcular su soluciónmedianteelMétodoSimplex;C)Notienesolución;O)Tienesolu- don peronosepuede determinar mediante elMétodo Simplex. ¿ Sistema equivalente con variables de holgura X4y xs? Max F = - 2x 1 + 3X2+ 4X3,sujeto a Xl+ X2- 2x3 - X4=2, XI- X2- X3+ Xs= 1, Xl,X2,X3,X4,XsO. 431 Fundamentos del Algoritmo Simplex ¿Tablainicial? XIX2X3X4Xsb X411-2-1O2 Xs1-1-1O11 FO2-3~OOO ¿ Columna pivote? El elemento másnegativo de la filaobjetivo es ~, luego la columna pivote es la tercera. ¿ Fila pivote ? Sin embargo no se puede determinar la fila pivote porque en la columna pivote noexistenelementospositivosparacalcularloscocientescorrespondientes. En este caso .:.Si en la columna pivote no existen elementos positivo ocurre que elproble- ma está malmodelado, o la funciónobjetivo noestá acotada o elproblema no tiene solución. ~NopodemosseguiraplicandoelMétodoSimplexydebemosbuscarotra manera de resolverlo. A es falsa y B es cierta. ¿TIene solución el problema? Sinosfijamosen las restricciones,los puntos que verifican XI= X3= O Y X22:2 están en la región factible y como la variable X2puede tomar valores suficiente- mentegrandesseobserva quela funciónobjetivoF = -2x 1 + 3X2+ 4X3noal- canzará elmáximoy por tanto el problema dadonotiene solución.e también es cierta. ISBN84-96094- 35 - 9 11I1111 97RQI\.°6094352